一元二次方程的应用（4）[下学期]
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文档简介
课 题 §7．5 一元二次方程的应用（四）
教学目标
(一)教学知识点
1. 能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决实际问题．
2．通过列方程解应用题，来提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
(二)能力训练要求
1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性 ．
2．通过列方程解应用题，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
教学重点
进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力
教学难点
数学模型的建立．
教学过程
Ⅰ．出示自学指导
（1）回顾列方程解应用题一般步骤 六个字，即审、设、列、解、验、答．
（2）P66例题 ,继续来探讨用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题．
Ⅱ．解决问题
[例题]如右图某海军基地位于A处，在其正南方向200
海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重
要目标C，小岛D位于AC的中点处，岛上有一补给码头．一艘
军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，
沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰
的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，
那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0．1海里)
我们一看到实际问题，首先想到的是把实际问题用数学模型刻画出来．现在我们来按大家已有的经验解决这一问题，首先应该做什么
（1）首先要仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系．
由题意可知道如下信息：
目标B在A处的正南方向的200海里处，目标C又在目标B的正东方向的200海里处，由此可知，AB与BC是互相垂直的，从而可知，△ABC是等腰直角三角形．
小岛D点位于AC的中点处，可知AD=DC．
由于军舰的速度是补给船的2倍，它们行走的时间相同，所以可以知道：军舰所航行的路程是补给船的2倍．
要求的是两船相遇时，补给船航行的路程．
那已知量与未知量的关系如何呢
因为这个实际问题可以抽象成一个几何图形，所以可考虑用几何知识来找出等量关系．根据题意，设军舰与补给船在E处相遇，过点D作DF⊥BC，垂足为F，这样就得到直角三角形DEF和直角三角形DFC．利用勾股定理就可以找到等量关系：DE2=EF2+DF2．
利用几何知识找到了题中的等量关系，从而解决了问题．
解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴AC＝AB＝200海里，∠C＝45°．
过点D作DF⊥BC，垂足为F，则
DF＝CF, DF＝CD，
即DF=CF= =100海里．
设相遇时补给船航行了x海里，那么
DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，
EF＝AB+BC-(AB+BE)-CF
＝(300-2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2＝1002+(300-2x)2，
整理，得
3x2-1200x+100000＝0．
解这个方程，得
x1=200-≈118．4，
x2=200+≈281．6．
所以，相遇时补给船大约航行了118．4海里或281．6海里．
因为若DE=281．6海里时，EF的长度就为负数，即点正不在线段BC上，它不符合题意，应舍去．
在正确求出方程的解后，要检验解的合理性，这一点一定要注意，本题在得到两个解后，经检验：x2＝200+不符合题意，所以应舍去，因此最后的结果是：相遇时补给船大约航行了118．4海里．
Ⅲ．课堂练习
课本P64随堂练习 1
1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何 ”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远
解：设相遇时，甲走了x步．
根据题意，得
102+()2＝(x-10)2．
整理，得
2x2-49x＝0．
解这个方程，得
x1＝0(不合题意，舍去)，
x2＝24．5。
所以，相遇时，甲走了24．5步，乙走了10．5步．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过分析具体问题中的数量关系，建立了方程模型，并解决了实际问题． 解决问题的关键在于审题和分析题中的数量关系．
(1)审题要弄清已知量与未知量之间的内在联系．
(2)分析等量关系时，从多角度来考虑．
注意：
正确求解方程后要检验解的合理性．
Ⅴ．课后作业
必做课本P67习题7．15 2
板书设计
§7．5．4 一元二次方程的应用（四）
解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴AC＝AB＝200海里，∠C＝45°．
过点D作DF⊥BC，垂足为F，则
DF＝CF, DF＝CD，
即DF=CF= =100海里．
设相遇时补给船航行了x海里，那么
DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，
EF＝AB+BC-(AB+BE)-CF
＝(300-2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2＝1002+(300-2x)2，
整理，得
3x2-1200x+100000＝0．
解这个方程，得
x1=200-≈118．4，
