2.5等比数列的前n项和（一）
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题.
【自主学习】
1. “错项相减法”推导等比数列的前n项和公式.
2.当时,，如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个.
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”这个问题。
由可得:=
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
【自主检测】
求下列等比数列前8项的和:
(1),,,．．．； (2) a1=27, a9=.
【典型例题】
例1.某商场今年销售计算机5000台 ( http: / / www.21cnjy.com ),如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)
例2.数列{an}的前n项之和是Sn＝ ( http: / / www.21cnjy.com )an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.
【课堂检测】
1.设等比数列的公比，前n项和为，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. D.
2. 已知是等比数列，，则= （ ）
A.16（） B.16（） C.（） D.（）
3.等比数列｛an｝的前n项和Sn=3n-c, 则c ＝ .
4.在等比数列中，若S10＝10，S20＝30， 试求S30的值.
【总结提升】
等比数列前n项和公式由两部分组成，某些情况下，不能忽视分类讨论.2.3 等差数列的前n项和(二)
【学习目标】
1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式及其二者的关系；
2.会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究的最大（小）值.
【典型例题】
例1已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：⑴ ①当n≥2时，=-=____________________________ ；
②当n=1时，=；
③经检验， ___________________ . ∴= ____________________.
变式：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项和前n项和关系为=，由此可由求.最后书写通项公式时，根据检验的结果再看能否合并.
问题：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
例2 已知等差数列{}中，=13，=,那么n取何值时,取最大值.
解法1：利用二次函数求解：
解法2:利用符号转折项求解：
小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用: 当时，前项和有最大值，可由求得n的值；
当时，前n项和有最小值，可由求得的值
（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时的值.
【目标检测】
1.已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式
(1) (2) ⑶＝－2.
．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0.
(1) 求公差d的取值范围；(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
【总结提升】
1. 数列通项和前n项和关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.2.3 等差数列的前n项和(三)
【学习目标】
1. 熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数奇数项与偶数项的性质，并会用它解决一些相关问题；
【自主学习】
1.等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
①若项数为偶数2n，则；；
②若项数为奇数2n＋1，则
2. 已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，则
也成等差数列，公差为.
【自主检测】
1.等差数列{}中，已知，那么（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
2.有一项数为21的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比为_____..
【典型例题】
例1 在项数为的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求的值.
例2 若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.
例3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.30 B.170 C.210 D.260
分析1：把问题特殊化，即令m＝1来解.
分析2：利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d求解.
分析3：根据性质“已知{an}成等差数列，则
成等差数列”解题.
分析4：根据Sn＝an2＋bn求解.
分析5：由Sn＝na1＋d，即＝a1＋d可知数列{}也成等差数列，也即，，成等差数列
【目标检测】
1.在等差数列中， ，则 .
．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
然后请你研究此问题的一般结论，并给出证明.
【总结提升】
1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.等差数列奇数项与偶数项的性质.2.4等比数列（一）
【学习目标】
理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解等比数列模型应用．
【自主学习】
1、等比数列的定义:
________________________________________________________________
_______________________________________________________________.
（1）符号语言： ｛｝成等比数列________________. （,q≠0）
（2）数列｛｝为等比数列，则____0．
（3）q= 1时，{an}为_____________数列.
（4）既是等差数列又是等比数列的数列是____________________数列.
2.等比数列的通项公式： .
3.等比中项： .
【自主检测】
已知四个等比数列分别是：
①1, 2, 4, 8, … ②1,，，，… ③1,20 ,202 ,203 ,…
④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984, …
它们的公比分别为： __ .
它们的通项公式分别为： .【典型例题】
例1.类比等差数列通项公式的推导，请推导等比数列的通项公式.
例2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
例3.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
【课堂检测】
1．公差不为0的等差数列{an}中，a ( http: / / www.21cnjy.com )2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 （ ）A. B. C.2 D.3
2.一个等比数列的第2项是10，第4项是40，求它的第1项与第4项.
3．（1）已知等比数列x，－，y，－，，…，求x，y.
（2）已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.
