2.3.2双曲线简单的几何性质（二）
【学习目标】
进一步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
【自主检测】
1．双曲线16x2―9y2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为 （ ）
（A）4, 3, （B）8, 6, （C）8, 6, （D）4, 3,
2．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，e=的双曲线的标准方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
翰3.若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值
范围是( )
(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-∞,)∪(-,+∞)
4．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 .
【典型例题】
例1求满足下列条件的双曲线的标准方程：
渐近线方程为2x-3y=0，经过点M(4.5,-1);(2) 以为渐近线，一个焦点F（0，2）．
【课堂检测】
1．经过点M(3, ―1)，且 ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 （ ）
（A）y2―x2=8 （B）x2―y2=±8 （C）x2―y2=4 （D）x2―y2=8
2.已知平面内有一固定线段AB,其长度 ( http: / / www.21cnjy.com )为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 （ ） (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5
3.双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于 ( )
(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16
4*．双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .
5.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）与有公共焦点，且离心率e=，
（2）以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点，
（3）与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)．
【总结提升】
双曲线的性质与椭圆相比，多了两条渐近线，双曲线的两条渐近线方程是.2.2.1椭圆及其标准方程（一）
【学习目标】
1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念
2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程
【自主学习】
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长
通过手工操作演示椭圆的形成，得出椭圆的定义：
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定
（2）绳长--轨迹上任意一点到两定点距离之和确定
思考：定义中，“定值大于”是必要条件．当时，动点轨迹是 __________________；而当时，动点轨迹 ．
如图，取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，，又设M与距离之和等于()（常数），试根据求曲线方程的一般步骤求椭圆的轨迹方程。
注意:若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程（请写出焦点在y轴上标准方程）
【自主检测】
1．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为 （ ）
A.5 B.6 ?C.4 ?D.10
2．椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若为过左焦点的弦，则的周长为
【目标检测】
1．椭圆的焦点坐标是 （ ）
?A.(±5，0)? B.(0，±5) C.(0，±12)? D.(±12，0)
2. 椭圆上一点到焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离是
3.方程的曲线是焦点在轴上的椭圆 ，求的取值范围
【总结提升】理解椭圆的定义，熟练掌握椭圆的标准方程；注意利用椭圆的定义求解相关题型.2.3.3双曲线的简单几何性质（一）
【学习目标】
初步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
【自主学习】
双曲线的简单几何性质：
1．范围、对称性
2．顶点
顶点： 特殊点：
实轴：长为2a, a叫做 ． 虚轴：长为2b， b叫做 ．
渐近线：过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是 （），这两条直线就是双曲线的渐近线．
4．等轴双曲线 ，这样的双曲线叫做等轴双曲线．
结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成(或，它的实轴和虚轴都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．
5．双曲线的草图画法：
6．离心率
概念：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．
范围： 双曲线形状与e的关系：，
因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这时双曲线的形状就从 逐渐变得 ．
【典型例题】
例1求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
【课堂检测】
1.下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 （ ）
2. 下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ） (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1
(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1
3.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( )
（A）（-∞,0） （B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1)
4.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； (2)离心率 ，经过点M(-5,3);
(3)求以椭圆 的顶点为焦点的等轴双曲线的方程．2.4.4.直线与抛物线的位置关系(二)
【学习目标】
解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想.
【自主检测】
1.焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是 （ ）
(A) y2＝16x或x2＝16y (B) y2＝16x或x2＝12y
(C) x2＝－12y或y2＝16x (D) x2＝16y或y2＝－12x
2.已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【典型例题】
例1．在抛物线y = x2上求一点M, 使它到直线y = 2x 4的距离最短.
解法一：
解法二：
例2．抛物线 上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为 10，则① 这点到准线的距离为____ ；
② 焦点到准线的距离为_____ ；③ 抛物线方程____ ；
④ 这点的坐标是______ ；
⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为______．
【课堂检测】
1．过 抛物线 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则 AB 的最小值为
(A) (B) (C) (D) 无法确定
2．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ，两点，如果，则弦长=___________.