x2=200+≈281．6．（舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了118．4海里
教学目标
(一)教学知识点
1. 能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决实际问题．
2．通过列方程解应用题，来提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
(二)能力训练要求
1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性 ．
2．通过列方程解应用题，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
教学重点
进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力
教学难点
数学模型的建立．
教学过程
Ⅰ．出示自学指导
（1）回顾列方程解应用题一般步骤 六个字，即审、设、列、解、验、答．
（2）P66例题 ,继续来探讨用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题．
Ⅱ．解决问题
[例题]如右图某海军基地位于A处，在其正南方向200
海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重
要目标C，小岛D位于AC的中点处，岛上有一补给码头．一艘
军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，
沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰
的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，
那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0．1海里)
我们一看到实际问题，首先想到的是把实际问题用数学模型刻画出来．现在我们来按大家已有的经验解决这一问题，首先应该做什么
（1）首先要仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系．
由题意可知道如下信息：
目标B在A处的正南方向的200海里处，目标C又在目标B的正东方向的200海里处，由此可知，AB与BC是互相垂直的，从而可知，△ABC是等腰直角三角形．
小岛D点位于AC的中点处，可知AD=DC．
由于军舰的速度是补给船的2倍，它们行走的时间相同，所以可以知道：军舰所航行的路程是补给船的2倍．
要求的是两船相遇时，补给船航行的路程．
那已知量与未知量的关系如何呢
因为这个实际问题可以抽象成一个几何图形，所以可考虑用几何知识来找出等量关系．根据题意，设军舰与补给船在E处相遇，过点D作DF⊥BC，垂足为F，这样就得到直角三角形DEF和直角三角形DFC．利用勾股定理就可以找到等量关系：DE2=EF2+DF2．
利用几何知识找到了题中的等量关系，从而解决了问题．
解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴AC＝AB＝200海里，∠C＝45°．
过点D作DF⊥BC，垂足为F，则
DF＝CF, DF＝CD，
即DF=CF= =100海里．
设相遇时补给船航行了x海里，那么
DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，
EF＝AB+BC-(AB+BE)-CF
＝(300-2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2＝1002+(300-2x)2，
整理，得
3x2-1200x+100000＝0．
解这个方程，得
x1=200-≈118．4，
x2=200+≈281．6．
所以，相遇时补给船大约航行了118．4海里或281．6海里．
因为若DE=281．6海里时，EF的长度就为负数，即点正不在线段BC上，它不符合题意，应舍去．
在正确求出方程的解后，要检验解的合理性，这一点一定要注意，本题在得到两个解后，经检验：x2＝200+不符合题意，所以应舍去，因此最后的结果是：相遇时补给船大约航行了118．4海里．
Ⅲ．课堂练习
课本P64随堂练习 1
1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何 ”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远
解：设相遇时，甲走了x步．
根据题意，得
102+()2＝(x-10)2．
整理，得
2x2-49x＝0．
解这个方程，得
x1＝0(不合题意，舍去)，
x2＝24．5。
所以，相遇时，甲走了24．5步，乙走了10．5步．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过分析具体问题中的数量关系，建立了方程模型，并解决了实际问题． 解决问题的关键在于审题和分析题中的数量关系．
(1)审题要弄清已知量与未知量之间的内在联系．
(2)分析等量关系时，从多角度来考虑．
注意：
正确求解方程后要检验解的合理性．
Ⅴ．课后作业
必做课本P67习题7．15 2
板书设计
§7．5．4 一元二次方程的应用（四）
解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴AC＝AB＝200海里，∠C＝45°．
过点D作DF⊥BC，垂足为F，则
DF＝CF, DF＝CD，
即DF=CF= =100海里．
设相遇时补给船航行了x海里，那么
DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，
EF＝AB+BC-(AB+BE)-CF
＝(300-2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2＝1002+(300-2x)2，
整理，得
3x2-1200x+100000＝0．
解这个方程，得
x1=200-≈118．4，
x2=200+≈281．6．（舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了118．4海里