四川省眉山市东坡区眉山北外附属东坡外国语学校2022-2023学年高二下学期理科数学期末模拟试题（含解析）

东坡外国语学校2022-2023学年高二下学期理科数学期末模拟试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．将二进制数化为十进制数，结果为（ ）
A．11 B．18 C．20 D．21
2．某班有学生人，现将所有学生按，，，…，随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，抽得编号为，，，，，，则…（ ）
A． B． C． D．
3．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：
（单位：）
（单位：）
由表中数学得线性回归方程：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．若展开式中的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为
A． B． C． D．
7．若，给出以下结论：
①；②；
③；④.
其中正确的结论有（ ）
A．① B．②③ C．①④ D．②④
8．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
9．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是
A．12 B．24 C．36 D．48
10．从中任取一个实数，则直线被圆截得的弦长大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．在处取得极小值
C．在取得极大值 D．
第II卷（非选择题，共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置
13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为______．
14．伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________
15．为了引导广大师生积极学习党史，某市教育抽调四名机关工作人员去该市三所不同的学校开展党史宣讲服务，每个学校至少去一人，则不同的分配方法种数为________．
16．若为整数，且对，不等式恒成立，则整数的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设
（1）求的单调区间及的极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅兵方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：）在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为，最后三组的频率之和为．
（Ⅰ）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差
（Ⅱ）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取个，求身高位于区间内的人数不超过个的概率；
（Ⅲ）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高（）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求．
参考数据：若，则，，．
19．经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数（，）与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：
使用年数
售价
（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格（单位：万元）与使用年数（，）的函数关系为，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
20．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的、两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从、两地的棉花中各随机抽取根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．
纤维长度
地（根数）
地（根数）
地 地 总计
长纤维
短纤维
总计
（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（的观测值精确到）．
附：
临界值表：
（2）现从抽取的根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取根做进一步研究，记地“短纤维”的根数为，求的分布列和数学期望；
（3）根据上述地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将地“长纤维”的频率视为概率，现从地棉花（大量的棉花）中任意抽取根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为，求的数学期望和方差．
21．已知函数，．
（Ⅰ）若直线过点且与曲线相切，求直线的方程；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．
22．已知函数（为自然对数的底数），为的导函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若存在不相等的实数，，使得，证明：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据不同进制转化算法计算可得.
【详解】解：.
故选：D
2．A
【分析】先求出样本间隔，再由样本间隔求出.
【详解】解：因为样本容量为，所以样本的间隔为，
所以，
所以
故选：A
3．D
【分析】由线性回归直线过样本中心点即可求解.
【详解】，，
由线性回归直线过样本中心点，
所以，解得：，
故选：D.
4．C
【分析】由二项分布的方差公式求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：C.
5．C
【分析】由题知，解得，进而得展开式的通项公式为，再令求得，最后代入通项公式计算即可得答案.
【详解】解：因为展开式中的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，
所以，解得，
所以展开式的通项公式为
故令解得，
所以展开式中的系数为
故选：C
6．B
【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.
【详解】输出；
；
；
；
；
，
退出循环，输出，故选B.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
7．D
【分析】设，利用二项式定理可判断①的正误，利用赋值法可判断②③④的正误.
【详解】设，
二项式展开式通项为.
对于①，令，可得，则，①错；
对于②，，当为奇数时，，当为偶数时，，
故，②对；
对于③，，③错；
对于④，，④对.
故选：D.
8．D
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
9．B
【详解】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．
详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．
故选B．
点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
10．A
【分析】求出直线被圆截得的弦长大于2的等价条件，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．
【详解】解：由题知所给圆的圆心为坐标原点，半径为，
当弦长大于2时，圆心到直线的距离小于1，即，
所以，
故所求概率，
故选A．
11．A
【分析】根据已知条件分离参数可得，令，
转化为函数与图象由两个不同的交点，判断的单调性和最值，数形结合即可求解.
【详解】由可得，
令，
若方程有两个实数根，
则函数与图象由两个不同的交点，
令，
，
当时，当 时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
开口向下的抛物线，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由函数单调性的性质得在上单调递增，在上单调递减，
，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以函数与图象由两个不同的交点，则，
即方程有两个实数根，则实数的取值范围为，
故选：A.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
12．B
【分析】设对其求导可得，因此设可得，由可得的解析式，再利用导数判断单调性得极值可判断A、D，利用单调性比较大小可判断B、C，进而可得正确选项.