3．抛物线 的弦 AB 垂直于x 轴，若 AB 的长为，则焦点到 AB 的距离为___________.
o
y
x2.3.2 双曲线及其标准方程（二）
【学习目标】
进一步掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程．
【自主学习】
名 称 椭 圆 双 曲 线
图 象 ( http: / / www.21cnjy.com )
定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 。 当2﹥2时，轨迹是 ， 当2=2时，轨迹是 ， 当2﹤2时，轨迹 。 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即 。当2﹤2时，轨迹是 当2=2时，轨迹是 当2﹥2时，轨迹
标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据 来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据 来判断焦点所在的位置
的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大， （符合勾股定理的结构）最大，可以
【典型例题】
例1已知A、B两地相距800m， 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．，并且此时声速为340 m／s，
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)求炮弹爆炸点的轨迹方程．
例2 (课本55页探究)已知点A,B的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标分别是(-5,0)，(5,0),直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4/9，求点M的轨迹方程。
【课堂检测】
1．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值 。
2. 设是双曲线的焦点，点P在双曲线上,且,则点P到轴的距离为 。
3．证明：椭圆与双曲线的焦点相同．
4．判断方程所表示的曲线．2.2.2椭圆及其标准方程（二）
【学习目标】
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；
2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程
3．使学生掌握在求椭圆标准方程的过程中首先确定其焦点在哪个坐标轴上的方法.
【自主学习与检测】
1．设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
【典型例题】
例1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于；
⑵两个焦点坐标分别是和，且过（， ）
变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别是和，且过（,），求其标准方程
例2．已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程
【目标检测】
1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在轴上，且经过点和点.
(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为，到它较近的一个焦点的距离等于.
【总结提升】注意结合例题体会用待定系数法及定义法求椭圆的标准方程，其中的关键点在于确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上.2.2.5椭圆的简单几何性质（二）
【学习目标】
1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质；
2．能利用椭圆的几何性质解决相关的问题.
【自主检测】
1. 求直线与椭圆的交点坐标.
2. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是，问这组直线何时与椭圆相交？
【典型例题】
例1 .已知椭圆，直线.椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
思考：它到直线的最大距离是多少？
【目标检测】
1．若椭圆 的离心率为，则它的长半轴长是_______．
2.为椭圆上的点，且与的连线互相垂直，求点的坐标
3.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求的长.
【总结提升】直线被椭圆截得的弦长公式：设直线与椭圆交于，两点，则
（为直线的斜率）
涉及弦长的问题，常应用韦达定理“设而不求”地去计算弦长以简化运算。2.2.3椭圆及其标准方程（三）
【学习目标】
1．进一步熟悉椭圆的定义与标准方程；
2．学会用定义法求曲线的方程
3．使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决
【自主检测】
已知，是两个定点，，且的周长等于，求顶点的轨迹方程.
【典型例题】
例1．如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段的中点的轨迹.
例2．如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
?
【目标检测】
已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点，求圆心的轨迹及其方程.
【总结提升】注意结合例题体会用定义法以及中间变量法求动点的轨迹方程，注意轨迹与轨迹方程的区别与联系2.1曲线与方程
【学习目标】
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”
的概念及其关系，并能作简单的判断与推理
2.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、
化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法
【自主学习】
在必修二的学习中,我们研究了直线和圆的方程,讨论了这些曲线和相应的方程的关系.请回答如下问题：在直角坐标系中
1.第一、三象限的角平分线的方程为: .
圆心为 ,半径为的圆C的方程为: .
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
2.方程所表示的曲线是 .
点是否在方程所表示的曲线上？
方程和曲线之间有什么对应关系
说明:点P 在方程的曲线C上点的坐标是曲线的方程的解；集合的观点:曲线C是坐标满足方程的点的点的集合(又叫点的轨迹).
【自主检测】
1.点，，是否在方程表示的曲线上？为什么？
【典型例题】
例1．判断下列结论的正误并说明理由
(1)过点且垂直于轴的直线的方程为；
(2)到轴距离为的点的轨迹方程为.
【目标检测】
1．下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线为过点，的折线，其方程为；
(2))曲线是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集，其方程为.
