1.1.1命题
【学习目标】
1．理解什么是命题，会判断一个命题的真假．
2．分清命题的条件和结论，能将命题写成“若p，则q”的形式．
【自主学习】
研读教材1.1.1节内容，回答下列问题：
1.命题定义： .
从命题定义可以看出,命题具备的两个基本条件是 .
2.命题的分类：
真命题：判断为 的语句叫做真命题.
假命题：判断为 的语句叫做真命题.
【自主检测】
1.判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？
(1)空集是任何集合的子集．
(2)若整数a是素数，则是a奇数．
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
(5)＝－２．
(6)x＞15．
2.上述问题中（2）（4）具有“若p，则 ( http: / / www.21cnjy.com )q”的形式。在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做 ，q叫做 .
【典型例题】
例1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
(1)3是12 的约数；
(2)个位数是5的自然数能被5整除吗
(3)对于任意的实数a,都有.
例2指出下列命题中的条件p和结论q．
(1)若整数a能被2整除，则a是偶数．
(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
(3)若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
例3把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断各命题的真假
面积相等的两个三角形全等.
负数的立方是负数.
（3）对顶角相等.
（4）垂直于同一条直线的两个平面平行．
【课堂检测】
1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．
(1)末位是0的整数能被5整除；
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；
(3)两直线平行，则斜率相等；
(4)△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
(5)余弦函数是周期函数吗？
2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假：
(1)等腰三角形两腰的中线相等；
(2)偶函数的图象关于y轴对称；
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.1.1.3四种命题间的相互关系
【学习目标】
掌握四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
【自主学习】
观察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1.命题（1）与命题（2）（3）（4）之间是什么关系？你知道上述四个命题中任意两个命题之间的相互关系吗？
2．四种命题间的真假性关系
（1）判断上述四个命题的真假，并思考它们的真假性是否也有一定的相互关系？
（2）以“若，则”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假.
（3）再分析其他一些命题，思考四种命题真假性间有什么规律？
一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间的相互关系如下：
若p，则q
原命题
逆命题
互逆
互为 逆否
互 互
否 互为 逆否 否
否命题
逆否命题
互逆
原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的真假性，有而且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真
假 真
假 真
假 假
【自主检测】
下列说法正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【典型例题】
例：证明：“若,则.”为真命题.
【目标检测】
1．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；1.2.1充分条件与必要条件
【学习目标】
理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
【自主学习】
1.写出下列两个命题的条件和结论，并判断其真假.
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab；
（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
其中命题（1）是 命题，也即是 ( http: / / www.21cnjy.com )由“x ＞ a2 + b2 ”可以推出“x ＞ 2ab”.一般地，“若p，则q”为 命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作： ，并且说p是q的 条件，q是p的 条件.
思考：命题(1)中“x＞2ab”是“x＞a2 + b2”的 条件．
“x＞a2+b2 ”是“x＞2ab”的 条件.
2．如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作 .此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
【自主检测】
设命题甲为：0甲是乙的 条件，乙是甲的 条件；
【典型例题】
例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若x ＝1，则x2－4x ＋ 3 ＝ 0；
（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
例2下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件
（1）若x ＝ y，则x2 ＝ y2；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
（3）若a ＞b,则ac＞bc．
例3如图2(1)，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
命题：若“黑点在B内”，则“黑点一 ( http: / / www.21cnjy.com )定在A内”中，“黑点在B内”是“黑点在A内”的 条件；“黑点在A内”又是“黑点在B内”的 条件.
若用集合观点又怎样解释例3的问题呢？请同学们想一想.
【课堂检测】
1.用符号“”与“”填空，想一想:前者是后者的什么条件
（1） _____ ；
（2） _____ ；
（3） _____ ；
（4） _____ .
