城关中学2022——2023学年度下学期高二年级期中考试数学参考答案：
1．B【详解】设等差数列的公差为，则，，
.
2．B【详解】由等比中项的性质可得，解得，因此，.
3．A【详解】，，，，，，因此，.
4．B【详解】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.
5．B【详解】：∵可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x），
∴F（x）=f（x）-g（x）在x0处先减后增，∴F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点．
6．B【详解】，
当时，即当时，有最小值，最小值为，
7．A【详解】把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，
这三门课中间存在两个空，在两个空中，
①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，
②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为，
③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，
然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为，
相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有
8．D【详解】联立与得
,所以直线方程为y=2x-4,由题得设切点P坐标为，所以所以切点P或.把点P和代入得m=或.
9．BC【详解】A选项，，故A选项错误；B选项，，故B选项正确；C选项，，故C选项正确；D选项，，故D选项错误；
10．CD【详解】对于A，第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类，有3种选法，同理，其他的3位同学也都各有3种选法，则不同的选书方法有种，故A错误；对于B，个位可以放1，3，十位和百位都可以放1，2，3，所以有个奇数，故B错误；对于C，从集合中任取2个元素可得到集合的个数为，含有的个数为，其概率，故C正确；对于D，两个女生和两个男生随机排成一列，总的排法有种，两个女生不相邻的排法有种，所以两个女生不相邻的概率，故D正确
11．ABD【详解】解：，，
，，，数列是递减数列，且公差，故选项A、D正确，选项C错误；又，选项B正确，
12．ABC【详解】当时，，故是的一个零点；
当时，由得，即，即；
当时，由得，即，
画出的图象，分别对，画出的图象观察，当时，与的图象没有交点，与的图象有1个交点，符合题意；当时，与的图象没有交点，与的图象有1个交点，不符合题意；当时，对，则，当时，，所以与在处相切，如图，与的图象有1个交点，与的图象有没有交点，符合题意；当时，与的图象有1个交点，与的图象有没有交点，符合题意.
综上，k的可能取值为，选项ABC符合.
13．17【详解】因为，即，又，
所以.
14．【详解】试题分析：根据导数的几何意义，，当时，，所以切线的斜率是，切线与直线垂直，所以直线的斜率，解得：
15．6【详解】将4个不同的小球分成3组，每组至少一个，即将4个元素分为三堆，满足条件的分法有种，
16．【详解】设，则，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，，，令，易知过定点，画出函数和图象，如图，若的整数解有且仅有1个，则必有，解得.
17．（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.
18．（1）定义域：，函数，∴，
∴当在时，，函数递增，当在时，，函数递减，
故函数的增区间为，减区间为；
（2）由，得，，
令，则，当，，当时，.
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，，由，得.
∴函数的最小值为1，最大值为.
19．（1）设等比数列的公比为，由，得，
是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），
又，所以，解得，所以.
（2），所以.
20．（1）先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
（2）先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
（3）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
21．（1）由题意得，，∴，故数列是以2为首项，3为公差的等差数列，∴，∴.
（2）由题意得，，故，
，
∴
，
解得.
22．（1）函数的定义域为，且，当时，，此时在上单调递增，无极值；当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数的极小值为，无极大值，综上，当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值；
（2）当时，等价于．令，
则恒成立，，若，则恒成立，故单调递增，
且，故不恒成立，不合题意．若，则由，得，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，故．所以，即．所以原问题转化为存在，使得有解．
令，，则，．
令，显然单调递增，且，
所以当时，，即，当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，故，则．
综上，实数的取值范围是.城关中学2022——2023学年度下学期高二年级期中考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分:150分）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知等差数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
5．如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．是的极小值点
C．不是的极值点
D．是的极值点
6．函数图像的切线斜率为k，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有（ ）种
A．432 B．72 C．288 D．360
8．已知函数，，若直线与两函数的图象均相切，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有64种
B．用1，2，3三个数字可以组成9个三位奇数
C．从集合中任取2个元素组成集合，则集合中含有元素的概率为
D．两个男生和两个女生随机排成一列，则两个女生不相邻的概率是
11．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前n项和，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．是先增后减数列 D．且为的最大值
12．已知函数，有两个零点，则k的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．1
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等比数列中，公比q=2， S4=1，则S8=___________.
14．曲线y＝xln x在点（e，e）处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________．
15．将4个不同的小球分成3组，每组至少一个，共有______种分法.
16．若满足不等式的整数解有且只有1个，则实数a的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）
17．已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
18．设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
19．已知数列是由正数组成的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和.
20．电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
21．已知首项为4的数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
22．已知函数，．
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，若存在q，使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
