2022-2023 年度第二学期高一年级第二次质量调查（数学）试卷
满分：150 分 时长：100 分钟
第 I 卷（选择题）
一、单选题（共 60 分，每题 5 分）
1．复数 z i (1 i) 的虚部为（ ）
A．1 B． 1
C． i D． i
2．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了 1000次试验，发现正面朝上出现
了 560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.56，0.56 B．0.56，0.5
C．0.5，0.5 D．0.5，0.56
3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱
4．数据7.0，8.2，8.3，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的 30%分位数为（ ）
A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3
5．已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面 ， ， ，下列命题错误的是（ ）
A．若 ∥ , ∥ ，则 ∥ B．若 ∥ , ，则
C．若 ∥ ,m∥ ，则m D．若 ∥ ,n ，则 n
6．如图，在平行四边形 ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A． AB AD AC B． AC CD DO OA
C． AB AD DB D． AC BA DA 0
7 2．已知 a为实数，若复数 z a 3a 4 a 1 i 为纯虚数，则复数 a ai在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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班级 姓名 座位号
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - --
8．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的 2倍，若该圆锥的体积为9 3π，则该圆锥的
母线长为（ ）
A．3 B．3 3 C．6 D．6 3
9．经过计算，某统计小组得到三组数据（每组数据均由 10个数组成，每个数对应运动员一次百
米短跑的时间，单位：s）对应的平均数与方差：第一组数据的平均数和方差分别为 12，8，第二
组数据的平均数和方差分别为 15，10，第三组数据的平均数和方差分别为 14，16．下列结论正
确的是（ ）
A．从数据的波动情况看，第三组数据的波动最小
B．从数据的平均水平看，第二组数据的成绩最好
C．从数据的波动情况看，第一组数据的波动最大
D．从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好
10．某图书馆统计了某个月前 8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，
下列结论正确的是（ ）
A．这 8天里，每天图书借出数的极差大于 50
B．这 8天里，每天图书借出数的平均数大于 105
C．这 8天里，每天图书借出数的中位数大于 101
D．前 4天图书借出数的方差小于后 4天图书借出数的方差
11．已知 ABC中，设角A、B、C所对的边分别为 a、b、c， ABC的面积为S，若
3sin2 B 2sin2C sin A sin A 2sin BsinC S，则 2 的值为（ ）b
1
A 1． B．
4 2
C．1 D．2
12．在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩形， AD 2， AB AP PD 1，平面 PAD 平
面 ABCD，点 M在线段 PC上运动（不含端点），则下列说法正确的个数为（ ）
①存在点 M使得 BD AM
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②四棱锥P ABCD外接球的表面积为 3π
π
③直线 PC与直线 AD所成角为
3
④当动点 M到直线 BD的距离最小时，过点 A，D，M作截面交 PB于点 N，则四棱锥 P ADMN
1
的体积是
8
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（共 30 分，每题 5 分）
13．已知数 zi 3 i（ i为虚数单位），且 z的共轭复数为 z，则 z = __________．
1
14．已知非零向量 a ,b 满足 (a 2b) (a 2b)，且向量b 在向量a方向的投影向量是 a，则向4
量 a与b 的夹角是________.
15．甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8,0.5，已知两人的投中互为独立事件，
则两人中至少有一个人投中的概率为__________．
16．在正三棱锥 S ABC中， SA 2 AB 2 3，则该三棱锥外接球的表面积为______.
17．如图，在 ABC中，已知 AB 2, AC 3, BAC 60 ，点 D，E分别在边 AB，AC上，且 AB 2AD,
AC 3AE ，点 F为线段 DE上的动点，则 BF CF 的取值范围是________．
18．某校为落实党的二十大精神，开展了形式灵活的学习活动，统计了全校教师在一周内学习的
累计时长（单位：小时），根据时长数据得到下面的频率分布直方图，则a __________；估计该
校教师学习累计时长的平均值为__________．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
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三、解答题（共 60 分）
19．袋中有大小、形状相同的白球、黑球各一个，现有放回地随机摸取 3次，每次摸取一个球.
（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（2）若摸到白球时得 1分，摸到黑球时得 2分，求 3次摸球所得总分大于 4分的概率.
20．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点G,H 分别为DA1,CA1中点．
（1）求证：GH / /平面CDD1C1 ;
（2）求证： BC1 平面 A1CD．
3
21．已知 ABC的角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c且 a 2， cos B ．
5
（1）若b 4，求 sin B、 sin A的值；
（2）若 ABC的面积 S ABC 4，求 b，c的值．
22．四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是边长为 a的菱形， PA 面 ABCD， BAD 120 ， E分别
是CD的中点．
（1）求证： EA 平面 PAB；
PA
（2）M 是 PB上的动点，EM与平面 PAB所成的最大角为 45 ，求 的值．AB
{#{QQABaYYQggAoAAAAAQACEwUyCkCQkhCAAIgGQAAUoEABCAFABAA=}#}参考答案：
ABCDC BDCDC BC
13．
14．
15．0.9/
16．
17．
18． 0.100 9.6
19．（1）一共有8种不同的结果，列举如下:
(白、白、白)、(白、白、黑)、(白、黑、白)、(白、黑、黑)、(黑、白、白)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)、(黑、黑、黑)
（2）本题是一个等可能事件的概率
记"3次摸球所得总分大于4分"为事件A
事件A包含的基本事件为:(黑、黑、黑)、(白、黑、黑)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)事件A包含的基本事件数为4
由（1）可知，基本事件总数为8，
∴事件A的概率为.
20．（1）点分别为中点，
．
平面，
平面．
平面．
（2）连接，在正方体中，，
又平面，
．
，
平面．
在平面中，易得，
平面．
21．（1），且，．
由正弦定理得，．
（2），．
由余弦定理得，．
22．解：如图，连接AC.
由题意，四边形ABCD是边长为a的菱形，，
都是等边三角形，
又为CD的中点，
故，
故．
又平面，面
故
又，
故EA平面PAB；
连结AM，
则根据平面PAB可知为直线EM与平面PAB所成的线面角，
所以在中， ，
所以当AM最小，即时，P取得最大值，
此时，
设，则有，解得．
即，即．