【总结提升】熟练掌握等比数列的通项公式是解决问题的关键。2.2等差数列（二）
【学习目标】
1.熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
【自主学习】
等差数列的性质
1. 在等差数列中，为公差， 与有何关系？
2. 在等差数列中，为公差，若且，则，，，有何关系？
【自主检测】
1.在等差数列{}中，若+=9, 则 .
2. 等差数列中，，，则公差d＝ .
【典型例题】
例1.在等差数列中，已知，，求首项、公差和.
小结：等差数列中，公差d可以由数列中任意两项与通过公式求出.
例2.在等差数列中，，求和.
例3.在等差数列{}中，++=－12, 且 ··=80. 求通项
小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则，可以使得计算简化.
【目标检测】
1.等差数列中，，则的值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
2.若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝ ，b＝ ，c＝ .
3.在等差数列中，，，求的值.
4.已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.
成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．
【知识拓展】
1.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）； （2）； （3）.
2. 若三个数成等差数列且已知其和时，可设这三个数为. 若四个数成等差数列且已知其和时，可设这四个数为.
【总结提升】
1.在等差数列中，若m+n=p+q，则.
注意：，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
2. 在等差数列中，公差.2.2等差数列（一）
【学习目标】
1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3.能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
【自主学习】
一、等差数列的概念
1.等差数列：一般地，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )一个数列从第 __ 项起，每一项与它 __ 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ，常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a ( http: / / www.21cnjy.com )，A， b组成的等差数列，这时数 ___ 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A= ____
二、等差数列的通项公式
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
，即：
， 即：
，即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
【自主检测】
在等差数列中，
⑴已知，d＝3，n＝10，求； ⑵已知，，d＝2，求n；
⑶已知，，求d； ⑷已知d＝－，，求.
【典型例题】
例1.⑴求等差数列8，5，2,…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13,…的项？如果是，是第几项？
例2.某市出租车的计价标准为1.2元/ ( http: / / www.21cnjy.com )km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
分析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
例3.已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？
小结：要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数.
【目标检测】
1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 等差数列的第1项是-7，第7项是－1，则它的第4项是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B＝ .
4. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b＝ .
5.100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.
【总结提升】
1. 等差数列定义： (n≥2)；2. 等差数列通项公式： (n≥1).2.4等比数列（二）
【学习目标】
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决问题.
【自主学习】
1．判断数列为等比数列的方法：
定义法:_________________.
2．等比数列的性质：
（1）在等差数列{}中，对于任意的正整数，如果，那么. 在等比数列中，有类似性质吗？若有的话，请写出并证明.
（2）若为等比数列，则
3．等比数列的增减性：
(1)当____________________________时, {}是递增数列;
(2)当_________________________时, {}是递减数列;
(3)当q=1时, {}是_________________数列;
(4)当q<0时, {}是____________数列;
【典型例题】
例1.已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
例2 已知{}是等比数列.（1）若，，求；
（2）若, 求.
例3.已知是等比数列，，，且公比为整数，求．
【课堂检测】
在等比数列中，（1）若，，则 ，
（2）若，，则 .
2.在等比数列中，，求该数列前七项之积
3.已知等比数列中，，求的通项公式.
【总结提升】熟练应用等比数列的性质.2.1数列的概念与简单的表示法（一）
【学习目标】
1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
【自主学习】
⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.
⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.
问题：如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？
3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第 项.
4. 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.
5. 数列与函数的关系：数列可以看成以 .
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 _____ 数列和 _____ 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 ___ 数列， ____ 数列， ____ 数列和 ___ 数列.
【自主检测】
1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列 D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
【典型例题】
例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ 1，－，，－； ⑵ 2， 0， 2， 0.
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ ，，，； ⑵ 1， －1， 1， －1.
小结：由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.
例2.已知数列2，，2，…的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项.
例3.教材p35图2.1-5中的三角形称 ( http: / / www.21cnjy.com )为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形.在图中4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.
【目标检测】
1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴ 1，，，2 ；
⑵ ，，，；
⑶ ，，，.
2.数列的第4项是 .
3.写出数列的第20项，第n＋1项.
. 数列中，，则此数列最大项的值是（ ）.
