3.1.2 瞬时变化率与导数
【学习目标】
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数.
【自主学习】
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念是什么？
2.导数的概念是什么？
3.求函数在点处的导数的三个步骤是什么？
４．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗？
５．某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义是什么？
(1) 存在，则称f(x)在x＝x0处是否可导并且导数是什么？
(2) 不存在，则称f(x)在x＝x0处是否可导？
【自主检测】
1.质点运动规律为，求质点在的瞬时速度 ．
2.数f(x)=在处的导数 ．
【典型例题】
例1．求函数y=在x=1处的导数.
例2.求函数在点处的导数.
【课堂检测】
1.已知f(x)=ax3+3x2+2，若=4，则a的值等于 （ ）
(A) (B) (C) (D)
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数 ．
3.数y=在x=1处的导数 .
【总结提升】
1.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值，从而过渡到导数的概念.
2.理解求导数值的三个步骤:
⑴求函数值的增量:;⑵求平均变化率:并化简;
⑶直觉得导数.
注意：令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝与定义中的f′(x0)＝意义相同.3.1.1函数的平均变化率
【学习目标】
1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．
2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．
3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.
【自主学习】
１.平均变化率的概念是什么？
２．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？
３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？
４.观察函数f(x)的图象,平均变化率表示什么
５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？
６.“Δx→0”的意义是什么？函数f(x)在x0处的附近的平均变化率与Δx有关吗？
【自主检测】
1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
【典型例题】
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；
例2．求函数f(x)=图象上从点到点的平均变化率.
【课堂检测】
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为
A.3 B.6 C.9 D.12 （ ）
2. 已知函数，分别计算在[1，3]区间上的平均变化率 ；在[1，2]区间上的平均变化率 .
3.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率 .
4．已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率.
【总结提升】
定义中的x1，x2是指其定义域内不同的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个数，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当Δx≠0时，＝称作函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：
(1)函数f(x)在x1，x2处有定义；
(2)x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．3.2.2 导数的运算
【学习目标】
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则；
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
【自主学习】
1.基本初等函数的导数公式是什么？
2.幂函数与指数函数的求导公式的区别是什么？
3.导数的运算法则及推论是什么？
4.求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应怎么做？当函数解析式不能直接用公式时，应怎么做
【自主检测】
1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
2.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 .
【典型例题】
例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）． （6）；
（7）
【课堂检测】
1.函数的导数是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.若直线为函数图象的切线,求b=_________和切点坐标为___________.
3．已知曲线C:y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程______________.
4.求过曲线y=cosx上点P() 的切线的直线方程.
【总结提升】
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3.1.3 导数的几何意义
【学习目标】
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。
【自主学习】
1.如图课本7页1.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？曲线在点P处的切线概念如何定义？割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？切线PT的斜率为多少？归纳导数的几何意义是什么
2.求曲线在某点处和过某点的切线方程的基本步骤是什么
3.什么是导函数？函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系是什么？
【自主检测】
1．求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程______________.
2．求函数y=3x2在点处的导数______________.
3．求函数y=3x2在点处的导函数______________.
【典型例题】
例（1）求曲线在点的切线方程；
（2）求抛物线过点的切线方程.
(3)若曲线上一点P处的切线恰好平行于直线y=11x－1，求P点坐标.
【课堂检测】
1.已知曲线和点A(1,0) , 求过点A的切线方程( )
2.设函数，曲线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【总结提升】
1．在定义了曲线在某一点处的切线的基础上给出函数在某一点处的导数的几何意义，即函数的图像在该点的切线的斜率；
2．会求曲线在某点处的切线方程；
3．注意区分曲线“在”与 “过”某点处的切线方程.3.3.3 函数的最值与导数
【学习目标】
理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极 ( http: / / www.21cnjy.com )值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
【自主学习】
1.观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．在上找出谁是极小值，谁是极大值．函数在上的最大值是多少？最小值是多少
2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法.
3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？
4.利用导数求函数的最值步骤是什么？
5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c对x∈R恒成立，常怎么转化？ f(x)≤c对x∈R恒成立，常怎么转化？
【自主检测】
1．下列说法正确的是 ( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,
则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
【典型例题】
例1．（1）求在的最大值与最小值;
（2）求函数在区间上的最大值与最小值;
(3)求函数在闭区间上的最大值与最小值．
例2.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f（x）的单调区间;
(2)若对x，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围.