2. 用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
（1）“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；
（2）“四边相等”是“四边形是正方形”的 条件；
（3）“x3”是“|x|3”的 条件；
（4）“x-1=0”是“x2-1=0”的 条件；1.4.3含有一个量词的命题的否定
【学习目标】
能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【自主学习】
含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p：，p(x)，它的否定非p： ，全称命题的否定是 命题．
(2)特称命题p：，p(x0)，它的否定非p： ，特称命题的否定是 命题．
【自主检测】
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并对其否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）, x2－2x＋1≥0；
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
x∈R, x2＋1＜0.
【典型例题】
例1写出下列全称命题的否定.
p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p：对任意x∈Z, x2的个位数不是奇数.
例2写出下列特称命题的否定
p：存在一个实数，；
p：有的三角形是等边三角形；
p：有一个素数含有三个因数.
例3写出下列命题的否定，并判断它们的真假
（1）p：存在一个实数，；
（2）p：任意两个等边三角形都是相似的.
【课堂检测】
1.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数．
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．
(4)某些平行四边形是菱形；
(5) x0∈R，x＋1<0；
※2.函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)的值；
(2)当f(x)＋2【学习目标】
理解全称量词、存在量词，能够用符号表示全称命题、特称命题，并会判断其真假．
明确判断全称命题、特称命题真假的判断方法．
【自主学习】
1．全称量词、全称命题
(1)短语“ ”、“ ( http: / / www.21cnjy.com ) ”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示，含有全称量词的命题叫做 ．
(2)常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“全部的”．
(3)全称命题的形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为： ．
2．存在量词 特称命题
(1)短语“ ”、“ ( http: / / www.21cnjy.com ) ”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 表示，含有存在量词的命题叫做 ．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”．
(3)特称命题的形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为 ．
【自主检测】
判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)有一个实数α，tanα无意义；
(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
(3)圆内接四边形，其对角互补；
(4)对数函数都是单调函数．
【典型例题】
例1：判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数；
（2）,.
（3）对每一个无理数x,它的平方也是无理数.
例2：判断下列特称命题的真假：
（1）有些整数只有两个正因数；
（2）有一个实数，使 ；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线.
【课堂检测】
1.下列全称命题中，真命题是（ ）
A. 所有的素数是奇数 B.
C. D.
2.下列特称命题中，假命题是（ ）
A.
B.至少有一个能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线
D.x2是有理数．1.1.2四种命题
【学习目标】
了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念．
【自主学习】
下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
归纳总结
1.像上述命题（1）和（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）这样，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 ．其中一个命题叫做 ，另一个命题叫做原命题的 ．
例如：命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：
思考：（1）试再举出一些互逆命题的例子，并判断原命题与逆命题的真假.
（2）如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？
2.像上述命题（1）和（3）这样，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做 ．其中一个命题叫做 ，另一个命题叫做原命题的 ．
例如：命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是：
思考：（1）试再举出一些互否命题的例子，并判断原命题与否命题的真假.
（2）如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？
3.像上述命题（1）和（4）这样， ( http: / / www.21cnjy.com )如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做 ．其中一个命题叫做 ，另一个命题叫做原命题的 ．
例如：命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是：
思考：（1）再举出一些互为逆否命题的例子，并判断原命题与逆否命题的真假.
（2）如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？
2.四种命题的形式
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
原命题：若P，则q．
逆命题： ；否命题： ；逆否命题：
（符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；读着“非p”）
【自主检测】
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.
【典型例题】
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
(3)若x2=1,则x=1；
【课堂检测】
1.如果x2＝1，则x＝1的否命题为
2.命题“若x2<1，则－13.已知命题：“若m>0，则方程有实根”，是写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.1.3.1-1.3.2简单的逻辑联结词(第一课时)
【学习目标】
1.理解逻辑联结词“且”“或”的意义，会判断命题“p且q”、“p或q”的真假．
2．能把文字语言，符号语言相互转化．
【自主学习】
研读教材1.3.1-1.3.2节内容，回答下列问题：
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作 .
2．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作 .
3．当p，q都是真命题时，p∧q是 命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是 命题．命题p∧q的真假口诀
.
