3.2 一元二次不等式及其解法(习题课）
1.不等式 的解集是为（ ）
（A） （B） （C）（-2，1）（D）∪
2.不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
3..若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集是 ( )
A． B． C． D．
6．一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7．若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋)x＋1＜0的解集是( )
A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t} C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜}
8．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4 C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
9．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2]
10．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2 C．m≠±2 D．1＜m＜3
11．若关于x的不等式(a－x)(b－x)＞0的解集为{x|x＜a或x＞b}，则实数a，b的大小关系是________．
12.解不等式。
13．不等式的解集为,求实数的取值范围。
设，，且，求的取值范围．
15．解下列关于x的不等式．
(1)x2－(a＋1)x＋a＞0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＞0(a≠0)； (3)x2－(a＋1)x＋1＞0.3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（第1课时）
【学习目标】
了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域．
【自主学习】
1.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组) ( http: / / www.21cnjy.com )的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成 .
2. 探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形(从特殊到一般)
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。(1)尝试 在直角坐标系中,所有点被直线分成三类:
一类是在直线上;
二类是在直线左上方的区域内的点;
三类是在直线右下方的区域内的点.
(2)观察并思考 设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图中标出点P和点A,完成表格，
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说法，直线x-y=6左上方点的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x ( http: / / www.21cnjy.com )-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6___________________,如图.
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6____________________________如图.
直线x-y=6叫做这两个区域的边界
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.
3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
【典型例题】
例1（1）画出表示的平面区域.（2）画出－+2y－4＜0表示的平面区域.归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.
例2用平面区域表示不等式组的解集
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式:画出不等式表示的平面区域.
【课堂检测】画出不等式组表示的平面区域
注意：表示区域时不包括边界，而则包括边界.3.3.4简单的线性规划(第4课时)
【学习目标】
利用图解法求得线性规划问题的最优解．
【典型例题】
线性规划的两类重要实际问题：
1．第一种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应 ( http: / / www.21cnjy.com )该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
2. 第二种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大.
例2在上一节例4中，若生产1 ( http: / / www.21cnjy.com )车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
例3 已知变量x、y满足条件，求的最大值和最小值.
例4 实数x,y满足，求的取值范围．
解：由①、②同向相加可求得：
0≤2≤4 即 0≤4≤8 ③
由②得 —1≤—≤1
将上式与①同向相加得0≤2≤4 ④
③十④得 0≤4十2≤12
以上解法正确吗 为什么
产生上述解法错误的原因是什么 此例有没有更好的解法 怎样求解
正解：
【课堂检测】
1.若实数满足则的最小值是 （ ）
A．0 B．1 C． D．9
2.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （ ）
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
3．原点和点在直线的两侧，则的取值范围是 ．
4．设实数x, y满足 .3.4.1基本不等式(第1课时)
【学习目标】
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.
【自主学习】
均值不等式
（1）均值不等式的证明
证明1：从几何图形的面积关系出发
证明2：从不等式的性质出发
（2）均值不等式的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
评述：1.是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该不等式可以叙述为：___________________________________________.
2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.均值不等式还可叙述为：____________________________________________.
3.成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是_____________，而后者要求a,b都是_______.
【典型例题】
例1 （1）求证：（）2≤（2）已知，求证：
例2已知x、y都是正数，求证：≥2.
【课堂检测】
1.设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是 ( )
Ab Ba2＋b2 Ｃ2ab D
2.（1）已知求证：；（2）已知，求证：。
【总结提升】
1. 利用均值不等式求最值应注意三个条件：
(1）函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
(3）等号成立条件必须存在.
2.不等式的等价变形：ab≤，ab≤3.4.2基本不等式（第2课时）
【学习目标】
进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值．
【典型例题】
例1 已知x,y都是正数，求证：如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值
说明：此例题反映的是利用均值定理求最小值的方法，但应注意三个条件：
(1）函数式中各项必须都是正数;
(2) 函数式中含变数的各项的积必须是常数；
(3）等号成立条件必须存在
例2 求下列函数的最小值: （1）y＝3x 2＋;
（2） （
【课堂检测】
1.下列函数中，的最小值是4的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2.已知x + y = 2，求 2 x＋2 y的最小值.
3.求(x>5)的最小值.
4.设，求函数的最小值.
【总结提升】用均值不等式求函数的最小值，关键就是如何构造 “定积”。3.4.3基本不等式（第3课时）
【学习目标】
进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值．
【典型例题】
例1 已知x,y都是正数，求证：如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值
例2求下列函数的最大值:
（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜）；
y＝2x（1－3x）（0＜x＜）
例3已知正数满足，求的取值范围.
【课堂检测】
1设0＜x＜2，求函数f(x)=的最大值，并求出相应的x值
2.已知函数y = (3x＋2)（1－3x）
（1）当－＜x＜时，求函数的最大值；
当0≤x≤时，求函数的最大、最小值.