【课堂检测】
设在区间上的最大值为3，最小值为，
且a>b,则 ( )
A． B． C． D．
2. 已知f(x)=2x3－6x2+m ( http: / / www.21cnjy.com )(m为常数)在［－2，2］上有最大值3，求此函数在［－2，2］上的最小值__________________.
4．求函数在区间上的最大值与最小值，并画出函数的图像．
【总结提升】
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点3.4 生活中的优化问题举例
【学习目标】
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
提高将实际问题转化为数学问题的能力.
【自主学习】
1.什么是优化问题？
2．利用导数解决生活中的一些 ( http: / / www.21cnjy.com )优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应怎么做？，则问题转化为导数问题，解题中应该注意什么？
3. 探究课本34页海报版面尺寸的如何设计？
4. 探究课本34页饮料瓶大小如何对饮料公司利润的影响？
5.探究课本35页磁盘的最大存量问题？
6.解决优化问题的基本思路是什么？
【自主检测】
1．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水升高的瞬时速度是
【典型例题】
例1．在边长为60 cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
【课堂检测】
1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )
A.和R B.R和R C.R和R D．以上都不对
2.、两村距输电线（直线）分别为 和，长现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在_________处,输电线总长 最小
3.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成 ( http: / / www.21cnjy.com )本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x).
（1）如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？3.3.2 函数的极值与导数
【学习目标】
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
【自主学习】
1.探究课本1.3-10和1.3-11，函数在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？
2.极大、极小值的概念和判别方法是什么？
3.求函数极值的方法及步骤是什么？
4. 如果使的点，判断该点是否为函数的极值点？
【自主检测】
1．函数有 ( )
A．极小值-1，极大值1 B．极小值-2，极大值3
C．极小值-2，极大值2 D．极小值-1，极大值3
2．若是函数的极值点，则为 ( )
A．1 B．2 C．1.5 D．3
【典型例题】
求的极值，然后画出函数的图像.
【课堂检测】
1.函数f(x)的定义域为开区间（a,b）,导函数在（a,b）内的图像如图所示，则函数f(x)在区间（a,b）内极小值点的个数是( )
A．1个 B．2个 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3个 D．4个
2.函数已知时取得极值，则a= .
3.函数的极值点，求的值 .
4.已知函数，且知当时取得极大值7，当时取得极小值，试求函数的解析式并3.3.1函数的单调性与导数（一）
【学习目标】
1.理解可导函数的单调性与其导数的关系．
2．能够利用导数确定函数的单调性，以及函数的单调区间．
3．掌握函数单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等．
4．体会导数法判断函数单调性的优越性.
【自主学习】
1.函数的单调性与导数的关系是什么？
2.如果，那么函数在这个区间内是什么函数？如果一个函数具有相同单调性的单调区间不只一个，那么这些单调区间应该怎么表示？
3.若在某区间上有有限个点使f′(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间是增还是减函数？在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的什么条件？
4.一般地，如果一个函数在某一范围内的 ( http: / / www.21cnjy.com )导数的大小与函数在这个范围内变化得快慢存在什么关系？与函数的图象 “陡峭”、 “平缓”又存在什么关系？
5.求解函数单调区间的步骤是什么？
6.已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤是什么？
【自主检测】
1.函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
2.函数的单调减区间为 .
3.函数在（0，）内的单调增区间为 .
【典型例题】
例1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间，最后画出函数的图像．
（1）； （2）
（3）； （4）
例2.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
【课堂检测】
1．若，则的解集为 （ ）
A． B． C． D．
2.若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是 ．
【总结提升】
了解可导函数的单调性与其导数正 ( http: / / www.21cnjy.com )负的关系，并能利用导数研究函数的单调性求函数的单调区间。求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后求导并解不等式．3.2.1几个常用函数的导数
【学习目标】
1．推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
【自主学习】
1.用导数的定义求函数y＝f(x)的导数的三个步骤是什么？如何在x=处和过某点处的切线方程？
2.四种常见函数、、、及的导数公式是什么？如何应用？
【自主检测】
的导数___________;在x=1处的导数_______;在(1,1)处的切线方程_______;
的导数___________;在x=1处的导数_______;在(1,1)处的切线方程_______;
的导数___________;在x=1处的导数_______;过(1,1)处的切线方程_______;
【典型例题】
例1.求下列函数的导数.
+
例2. 已知曲线C:y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标
【课堂检测】
1.已知函数在R上满足y=-3x2+3x+1，则曲线在点处的切线方程( )
2.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于__________
4.已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
