黑龙江省2021年12月普通高中学业水平考试数学试卷（含解析）

黑龙江省2021年12月普通高中学业水平考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、直线在x轴上的截距是( )
A. B. C.4 D.5
2、已知直线与直线平行，则实数( )
A.-2 B.3 C.5 D.-2或3
3、已知椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
4、平行于直线且过点的直线方程为( )
A. B. C. D.
5、由x轴上任一点到定点、距离之和最小值是( )
A. B. C. D.
6、已知点关于点的对称点，则点到原点的距离是( )
A.4 B. C. D.
7、已知m是实常数，若方程表示的曲线是圆，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8、若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9、两圆和的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.外离
10、双曲线的离心率大于的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
11、已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
12、在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
二、填空题
13、若与直线垂直，那么__________.
14、已知，，则以线段AB为直径的圆的方程的一般式为________.
15、已知点在直线上，则的最小值为_______.
16、已知点，到直线的距离相等，则实数a的值为_______.
三、解答题
17、已知三角形ABC的顶点坐标为，，，M是BC边上的中点.
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长
18、（1）求焦点的坐标分别为，，且过点的椭圆的方程.
（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.
19、已知圆和直线，点P是圆C上的动点.
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求点P到直线l的距离的最小值.
20、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为，，且经过点；
（2）经过点，；
21、已知抛物线的准线方程为.
（1）求p的值；
（2）直线交抛物线于A，B两点，求弦长.
22、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求面积的最大值.
参考答案
1、答案：B
解析：当时，代入可得：，故选：B
2、答案：A
解析：当时，显然不符合题意，所以，
由得，由得，
所以，解得
故选：A
3、答案：B
解析：由椭圆的两个焦点分别为，，可知椭圆的焦点在x轴上，且.由椭圆的定义可得，即，，椭圆的标谁方程是，故选B.
4、答案：D
解析：与直线平行的直线l可设为：，直线l过点，所以有，故选：D
5、答案：C
解析：x轴上任一点到定点，距离之和最小值，就是求解关于x轴的对称点，连接对称点与的距离即可，因为关于x轴的对称点为，所以即x轴上任一点到定点，距离之和最小值是.故选：C
6、答案：D
解析：因为点，，关于点对称，所以有，，解得，，所以点到原点的距离为，故选D
7、答案：B
解析：由于方程表示的曲线为圆，则，解得.因此，实数m的取值范围是.故选：B.
8、答案：D
解析：因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），，，.故选D.
9、答案：B
解析：由圆的圆心为，半径为1，圆圆心为半径为3，所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.
10、答案：C
解析：由题意双曲线的离心率为，，.故选：C.
11、答案：B
解析：
如图，作PQ，AN与准线垂直，垂足分别为Q，N，则，，当且仅当Q，P，A三点共线即P到M重合时等号成立.故选：B.
12、答案：B
解析：根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为为，即，所以，，解之得或，所以所求直线方程为或，所以符合题意的直线有两条，选B.
13、答案：
解析：由两条直线垂直知，得
14、答案：.
解析：以AB为直径的圆的圆心为AB的中点，坐标为（1，－2），半径为，所以圆的标准方程为：，转化为普通方程为.
15、答案：3
解析：可以理解为点到点的距离，又因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离，且.故答案为：
16、答案：或
解析：因为点，到直线的距离相等，所以，解得或，故答案为：或
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由两点式写方程得，即，或直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即
（2）设M的坐标为，则由中点坐标公式可得，，故，
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为，由椭圆定义，，故，，，故椭圆的标准方程为：
（2）不妨设椭圆的方程为：，经过两点、，故，解得，，即，故椭圆的标准方程为：
19、答案：（1）C的圆心坐标，半径为3
（2）1
解析：（1）由圆，化为，所以圆C的圆心坐标，半径为3.
（2）由直线，所以圆心到直线的距离，所以点P到直线l的距离的最小值为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程，则
解得：，所以所求双曲线的标准方程为
（2）设双曲线的方程为：，代入点坐标得到：，解得：，故双曲线的标准方程为：
21、答案：（1）
（2）8
解析：（1）因为抛物线的准线方程为，所以，所以；（2）设，，由，消去y，得，则，，所以.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴，又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线BC垂直于x轴时，，因此的面积，当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为，代入，解得
，，则，又点A到直线BC的距离，所以的面积，于是.由，得，其中当时，等号成立.所以的最大值是.