用分解因式法解一元二次方程[下学期]
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文档简介
课 题 §7．4 分解因式法解一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
(二)能力训练要求
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
教学重点
应用分解因式法解一元二次方程．
教学难点
形如“x2＝ax”的解法．
教学过程
1、 出示自学指导：
公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程． 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，通常应先计算b2-4ac的值，然后求解．
一元二次方程是不是只有这三种解法呢 有没有其他的方法 今天我们就来进一步探一元二次方程的解法．
看书P59—P60，基本学会因式分解解方程的方法，5分钟后交流课本上提出的问题(议一议)。
展示自学成果
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果相等，这个数是几 你是怎样求出来的
大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．
（1）解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程
x2=3x．
然后 用公式法来求解的．
解：由方程x2＝3x，得
x2-3x=0．
这里a=1，b=-3，c＝0.
b2-4ac＝(-3)2-4×1×0
＝9>0．
所以x=
即x1=3，x2＝0．
因此这个数是0或3．
（2）我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．
解：把方程两边同时约去x，得x＝3．
所以这个数应该是3．
因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．
这说明 在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．
这个方程还有没有其他的解法呢
（3）我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提
出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，
这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．
解：x2-3x＝0，
x(x-3)＝0，
于是x＝0，x-3＝0．
∴x1=0，x2=3
因此这个数是0或3．
这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗
根据是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．
如果a×b=0， 那么a＝0或b＝0
这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或” ．
因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．
由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．
二、解决问题：
[例题]解下列方程：
(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．
解：原方程可变形为
5x2-4x＝0，
x(5x-4)=0，
x＝0或5x-4＝0．
∴x1=0，x2=．
解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．
解：原方程可变形为
x-2-x(x-2)＝0，
(x-2)(1-x)＝0，
x-2＝0或1-x=0．
∴x1＝2，x2=1．
解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢
只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．
下面同学们来想一想，做一做．
你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗
方程x2-4=0的右边是0，左边x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解，即
解：x2-4=0，
(x+2)(x-2)＝0，
∴x+2＝0或x-2=0．
∴x1=-2，x2=2．
方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即
解：(x+1)2-25＝0，
[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．
∴(x+1)+5＝0，
或(x+1)-5＝0．
∴x1=-6，x2=4．
这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．
下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．
三、课堂训练：
课本P61随堂练习 1、2
四、课时小结
我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．
五、课后作业
必做 课本P61习题7。11 1
选做：用分解因式法解下列方程：
(1)(2x-5)2-2x+5=0；
(2)4(2x-1)2＝9(x+4)2．
板书设计
7．4 分解因式法
一、解方程x2＝3x．
解：由方程x2＝3x得
x2-3x=0，
即x(x-3)＝0．
于是x＝0或x-3＝0．
因此，x1＝0，x2＝3．
所以这个数是0或3．
二、例题
例：解下列方程；
(1)5x2＝4x；
(2)x-2＝x(x-2)．
教学目标
(一)教学知识点
1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
(二)能力训练要求
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
教学重点
应用分解因式法解一元二次方程．
教学难点
形如“x2＝ax”的解法．
教学过程
1、 出示自学指导：
公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程． 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，通常应先计算b2-4ac的值，然后求解．
一元二次方程是不是只有这三种解法呢 有没有其他的方法 今天我们就来进一步探一元二次方程的解法．
看书P59—P60，基本学会因式分解解方程的方法，5分钟后交流课本上提出的问题(议一议)。
展示自学成果
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果相等，这个数是几 你是怎样求出来的
大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．
（1）解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程
x2=3x．
然后 用公式法来求解的．
解：由方程x2＝3x，得
x2-3x=0．
这里a=1，b=-3，c＝0.
b2-4ac＝(-3)2-4×1×0
＝9>0．
所以x=
即x1=3，x2＝0．
因此这个数是0或3．
（2）我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．
解：把方程两边同时约去x，得x＝3．
所以这个数应该是3．
因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．
这说明 在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．
这个方程还有没有其他的解法呢
（3）我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提
出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，
这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．
解：x2-3x＝0，
x(x-3)＝0，
于是x＝0，x-3＝0．
∴x1=0，x2=3
因此这个数是0或3．
这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗
根据是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．
如果a×b=0， 那么a＝0或b＝0
这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或” ．
因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．
由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．
二、解决问题：
[例题]解下列方程：
(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．
解：原方程可变形为
5x2-4x＝0，
x(5x-4)=0，
x＝0或5x-4＝0．
∴x1=0，x2=．
解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．
解：原方程可变形为
x-2-x(x-2)＝0，
(x-2)(1-x)＝0，
x-2＝0或1-x=0．
∴x1＝2，x2=1．
解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢
只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．
下面同学们来想一想，做一做．
你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗
方程x2-4=0的右边是0，左边x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解，即
解：x2-4=0，
(x+2)(x-2)＝0，
∴x+2＝0或x-2=0．
∴x1=-2，x2=2．
方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即
解：(x+1)2-25＝0，
[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．
∴(x+1)+5＝0，
或(x+1)-5＝0．
∴x1=-6，x2=4．
这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．
下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．
三、课堂训练：
课本P61随堂练习 1、2
四、课时小结
我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．
五、课后作业
必做 课本P61习题7。11 1
选做：用分解因式法解下列方程：
(1)(2x-5)2-2x+5=0；
(2)4(2x-1)2＝9(x+4)2．
板书设计
7．4 分解因式法
一、解方程x2＝3x．
解：由方程x2＝3x得
x2-3x=0，
即x(x-3)＝0．
于是x＝0或x-3＝0．
因此，x1＝0，x2＝3．
所以这个数是0或3．
二、例题
例：解下列方程；
(1)5x2＝4x；
(2)x-2＝x(x-2)．