2．如果曲线上的点满足方程，则以下说法正确的是（ ）
A.曲线的方程是 B.坐标满足的点在曲线上
C.方程的曲线是 D.坐标不满足方程的点不在曲线上
4．方程的曲线经过点、、、中的（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【总结提升】注意领会曲线的方程、方程的曲线定义时，要牢记几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法
1
0
x
y
-1
1
0
x
y
-1
1
-2
2
12.3.1双曲线及其标准方程（一）
【学习目标】
初步掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程．
【自主学习】
1.双曲线的形成：手工操作演示双曲线的形成：（按课本52页的做法去做）
分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？
（2）在这个运动过程中，什么是不变的？
2．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的 为常数（小于）的动点的轨迹叫 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做 ．
3.双曲线的标准方程：
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴．
设P（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2（）．
则 ，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），
（自己完成下面过程）
注意:若坐标系的选取不同，可得到不同的双曲线方程．（请写出焦点在y轴上的标准方程）
4.焦点的位置:
思考：什么情况下焦点在轴上？什么情况下焦点在轴上？
【典型例题】
例1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值．
① ②
③ ④
例2 已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程．
【课堂检测】
1．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是 （ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2. 设双曲线上的点P到点的距离为15，则P点到的距离是（ ）
A．7 B.23 C.5或23 D.7或23
3．写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a=2，b=1，焦点在x轴上；(2)焦点坐标分别是(0，-6)，(0，6) ，且经过点(2，-5) ；
(3)焦点坐标分别为(0，-5)，(0，5) ，a=4； (4)a+c=10，c-a=4；2.5.1.直线与抛物线的位置关系（一）
【学习目标】
通过本节的学习,能运用性质解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想.
【自主学习】
1、直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程解的个数.
当时:
当时,直线和抛物线____,有____公共点;
当时,直线和抛物线____,有____公共点;
当时,直线和抛物线____,有____ 公共点．
当,即直线方程为时，则直线与抛物线相交,有一个公共点．
特别地,当直线的斜率不存在时, 即直线方程为，则
当, 与抛物线相交,有两个公共点;
当时,与抛物线相切,有一个公共点；
当时,与抛物线相离,无公共点.
注: 直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交．
【典型例题】
例1 已知抛物线的方程是，直线过定点，斜率是. 为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？
例2斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解法一：解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式
思路二：同思路一相同，但不解方程组，利用根与系数的关系和弦长公式
思路三：利用根与系数关系及抛物线的定义来解
【课堂检测】
翰1.过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有 （ )
(A)一条 (B)两条 (C)三条 (D)无数条
2．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是 ( )
(A) (B)4 (C)8 (D)2
3．过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程___________.
4. 若直线 与抛物线 交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______．2.2.4椭圆的简单几何性质（一）
【学习目标】
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
【自主学习】
1.“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
2.标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
3.椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？
4.椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
5.画椭圆草图的方法是怎样的？
【自主检测】
1.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
（1） （2）
2.求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标：
(1) (2)
【典型例题】
已知椭圆的离心率为，求的值．
【目标检测】
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴经过点、； ⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于.
2.短轴长为，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于、两点，则的周长为 .
3.已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率
【总结提升】由椭圆的方程研究椭圆的性质或其图像的特点。注意数形结合思想的应用。2.4.2抛物线的简单几何性质
【学习目标】
掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
【自主学习】
根据抛物线的标准方程，研究它的几何性质：
1．范围
2．对称性
3．顶点
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e= ．
注意：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.
【自主检测】
画出抛物线 的草图，并求其顶点坐标、焦点坐标、准线方程 、 对称轴 、 离心率 ．
【典型例题】
例1 已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并画出草图．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
【课堂检测】
1．抛物线的焦点到准线的距离是 ．
2.抛物线 上一点 P 到顶点的距离等于它到准线的距离，点P 坐标是 ．
3．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为 ．
【总结提升】类比椭圆、双曲线的几何性质，推导抛物线的几何性质，需注意抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.2.4.1抛物线及其标准方程
【学习目标】
掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程．
【自主学习】
1. 抛物线定义： ．
2．推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（>0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，（自己完成推导过程）
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），准线方程是
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式．
3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（>0），则抛物线的标准方程如下：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
按要求填写下表：
标准方程 焦点坐标 准线方程
比较四种标准方程的异同：
相同点：
不同点：
【自主检测】
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是 （ ）
(A) （0，） (B) （0，） (C) （，0） (D) （，0）
2．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是 ．
【典型例题】
例1求下列抛物线方程的焦点坐标和准线方程．
（1）y2＝12x， （2）y＝12x2，
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）,
（2）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上．
【课堂检测】
1．抛物线上一点M的纵坐标为4,则点M与抛物线焦点的距离为 .
2.已知抛物线方程是，求它的焦点坐标和准线方程．
