5.3.1 函数的单调性 课件（共33张PPT）

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5.3.1　函数的单调性
第五章　§5.3　导数在研究函数中的应用
学习目标
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
函数的单调性与导数的关系
一
问题1　观察右面高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
提示　通过观察图象，可以发现
(1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.
问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.
提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；
(4)函数y＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在
(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调增减，而
y′＝ ，因为x≠0，所以y′<0.
从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减.
知识梳理
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递____
f′(x)<0 单调递____
增
减
(1)在某个区间上恒有f′(x)＝0，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.
注意点：
　　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝ x3－x2＋2x－5；
例1
(2)f(x)＝x－ －ln x；
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减.
利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
反思感悟
跟踪训练1
　　　利用导数判断下列函数的单调性：
因为f(x)＝x2－2x＋aln x，x∈(0，＋∞)，
故有y＝2x2－2x＋a>0恒成立，即f′(x)>0，
所以f(x)＝x2－2x＋aln x在(0，＋∞)上单调递增.
利用导数求函数的单调区间
二
　　求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
例2
易知函数的定义域为(0，＋∞).
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 单调递增
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2).
令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，
x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，
f′(x)在各个区间上的正负，以及f(x)的单调性如表，
x (－∞，－3) －3 (－3,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(－3) 单调递减 f(2) 单调递增
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2).
利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求出导数f′(x)的零点.
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
反思感悟
或(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减.
反思感悟
跟踪训练2
　　　求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x2·e－x；
易知函数的定义域为(－∞，＋∞).
f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2).
易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
x (－∞,－1) －1 (－1，0) (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(－1) 单调递减 单调递减 f(1) 单调递增
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
由导数的信息画函数的大致图象
三
　　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0例3
当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；
当0当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.故如图，
由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
反思感悟
跟踪训练3
　　　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的
√
由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.
(2)若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是
√
由y＝f′(x)的图象可得：在(－∞，b)上f′(x)
≥0，在(b，＋∞)上f′(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得：
y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)
上单调递减，可排除A，D，
且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系.
(2)利用导数判断函数的单调性.
(3)利用导数求函数的单调区间.
(4)由导数的信息画函数的大致图象.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：忽略定义域的限制.