4．当p，q两个命题中有一个命题是真命题时 ( http: / / www.21cnjy.com )，p∨q是 命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是 命题．命题p∨q的真假口诀 .
【自主检测】
1.已知，则下列判断中，错误的是 ( )
A．为假 B.为真 C.或为假 D.且为假
2. 若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，正确的是( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
【典型例题】
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假.
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等.
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
例2选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数,3是素数；
（3）2≤2．
例3判断下列命题的真假
（1）6是自然数且是偶数；
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
【课堂检测】
1．已知命题p:函数的图象必过定点；命题q:若函数的图象关于原点对称，则函数图象关于点对称, 那么 ( )
A．“p且q”为真 B.“p或q”为假
C.p真q假 D.p假q真
2．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )
A．命题p，q都是真命题 B．命题p，q都是假命题
C．命题p，q只有一个是真命题 D．命题p，q至少有一个是真命题
3．已知命题p：0不是自然数，q：π是无理数，写出命题“p∨q”，“p∧q”，并判断其真假．1.3.3简单的逻辑联结词(第二课时)
【学习目标】
1.理解逻辑联结词“非”的意义．
2．能把文字、符号语言相互转化．
【自主学习】
研读教材1.3.3节内容，回答下列问题：
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作 ，读作 或 .
2．若p是真命题，则非p是 命题，若p是假命题，则非p是 命题．
3.对一些词语的否定
词语 否定 词语 否定
等于 任意的
大于 所有的
小于 且
是 都是
至多有一个 至多有n个
至少有一个 至少有n个
【自主检测】
1.写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)是有理数；
(2)5不是15的约数；
(3)2<3；
【典型例题】
例 写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集.
【课堂检测】
1. 命题p：a2＋b2<0(a、b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论中正确的是( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“非p”为假 D．“非q”为真
2. 下列“非p”形式的命题中，假命题是( )
A.不是有理数
B．π≠3.14
C．方程2x2＋3x＋21＝0没有实根
D．等腰三角形不可能有120°的角
3.已知命题p：6≥6，q：8>9，则下列选项正确的是 ( ) A．p或q为真，p且q为真，非p为假
B．p或q为真，p且q为假，非p为真
C．p或q为假，p且q为假，非p为假
D．p或q为真，p且q为假，非p为假
4.已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若p假q真，求x的值．1.2.2充要条件
【学习目标】
理解充要条件的定义．
【自主学习】
研读教材1.2.2节内容，回答下列问题：
已知p：整数a是6的倍数，q:整数a是2和3的倍数.
那么p是q的什么条件？q是p的什么条件？
（1）上述问题中，pq，故p是q的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 条件，q是p的 条件；另一方面，qp，故p是q的 条件，q是p的 条件；
（2）一般地，如果既有pq， ( http: / / www.21cnjy.com )又有qp，就记作 ，此时我们说p是q的 条件，简称： . 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的 条件.
概括地说,如果p q,那么p 与 q互为 条件.
2.若pq ,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；
若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；
若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件.
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
若pq ,但qp，则p是q的充分但不必要条件；
若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；
若pq，且qp，则p是q的充要条件；
若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
【自主检测】
“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的 ( ) A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【典型例题】
例1下列各题中，哪些p是q的充要条件
p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
p:x ＞ 0,y ＞ 0，q: xy＞ 0；
p: a ＞ b ，q: a + c ＞ b + c；
例2下列各题中， p是q的什么条件？
（1）p:，q: ；（2）p:，q：；
例3仿照教材例4，证明：△ABC是等边三角形的充要条件是.
【课堂检测】
1．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：
（1）“m≠3”是“|m|≠3”的_____ ___；
（2）“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的_____ ___；
（3）“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的____ ____；
(4)△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的 .
2．已知，.
(1)如果，那么p是q的什么条件？
(2)如果，那么p是q的什么条件？
(3)如果，那么p是q的什么条件？
