北师大版五年级上册数学 点阵中的规律 教学设计

《点阵中的规律》教学设计
★教学内容： 北师大版小学数学五年级上册第82——83页的内容。
★教材分析：
本节课是一节相对独立的数学活动课，教材结合2000多年前希腊数学家们利用图形研究数的情境，通过感知——尝试——归纳——迁移——归纳的探究模式，并从引导学生从不同的角度去思考，使学生体会通过点阵研究数的形式是多种多样的。尽管教材所提供的学习内容对于五年级的学生来说比较简单，却是帮助学生建立数学模型的很好的题材内容。教材结合具体的形与数，引导学生在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系，发展学生的归纳与概括的能力，渗透数学建模的思想。
★学情分析：
对于五年级的学生来说，关于“数”的认识已经扩展到了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数等等，相关图形的认识也从最初的“形”深入到了对特征的理解。教材渗透的数、形结合的思想方法体现在前面学习过的许多具体课例中，对于这种学习方式学生并不陌生，对于利用数、形结合的思想解决问题难度也不大。
★教学目标：
1、结合具体的图形，明确什么是“点阵”，了解点阵的基本知识。
2、能在具体的观察与思考中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系，学会推理、归纳和概括的学习方法，体会数学学习中举一反三的教学思想。
3、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。
★教学重点：通过观察活动，引导学生探索发现“点阵”中隐含的规律。
★教学难点：能从不同的角度观察到“点阵”图形的不同排列规律，寻求多种解决问题的方法，体会图形与数的联系。
★教具准备：课件、投影、三张点阵图（横线划分法、斜线划分法、折线划分法）
学生每人一张练习纸和一张探究表
教学过程：
课前谈话，激发兴趣
1、让学生认识老师
2、从不同的角度观察数字
二、谈话导入，引出课题
师：要开运动会，同学们在整齐的排队，我们从上往下拍张照，图中的每个人可看成数学中最基本的几何图形一个点，像这样有序排列的点子图称为“点阵”。其实早在2000多年前，古希腊的数学家们就已经开始研究点阵中的规律，今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书揭题）
三、角度多样，探究规律
（一）探究一个6×6点阵
师：这个正方形点阵有多少个点？你能列算式表示？
（课件出示：6×6=36）
师：刚才同学说第一个“6”表示什么？（一行有6个点）
那第二个“6”又表示什么？（有这样的6行）
“36”表示什么？（这个点阵的点子数）
师：你是这么看的吗？老师借助一些线条，使我们的观察更加明显（课件表示看法）。除了横着观察，还可以怎样观察？（竖着、斜着）
师：真是应证了我们古人的一句话，横看成岭，侧成峰，我们观察的方法不一样可能呈现的规律不一样。
（二）探究一组正方形点阵
1、出示有序排列的四个正方形点阵，引导学生观察并思考
要求：①在每个点阵图上用线画一画你的观察方法②你能用算式表示出每个点阵的点子数③观察这些算式你发现了什么规律？④你还能用不同的方法去观察，发现其他规律吗？
2、同桌交流（你的观察方法和发现的规律）
3、多样策略，解决问题
同一个点阵，如果观察方法不同，所呈现的规律也可能不同。我们一起来看看同学们探究的结果。
（投影展示学生的探究结果，师板书规律并提问解释难点）
（竖）横看（几乘几，也就是几的平方数）
师：你是怎样观察的？（一行一行看）横看，是这样观察吗？（图贴黑板）
师：2×2这个算式中的两个2意思一样吗？（每行2个点，有2行）
师：谁能再来说一说3×3表示什么意思？
师：那第五个正方形点阵图是怎样的呢？（每行5个点，有5行）列式表示它的点子数就是？（5×5=25）
师：10×10表示第几个点阵的点子数，闭上眼睛想象一下它是怎样的一幅图？再继续想像第100个点阵的点子图，第n个点阵的点子数可以怎样列式？
师：你发现这些这些算式有什么规律？几乘几和什么有关系？（第几个点阵的点子数就是几乘几）
师：横看，第几个点阵的点子数可表示成几乘几，也就是几的平方数。
（板书）竖横看1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，… n×n=n2
（2）斜看（自然数从1开始连续加到几，再从几倒过来连续加到1，结果就是几乘以几，也就是几的平方）
师：这个同学的观察方法和刚才的有什么不同？（斜看）老师也是这么想的
师：算式中间的2表示什么？两边的数又分别表示什么？
师：我们一起用算式表示出其他点阵的点子数。
师：你能按这样的规律表示第n个点阵的点子数？
师：不同的观察角度得到不同的算式，你发现这些算式有什么规律？（自然数从1开始连续加到几，再从几倒过来连续加到1）
师：那自然数从1加到几，这个几和第几个点阵有什么联系？
师：斜看，第几个点阵的点子数可表示成，自然数从1开始连续加到几，再从几倒过来连续加到1。
（板书）斜看：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…
1+2+3+…+n+…+3+2+1= n2
（3）层层看（从1开始的连续几个奇数和，等于几乘几，就是几的平方。）
师：他又是怎样观察的？（层层看）
师：结合图说这个算式中的每个数表示什么意思？（每层的点子数）
师：你们发现这些算式有什么规律？（从1开始连续奇数相加）
师：多少个奇数相加又和什么关系？（第几个点阵就有几个连续奇数相加）
师：你能按这样的规律表示出第n个点阵的点子数？
师：层层看，第几个点阵的点子数可表示成，从1开始的连续几个奇数和。
（板书）层层看：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…
第n个点阵的个数：1+3+5+7…（n个奇数相加）或1+3+5+7…+
4、类比异同，归纳小结
师：通过图形来研究数的形式是多种多样的。刚才我们用了三种不同的观察方法，去探究同一组正方形点阵，得到了不同的算式和规律。其实除了正方形的点阵外，还有其他的点阵，如三角点阵、长方形点阵、螺旋点阵等多种形式，利用前面研究正方形点阵规律的方法去探究其他点阵的规律。
四、延伸应用，形成策略
1、在图上用线画一画
你的观察方法，并在下面用算式表示岀每个点阵的点子数。画岀第4个点阵的点子图，试写表示第n个点阵的点子数的算式。
在并列出算式。
第 1 个 第 2 个 第 3个 第4个 … 第n个
… …
…
小结：观察的角度不同，但规律相同。每个三角形点阵的点子数，可以看作是自然数从1开始连续加到几。
3、 观察下列点阵，并在括号中填上适当的算式。
（1×2） （ ） （ ） （ ）
4、观察下图已有的几个图形，按规律画出下一个图形。
5、点阵设计大赛
设计要求：（1）每人设计一幅有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并用算式表示每个点阵的数量。（2）每组评选出优秀作品展示，并派代表说明设计的方法及点阵中的规律。
五、课堂总结，联系生活
1、今天我们研究了什么？是怎样研究的？通过今天的学习，你有什么收获？
2、可以说，生活中处处离不开点阵的规律，离不开数学的知识。对吗？那么，就让我们用希腊数学家普洛克拉的一句话结束今天的学习：哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。——古希腊数学家： 普洛克拉
★板书设计
点阵中的规律
方法 （竖）横线划分法 斜线划分法 折线划分法
1×1 1 1
2×2 1+2+1 1+3
3×3 1+2+3+2+1 1+3+5
4×4 1+2+3+4+3+2+1 1+3+5+7
… … …
n×n=n2 1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2 1+3+5+7+9+…=n2