【详解】设，则，
所以，可得，所以，
，所以，
所以，
由可得，由可得，
所以在单调递减，在单调递增，
对于A和D：因为在单调递减，在单调递增，
所以，，，
所以，故选项A、D不正确；
对于B和C：因为在单调递减，在单调递增，在处取得极小值，故选项B正确，选项C不正确；
故选：B.
13．
【分析】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，然后根据7个剩余分数的平均分为91，计算出的值，然后根据方差公式进行计算即可．
【详解】解：根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，
剩余7个数为87，90，90，91，91，，94，
个剩余分数的平均分为91，
，
解得，
即剩余7个数为87，90，90，91，91，94，94，
对应的方差为，
故答案为：．
14．
【分析】求出，再利用条件概率求解即可.
【详解】由题意得
,
则.
故答案为：
15．
【分析】将四名机关工作人员分成组，再分配到三所不同的学校，由分布乘法计数原理即可求解.
【详解】将四名机关工作人员分成组有种，
再分配到三所不同的学校有种，
所以不同的分配方法种数为种，
故答案为：.
16．
【分析】利用参变量分离法可知，不等式在时恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出整数的最大值.
【详解】对，，不等式，
可得在时恒成立，
令，其中，则，
令，其中，则对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
则，，因此，整数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
17．（1）的单调增区间为和，单调减区间为，极大值，极小值（2）最小值，最大值.
【分析】（1）求，解不等式和可得单调增区间和减区间，进而可得极值.
（2）由（1）可判断在区间上的单调性，比较端点值和极值即可得最值.
【详解】（1）由可得：
由可得：或，
由可得：，
所以在单调递减，在和单调递增，
当时取得极大值，
当时取得极小值，
所以的单调增区间为和，单调减区间为，
（2）由（1）知：所以在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，
，，
所以的最小值，最大值为.
18．（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）根据已知条件求出各组的频率，再由平均数和方差的公式即可求解；
（Ⅱ）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取 个女兵身高位于区间的概率为，利用二项分别概率公式即可求解；
（Ⅲ）分别求出和的值，结合正态分布概率的对称性即可求概率.
【详解】（Ⅰ）由题意可知：第三组的频率为，
第五组的频率为，
第二组的频率为，
所以五组的频率分别为：，
所以，
（Ⅱ）从全体受阅女兵中随机抽取 个女兵身高位于区间的概率为
，
则随机抽个人，身高位于区间内不超过个的概率为
，
（Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，，
所以
，
所以.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）时所获得的利润最大．
【分析】（Ⅰ）计算，，将数据代入公式得，，即可求解；
（Ⅱ）所获得的利润得出关于的分段函数，利用二次函数和一次函数的单调性，求其最值即可.
【详解】（Ⅰ），，
，
，
所以，
，
所以，
所以关于的回归直线方程为.
（Ⅱ）由题意知：所获得的利润
，
即，
当时，，
此时时，，
当时，单调递增，
所以当时，，
综上所述：时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大．
20．（1）列联表见解析，有，理由见解析；（2）分布列见解析，；（3），.
【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望值；
（3）分析可得，利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.
【详解】（1）根据题中信息可得如下列联表：
地 地 总计
长纤维
短纤维
总计
，
因此，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”；
（2）根棉花纤维中“短纤维”共根，其中，地的“短纤维”共根，
所以，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，；
（3）从地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“长纤维”的频率是，所以，，
故，.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）设切点为，则，切线的斜率，由切点和点可得切线的斜率，解方程可得的值，进而可得斜率和切点，即可得切线方程；
（Ⅱ）由可得，分离参数可得：对
恒成立，转化最值问题即可求解.
【详解】（Ⅰ）设切点为，则
由可得，
所以切线的斜率，
由题意可得：，解得：，
所以，切点为，，
所以切线方程为：即
（Ⅱ）由可得：，
所以对恒成立，
令，则
，
由即解得：，
由即解得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
综上所述：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
22．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）先计算，再对求导得，分、、分别解不等式和即可得单调单增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）计算的单调性和最小值，可判断，由可得，构造函数，计算，再构造函数求导利用单调性判断即可得，代入即可求证.
【详解】（Ⅰ）由得：，
，
当时，是常函数，不具有单调性；
当时，由即可得，由即可得，
当时，由即可得，由即可得，
综上所述：当时，是常函数，没有单调区间；
当时，的单调递区间是，的单调减区间是，
（Ⅱ）当时，，
由可得；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，
因为存在不相等的实数，，使得，
当时，，当趋近于时，趋近于，
所以，
所以，即
两边同时取对数可得：，即，
设，则，且，
由可知，
而
，
令，则，所以
所以，
所以在上单调递减，故，
即，所以，，
则有，
即.
【点睛】方法点睛：破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.