长沙市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
注意：本试卷共4页，22题，满分150分，时量：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={，，0，1}，，则（ ）
A．{，0，1} B．{0，1} C．{0} D．{，）
2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量（，1），（，3），则（ ）
A． B． C． D．
4．设非零实数a，b满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'、B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若直线a⊥平面，，则a与b的关系是（ ）
A．，且a与b相交 B．，且a与b不相交
C． D．a与b不一定垂直
7．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，则a=（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，，点P在边CD上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A． B．z的虚部为i
C．z的共轮复数为 D．
10．函数（），下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上先减后增 D．的图象关于对称
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．AP与CM是异面直线 B．AP，CM，DD1相交于一点
C．MN∥BD1 D．MN∥平面BB1D1D
第11题图 第12题图
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若：：=1：1：1，则M为△ABC的重心
B．若M为△ABC的内心，则
C．若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则：：=：2：1
D．若M为△ABC的垂心，，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．化简：sin42°cos3°+cos42°sin3°=_______．
14．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的四心角为，则该圆锥的高为_______．
15．写出使“不等式对一切实数x都成立”的a的一个取值_______．
16．如图，△ABC中，D为AC边的中点，O为线段BD上的任意一点（不含B，D），且，（x，），若恒成立，则实数a的最大值为_______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（本小题10分）若函数（，，）的部分图象如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）设，且，求的值．
18．（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求a的值．
19．（本小题12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，M是PB的中点，PA⊥平面ABC，且PA=，AB=4，∠ABC=30°．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求三棱锥M-ABC体积．
20．（本小题12分）如图所示，四边形EFGH为空间四面体A-BCD的一个截面，若截面为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知函数（，）满足：①；②．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，都有成立，求实数m的取值范围．
22．（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，当年产量小于80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市
场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？长沙市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D C B C B C
二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AD A BD ABD
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置）
13． 14．
15．（答案不唯一） 16．8
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）
17．（1） （2）
18．（1）2 （2）
19．（1）证明：因为AB是半圆O的直径，所以AC⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为AC 平面PAC，PA 平面PAC，且AC∩PA=A
所以BC⊥平面PAC．
（2）2
20．（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG．
∵HG 平面ABD，EF不在平面ABC内，
∴EF∥平面ABD．
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB．
∵EF 平面EFGH，AB不包含于平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH
（2）8＜四边形EFGH的周长＜12
21．（1） （2）
22．（1）
（2）①当0＜x＜80时，，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；
②当x≥80时，，
当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．