设求函数的最大值.
4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.3.1不等关系和不等式
【学习目标】
掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；能利用作差比较法证明不等式.
【自主学习】
1．不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
2．判断两个实数大小的理论依据
对于任意实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的方法是：
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．
3.不等式的基本性质(希望你联想等式的基本性质，类比得到不等式的性质)
性质1 性质2
性质3 性质4
利用以上基本性质，可以得到不等式的下列性质：
性质5
性质6
性质7
性质8
【典型例题】
例1已知求证： 。
证法一：（利用不等式的基本性质）
证法二：作差比较法
例2比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
例3已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小
分析：注意限制条件的应用?
例4生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢
转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么 怎么证呢
数学语言表示为：
证明：
【课堂检测】
1.若a＜0，－1＜b＜0，则有 ( )
Aa＞ab＞ab2 Bab2＞ab＞a Cab＞a＞ab2 Dab＞ab2＞a
2.已知a≠0，比较（a2＋a＋1）（a2－a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小
【总结提升】作差比较法：作差→变形→判断差值的符号
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.3.3.2二元一次不等式（组）与平面区域(第2课时)
【学习目标】
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．
【典型例题】
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求。
解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张,则
用图形表示这个限制条件，得到的平面区域为（阴影部分）：
例2一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料， ( http: / / www.21cnjy.com )生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
例3画出下面不等式表示的区域.
；
分析：转化为等价的不等式组；
解：
总结：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解.
【课堂检测】
分别画出下列不等式所表示的平面区域.
（1）；（2）．； （3）．3.1不等关系和不等式(习题课）
1．已知a<0，－1
A．a>ab>ab2 B．ab>a>ab2 C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a
2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系为( )
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b
3．设x＜a＜0，则下列各不等式一定成立的是( )
A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax
4．已知－1A．A5．如果a、b、c满足cA．ab>ac B．bc>ac C．cb26．若a，b是任意实数，且a＞b，则( )
A．a2＞b2 B.＜1 C．lg(a－b)＞0 D．()a＜()b
7．设,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A． B． C． D．
8.下列结论中正确的是( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若a>b，c>d，则>
9．下列结论中正确的是( )
①a＞b＞0，d＞c＞0 ＞， ②a＞b，c＞d a－c＞b－d，
③＞ a＞b， ④a＞b an＞bn(n∈N，n＞1)．
A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①③④
10．已知：0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝logba，z＝logb，则( )
A．z＜x＜y B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜z＜y
11．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( )
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M、N的大小无法确定
12．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A.> B．a＋>b＋ C．a＋>b＋ D.>
13．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是________．
14．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
15.a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为________．
16.给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得＜成立的是________．
17．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
18．实数a、b、c、d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论．
19．(1)若x(2)设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．3.4.5基本不等式（第5课时）
【学习目标】
会应用均值不等式解决一些简单的实际问题
【典型例题】
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
（2）长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 ( http: / / www.21cnjy.com )容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
例3如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无 盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计)
分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值
例4用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)
【课堂检测】
1.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.
2.设计一幅宣传画，要求画面面积为48 ( http: / / www.21cnjy.com )40cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？3.4.4基本不等式（第4课时）
【学习目标】
进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值．
【典型例题】
例1.（1）求函数（）的最小值.（2）求函数y = (x≠0)的最大值.
例2已知x、y同号，且x＋2y＝1，求 ＋的最小值.
例3已知正数，且，（1）求的最小值；（2）求的最小值.
【课堂检测】
已知x、y同号，且x＋y＝1，求的最小值.
2.若x>0,y>0,且,求及的最小值.
【总结提升】1. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。
2.创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立。3.2 一元二次不等式及其解法
【学习目标】
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法,培养数形结合的能力.
【自主学习】
1.一元二次不等式的定义:
_______________________________________________________________________.
2.探究一元二次不等式的解集
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
____________________________________________________________________________.
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，可得不等式的解集是____________.
3.探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
二次函数（）的图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
没有无实根
【典型例题】
例1 解不等式:
(1) (2) 2x2－x－1>0 （3）x2－3x＋5＞0
(4) x(3－x)≥x(x＋2)＋1 （5）9x2＋6x＋1≤0 （6）
【课堂检测】
1.已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B= 。
2.解不等式 （1） （2）3.3.3简单的线性规划（第3课时）
【学习目标】
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
【典型例题】
1、引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则__________________.
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
2、线性规划的有关概念
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫————；
由所有可行解组成的集合叫做_______________;
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的_________.
3.变换条件，加深理解
在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
【课堂检测】
1.求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
2.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
【总结提升】1、线性规划问题求解的格式与步骤是：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解
2、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线 ；(3)观察、分析，平移直线，从而找到最优解；(4)最后求得目标函数的最大值及最小值