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
【总结提升】
对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式，会用通项公式写出数列的任意一项.专题二：数列的求和
【知识链接】
1.等差数列的前项和公式： ，
2．等比数列的前n项和公式：
当时， 或 ②当q=1时，
3.特殊数列求和
；
；
一、分组求和法：
例1. 求和S=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)．
例2.求数列的前n项和
二、裂项相消法：
例3.求数列前n项和.
错位相减法：
例4 .求数列的前n项和.
练习：求数列前n项和.专题一：数列的通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
二、公式法：
例2.已知数列 的前n项和 ，求数列 的通项公式。
点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时，一定要合并.
三、累加法
若数列 满足 ，其中是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求的通项公式.
例3. 已知数列满足，，求.
四、累乘法
若数列 满足 ， ，其中数列 前n 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到.
例4．已知， ，求.
五、构造法
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
1.型如递推关系，构造等比数列求解.
比如常数p=2,q=1：，待定系数法：，展开对应得，所以是一个等比数列.
例5.数列 满足 ， 求 的通项公式.
例6.数列 满足 ： ，求数列 的通项公式。2.5等比数列的前n项和（二）
【学习目标】
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
【典型例题】
例1 .已知等差数列{}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第项，按原来的顺序排成一个新数列{}.求数列{}的通项公式和前项和公式.
例2 .已知是等比数列，是其前n项和.求证:,－,－成等比数列.
思考：数列 （）是否成等比数列？
例3.在等比数列中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝9，
试求 a11＋a12＋a13＋a14＋a15的值.
【课堂检测】
1.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝ .
2.在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝ .
3.等比数列{an}中，若S6＝91，S2＝7，求S4。
4．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
【总结提升】
通过练习进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.数列复习小结
一、等差数列
1.相关公式：
定义：____________________________________________________.
通项公式：____________________________________________________
前n项和公式：_________________________________________________
2.等差数列的性质:
（1）对于任意正整数n，都有
（2）对于任意的正整数，如果，那么___________________.
（3）对于任意的正整数，如果，则________________.
（4）是等差数列的前n项和，则 仍成等差数列.
二、等比数列
1.相关公式：
（1）定义：___________________________________.
（2）通项公式：___________________________________.
（3）前n项和公式：
2.等比数列的一些性质:
（1）对于任意的正整数n，均有
（2）对于任意的正整数,如果，则____________.
（3）对于任意的正整数，如果，则
(4)是等比数列的前n项和，当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列
三、思想方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4.数列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法等．
5.求数列通项公式的基本方法有：定义法、公式法、迭加法、迭乘法、构造法等.
四、典型例题
1. 已知数列｛｝的前n项和，满足：log（+1）=n+1．求此数列的通项公式．
2. 在数列｛｝中，a=1，+=n+2n（n∈N+）．求数列｛｝的通项公式．
3. 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
4.已知数列满足， .
令，证明：是等比数列； (Ⅱ)求的通项公式。
5. 已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列；
(2)设Cn=,求证：是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.
已知数列{}，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为. (1) 求数列{}的通项公式； (2) 证明：<1.
7．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21.
(1) 求数列{bn}的通项公式； (2) 求证：＋＋＋……＋<2.2.1数列的概念与简单的表示法（二）
【学习目标】
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.
【自主学习】
问题：观察钢管堆放示意图，寻找自上而下每层的钢管数与层数n之间有何关系？
通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的一个通项公式是 .
图象法：
数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试试：上图中相邻两层的钢管数与之间关系的一个递推公式是 .
4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数与层数n之间关系的用列表法如何表示？
【自主检测】
1. 已知数列，则数列是（ ）.
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列
2．已知数列，，，，…，则5是数列的 ( )
A.第18项 B.第19项 C.第17项 D.第20项
【典型例题】
例1.设数列满足写出这个数列的前五项.
变式：已知，，写出前5项，并猜想通项公式.
小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.
例2．已知， 写出前5项，并猜想．
例3．已知数列满足，，试写出数列的前5项, 并猜想.
【目标检测】
1. 数列满足，（n≥2），写出它的前五项，并归纳出通项公式.
2．已知数列中， (n∈N*), 则等于( )
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，（n≥2），则 .
4. 在数列中，，，通项公式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 88是否是数列中的项.
【总结提升】
1. 数列的表示方法；2. 数列的递推公式.
