7.5正态分布 课件（共25张ppt）

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7.5 正态分布
第七章 随机变量及其分布
复习回顾
回顾 前面已经研究过哪些重要的离散型随机变量？
二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p).
P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n).
若X~B(n, p)，则有
二项分布的均值与方差：
E(X)= , D(X)= .
np
np(1-p)
复习回顾
回顾 前面已经研究过哪些重要的离散型随机变量？
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
超几何分布及其分布列
超几何分布的均值与方差
P(X=k) = , k=m, m+1, m+2, …, r.
E(X)=np (其中)，D(X)=np(1-p)
新课导入
现实中, 还有大量问题中的随机变量不是离散的,例如
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、维的纤度等)；
在测量中，长度测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重等；
在生物学中，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；
在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等；
它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量 , 这就是我们所要学习的正态分布。
问题1 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下:
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
新知探究
(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布
新知探究
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示.
(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布
频率/组距
X
-6
0
-4
-2
0
0.15
0.05
0.10
0.20
4
2
6
图 (1)
频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.
观察图形可知: 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
新知探究
追问1 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，频率分布直方图的轮廓会发生什么变化？
n=9
n=50
n=107
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.
新知探究
P
X
-6
0
-4
-2
0
0.15
0.05
图 (3)
0.10
0.20
4
2
6
根据频率与概率的关系，可用左图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2, -1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.
追问2 根据函数知识,这个钟形曲线它是函数吗？
如果是，那么，这个函数是否存在解析式呢？
答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下，找到了刻画随机误差分布的解析式.
概念生成
正态分布
显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2).
其中μ∈R，σ>0为参数.
特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
y
0
1
2
-1
-2
x
-3
3
μ=0
σ=1
相关知识
早在1733年，法国数学家棣莫弗（ A . De Moivre ,1667-1754）在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式．直到德国数学家高斯（ C . F . Gauss ,1777-1855）提出"正态误差"的理论后，正态密度函数才取得"概率分布"的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布．
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，早期德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”。
新知探究
追问3 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
若X~N(μ，σ2)，则如右图所示，
X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
面积即为概率！
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:
(1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
(2) 曲线在x=μ处达到峰值(最高点) ；
(3) 正态曲线在x轴上方，两侧与x轴无限接近而不相交；
(4) x轴和曲线之间的区域的面积为1.
频率
组距
o
钟型曲线
x=μ
问题2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
新知探究
新知探究
问题3 一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(1).当参数取定值时，观察对正态分布的曲线。
3
1
2
σ=0.5
μ=-1
μ=0　
μ=1
由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，
故μ称为位置参数
规律：左“-”右“+”
所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有E(X)=μ.
新知探究
问题3 一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(2).当参数取定值时，观察对正态曲线的影响
μ=0　

=0.5
=1
=2
当μ固定时，因为正态曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.
σ越大，曲线越“矮胖”，
表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中.
所以σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2.
故称为形状参数
(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(3) 曲线与x轴之间的面积为1；
(4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线的性质：
(5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.
在实际问题中，参数μ, σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处取得最大值 ；
归纳小结
典例解析
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到: 坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4. 假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1) 估计X，Y的分布中的参数；
(2) 根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;
(3) 如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
分析：对于第(1)问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计.
对于第(3)问, 这是一个概率决策问题, 首先要明确决策的准则, 在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断．
解：(1) 随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；
随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.
用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到
X~N(30, 62)，Y~N(34, 22).
（2）由(1)得X~N(30, 62)，Y~N(34, 22)，作出X和Y的分布密度曲线如图示.
(3) 应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具。由图可知，
P(X≤38) P(Y≤34).
所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车； 如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.
典例解析
X的密度曲线
Y的密度曲线
y
x
30
34
38
新知探究
正态曲线下的面积规律
-x1 -x2 +x2 +x1

a
-a
正态曲线下对称区域的面积相等
对应的概率也相等
利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率

0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
0.5
1-a
a
1-a
1-2a
1. 若X～N(2, 32)，则E(X)=______，D(X)=_______.
2
9
3
2
2. X～N(μ, σ2)，若E(X)=3， σ(X)=2，则μ=______， σ=______.
3.若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则
(1) P(X>1)=_______；
(2) P(X>0)=______；
(3) P(X>2)=______；
(4) P(X<2)=______；
(5) P(0(6) P(00.5-a
巩固练习
关键：画出正态曲线的简图
课本87页
2. 设随机变量X~N(0, 22)，随机变量Y~N(0, 32)，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P( |X|≤1)与P( |Y|≤1)之间的大小关系.
O
1
-1
x
y
σ=3
σ=2
2
-2
解：
作出分布密度曲线如图示，由图可知，
巩固练习
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.
特殊区间的概率
新知探究
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则.
例 在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).
(1).求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少
(2).若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人
解 (1)依题意,X～N(90,100),
即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6827.
考试成绩在(80,100)间的考生大约有
典例解析
课本87页
1. 设随机变量X~N(0, 1)，
则X的密度函数为___________________，P(X≤0)=_____ ，P( |X|≤1)= _______， P(X≤1)=________， P(X>1)=________ (精确到0.0001.)
0.5
0.6827
0.84135
0.15865
O
1
-1
x
y
μ=0
巩固练习
解：正态变量几乎总是落在区间[μ－3σ, μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.
∵X～N(10, 0.22)，∴μ＋3σ＝10.6，μ－3σ＝9.4，
∵9.52∈[9.4, 10.6]，9.98∈[9.4, 10.6]，
∴该厂这一天的生产状况是正常的.
某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm) X~N(10, 0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52cm和9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
说明：解题时, 应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ, μ＋3σ]之内, 否则可以认为该批产品不合格. 判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的, 而一旦发生了, 就可以认为这批产生不合格.　
巩固练习
课堂小结
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
1. 正态分布：
正态密度函数：
2.特殊区间的概率：