1.2.1解斜三角形应用举例-----测量距离问题（1）
【学习目标】
1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；
2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；?
4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力?
【典型例题】
例1.要测量河对岸两个建筑 ( http: / / www.21cnjy.com )物A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
例2 .如图所示，海中小 ( http: / / www.21cnjy.com )岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
【目标检测】
1.已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是( )
A. B．2 C. D．2
2.如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，在下列四组数据中，考虑实际操作的可能性，测量时应当选用数据（ ）
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b
3.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选 ( http: / / www.21cnjy.com )定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________．
4.如图，为了测量河对岸A，B两点间的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离，在河的这边测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．1．1．1 正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
【自主学习】
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则
从而在直角三角形ABC中，
思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？给出你的证明.
当ABC是锐角三角形时,
当ABC是钝角三角形时,
正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，
即
【自主检测】
1.在
2.在
【典型例题】
例1.
例2. 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
【目标检测】
1.已知ABC 中， sin A : sin B : sin C=2: 3 : 4 ，则a : b : c =
2.已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则 a∶b∶c 等于 .
3.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形? B等腰直角三角形
C等边三角形 D等腰三角形
4*．在△ABC中，若则一定大于，对吗？填_________（对或错）
【总结提升】（1）正弦定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。应注意可能有两解的情形。1.2.3解斜三角形应用举例-----测量角度问题（3）
【学习目标】
能够运用正、余弦定理和解三角形的知识解决测量角度的问题．
【典型例题】
例1.如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 的 方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发， 沿北偏东 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C. 如果下次航行直接从 A 出发到达 C，此船应该沿怎 样的方向航行，需要航行多少距离 ( 角度精确到 ，距离精确到 0.01n mile)
例2.在△ABC中，求证：
（1）
（2）
【目标检测】
1.△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为( )
A．20 B．25 C．55 D．49
2.已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，A为锐角，△ABC的面积为6，则·的值为( )
A．16 B．－6 C．9 D．0
3.△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4.在△ABC中，A＝30°，a＝，b＝2，则此三角形解的情况是( )
A．一解 B．两解 C．无数个解 D．不存在
5.在△ABC中，求证：＝.1.1.2余弦定理（习题课）
【学习目标】
1.了解余弦定理的几种变形公式；
2.能够利用正、余弦定理解三角形。
【自主学习与检测】
1.在△ABC中，求的值.
2.在△ABC中，则A的取值范围为
【典型例题】
例1.在△ABC中，满足sinA=2cosBsinC， 试判断三角形的形状.
变式：在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
例2.在△ABC中，已知且，求.
【目标检测】
1.在△ABC中，若＝，则角B等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.在△ABC中，证明：（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0
3*.在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a、c的长．1.1正弦定理、余弦定理习题课
【学习目标】
1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
【自主检测】
1.在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.
(1)求AB的值；(2)求sin的值．
2.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA.(1)确定角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
【典型例题】
例1.在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
例2.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，求B.
【目标检测】
1.在△ABC中，已知b＝asinB，且cosB＝cosC，则△ABC的形状是( )
A．等边三角B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8 b＝16 A＝30°有两解 B．b＝18 c＝20 B＝60°有一解
C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解
3.已知△ABC中，AB＝，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )
A. B. C.或 D.或
4*.在△ABC中，若＝，求角A
【总结提升】
1.在证明三角形问题或者三 ( http: / / www.21cnjy.com )角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用1.1.2余弦定理
【学习目标】
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
【自主学习】
余弦定理的探究
在Rt△ABC中(C=90)有：
在斜三角形ABC中，一边的平方与其余两边平方和及其夹角有什么关系呢？请你用向量方法探究.
探究的是长度和角度之间的关系，很容易想到用向量的数量积解决
余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即
请你思考：勾股定理和余弦定理有关系吗？有什么关系？
【自主检测】
1.在中，已知，求边
2.在中，已知求最大角和
【典型例题】
例1.在△ABC中，已知，求边．
【目标检测】
1.△ABC中，若a∶b∶c＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 ；；
若a2=b2+c2，则△ABC为 ；
若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c ( http: / / www.21cnjy.com )2＜a2+b2，则△ABC为 ；
3.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A. B. C. D.或
4.在△ABC中， 边的长是方程的两个根，，求边长
【总结提升】
1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．1.2.2解斜三角形应用举例-----测量高度问题（2）
【学习目标】
探索底部不可到达的建筑物等的高度测量的解决方法．能够运用正、余弦定理和解三角形的知识解决测量高度的问题．
【自主学习】
目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水平线上方时，称为 ，在水平线下方时，称为 ，如图．
【典型例题】
例 1. 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔 BC 部分的高为 a m，求出山高 CD。
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 km 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，求此山的高 度 CD.
【目标检测】
1.在地面上某处，测得塔顶的仰角为，有此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为，再向塔走米，测得塔顶的仰角为，试求塔的高度。
2.A、B是海平面上的两个点，相距80 ( http: / / www.21cnjy.com )0 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.1．1．1 正弦定理习题课
【学习目标】
会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。
【自主学习与检测】
1.在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，解此三角形。
2.在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，b＝，c＝1，B＝45°，则a＝( )
A. B. C. D.
【典型例题】
例1.在△ABC中，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
变式（1）已知在△ABC中，试判断三角形的形状。
变式（2）在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形
例2.在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，求△ABC的面积。并总结三角形的面积公式。
【目标检测】
1*.已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2 C．22.在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，求a。
3.在锐角△ABC中，已知AB＝4，AC＝1，S△ABC＝，求·的值
【总结提升】（1）正弦定理灵活运用
（2）已知三角形两边及一边对角解三角形解的个数问题；
（3）三角形的面积公式的运用。
