5.3.2 第1课时 函数的极值 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第1课时　函数的极值
第五章　5.3.2　函数的极值与最大(小)值
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
函数极值的概念
一
问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
知识梳理
极值点与极值的概念
1.极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧_________，右侧__________，则把a叫做函数y＝f(x)的__________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________.
f′(x)＜0
f′(x)＞0
极小值点
极小值
2.极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧_________，右侧_________，则把b叫做函数y＝f(x)的_________，f(b)叫做函数y＝f(x)的_______.
3.极大值点、极小值点统称为_______，极大值和极小值统称为_____.
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极大值点
极大值
极值点
极值
(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
注意点：
　　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间 内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
④当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.
则上述判断中正确的序号是______.
例1
③⑤
对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，
f(x)单调递增，故当
不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
反思感悟
跟踪训练1
　　　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
求函数的极值
二
　　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
例2
函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，
即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，
且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R).
f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，
解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
反思感悟
跟踪训练2
　　　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x；
函数f(x)的定义域为R.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
(2)f(x)＝x2e－x.
函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
由极值求参数的值或范围
三
　　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝______.
例3
4
－11
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
不符合题意，应舍去.
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
(2)已知函数f(x)＝ (x∈R，m为常数)，在区间(1，
＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.
f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
反思感悟
跟踪训练3
　　　若函数f(x)＝　　　　　的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，
则实数a的取值范围是__________.
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
根据函数单调性、极值的情况，它的
图象大致如图所示，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数极值的概念.
(2)函数极值的判定及求法.
(3)函数极值的应用.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.