5.2.3简单复合函数的导数 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
5.2.3　简单复合函数的导数
第五章　§5.2　导数的运算
学习目标
1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
复合函数的概念
一
问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？
提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思.
知识梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝________.
f(g(x))
内、外层函数通常为基本初等函数.
注意点：
　　(多选)下列哪些函数是复合函数
A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2
C.y＝esin x D.y＝
例1
√
A不是复合函数；
BCD都是复合函数.
√
√
若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数.
反思感悟
跟踪训练1
　　　(多选)下列哪些函数是复合函数
A.y＝log2(2x＋1) B.y＝
C.y＝2ln x D.y＝
√
√
√
复合函数的导数
二
问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？
提示　y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x.
知识梳理
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于_____________________________.
y′u·u′x
y对u的导数与u对x的导数的乘积
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
注意点：
　　求下列函数的导数：
例2
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
(2)y＝cos(x2)；
令u＝x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)y＝log2(2x＋1)；
设y＝log2u，u＝2x＋1，
(4)y＝e3x＋2.
设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
(1)求复合函数的导数的步骤
反思感悟
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
跟踪训练2
　　　求下列函数的导数：
设y＝　 ，u＝1－2x，
则y′x＝( )′(1－2x)′＝ ·(－2)＝ .
(2)y＝5log2(1－x)；
函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
复合函数的导数的应用
三
　　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝
(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
例3
将t＝18代入s′(t)，
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
反思感悟
跟踪训练3
　　　我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝ ，则f′(x)＝________，其在点(0,1)处的切线方程为______.
∵f(x)＝ ，故f′(x)＝(x2)′ ＝ ，则f′(0)＝0.
故曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝1.
y＝1
课堂
小结
1.知识清单：
(1)复合函数的概念.
(2)复合函数的求导法则.
(3)复合函数的导数的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.