2022-2023 学年高一下学期第五次调研考试
数学试题
一． 选择题（共 8小题，每小题 5 分，共 40分．）
1．设 (a i)i = b+2i(a,b R)，则（ ）
A． a = 2，b =1 B． a = 2，b = - 1 C．a = 2，b = 1 D．a = 2，b =1
2．某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区 1100名男性居民和 900名
女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为 100的样
本，则应从男性居民中抽取的人数为（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线
段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面
4．在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sin A : sin B : sinC = 5:7 :9，则 cosC =
3 1 1 1
（ ） A． B． C． D．
35 14 5 10
5．已知平面 // ，且 a ，b ，则直线a,b的关系为（ ）
A．一定平行 B．一定异面 C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能
6．已知向量 a = ( 4,3)，点 A(1,1)，B(2, 1)，记 A B 为 AB 在向量 a上的投影向量，若
A B = a，则 =（ ）
2 2 3 3
A． B． C．- D．
5 5 5 5
5
7. 函数 f (x) = sin ( x+ ) 0,0 在区间 , 上
2 6 6
的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右
平移 ( 0)个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则 的最小值为（ ）
7 7
A. B. C. D.
6 6 12 24
8. 在 ABC中，点O是线段 BC上的点，且满足 | OC |= 3 | OB |，过点O的直线分别交直线
1 t
AB、 AC 于点E、 F ，且 AB =mAE ， AC = nAF ，其中m 0且n 0，若 + 的最小值
m n
第1页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
为 3，则正数 t 的值为( )
8 11
A. 2 B. 3 C. D.
3 3
二．多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．）
9. 从含有 3道代数题和 2 道几何题的 5道试题中随机抽取 2道题，每次从中随机抽出 1道
题，抽出的题不再放回，则（ ）
A. “第 1次抽到代数题”与“第 1次抽到几何题”是互斥事件
B. “第 1次抽到代数题”与“第 2次抽到几何题”相互独立
3
C. 第 1次抽到代数题且第 2次也抽到代数题的概率是
10
1
D. 两道题都是几何题的概率是
10
10．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 在线段BC1上运动，有下列判断，其中正确的
是（ ）
A．平面 PB1D ⊥平面 ACD1 B． A1P / /平面 ACD1
π
C．异面直线 A AD1P 与 1所成角的取值范围是 0,
3
D．三棱锥D1 APC的体积不变
11．如图，四边形 ABCD为正方形， ED ⊥平面 ABCD，FB // ED，
AB = ED = 2FB，记三棱锥E ACD，F ABC ，F ACE 的体积分别
为V1，V2，V3，则（ ）
A．V3 = 2V2 B．V3 = 2V1 C．V3 =V1 +V2 D．2V3 = 3V1
7 5
12. 已知函数 f (x) = sin ( x+ )( 0, R)在区间 , 上单
12 6
7 3
调，且满足 f = f 有下列结论正确的有( )
12 4
2 5
A. f = 0 B. 若 f x = f (x)，则函数 f (x) 最小正周期为 ；
3 6
C. 关于 x 方程 f (x) =1在区间[0,2 )上最多有 4 个不相等的实数解
2 13 8
D. 若函数 f (x)在区间 , 上恰有 5个零点，则 的取值范围为 ,33 6 3
第2页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
的 的
三．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．）
13. 已知向量 a = ( , 3)，b = (1, ).若 (a +b) ⊥ b，则 =___________.
14. 甲和乙两个箱子中各装有 10个球，其中甲箱中有 5个白球、5个红球，乙箱中有 8个
红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 5或 6，从甲箱子随机摸出 1个球；如
果点数为 1,2,3,4，从乙箱子中随机摸出 1个球.则摸到红球的概率为___________.
15. 已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球 O的球面上，且满足条件 PA= 3，PB = 4，
PC =5， AB = 5， AC = 34，BC = 41，则球 O 的表面积为______.
1 1
16. 已知A 、 B 、C 为△ ABC的三内角，且角A 为锐角，若 tan B = 2tan A，则 +
tan B tanC
的最小值为______.
四．解答题（本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知平面向量 a = (1, 2)，b = ( 1, 1)．
（1）求 2a b 的值；
（2）若向量a+ λb与2a b 夹角为 ，求实数λ 的值．
4
18. 已知 ABC内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c ，设向量m = (b+ c,sin A)，
n = (a+b,sinC sin B)，且m∥n .
（1）求角C ；
（2）若b = 4， ABC的面积为 4 3，求 ABC的周长.
19. 某产品在出厂前需要经过质检，质检分为 2个过程．第 1个过程，将产品交给 3位质检
员分别进行检验，若 3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第 2个过程，可以出
厂；若 3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有 1位
或 2位质检员检验结果为合格，则需要进行第 2个过程．第 2个过程，将产品交给第 4位和
第 5位质检员检验，若这 2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产
2
品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为 ，且每位质检员的检验结果相
3
互独立．
（1）求产品需要进行第 2 个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
第3页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
20. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电
量都在50~400kw h 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方
图如图所示．
（1）求直方图中 x的值；
（2）估计该小区居民用电量的平均
值和中位数；
（3）从用电量落在区间 300,400)内
被抽到的用户中任取 2户，求至少有
1 户落在区间 350,400)内的概率．
21. 如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，点 D为 AC 中点．
（1）若 AB = AA，证明：平面 AA1CC1 ⊥平面DBC1；
15
（2）若 AB = 2，且二面角D BC1 C 的正切值为 ，
6
求三棱柱 ABC - A1B1C1的体积．
x x x
22. 已知函数 f (x) = 2sin cos + 2 3cos2 3 .
2 2 2
（1）求函数 f (x)的最小正周期；
（2）若不等式 f ( x) m 3对任意 x ,6 3
恒成立，求整数 m的最大值；
1
（3）若函数 g (x) = f x ，将函数 g (x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐
2 2
标不变），再向右平移 个单位，得到函数 y = h(x)的图象，若关于 x的方程
12
1 5
h(x) k (sin x + cos x) = 0在 x , 上有解，求实数 k的取值范围. 2 12 12
第4页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}2022-2023 学年高一下学期第五次调研考试
数学参考答案
1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B
9． ACD【详解】“第 1 次抽到代数题”与“第 1 次抽到几何题”这两个事件不可能同时发
生，它们互斥，A正确；
“第 1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件“第 2次抽到几何题”发生的概率有影响，
1
“第 1次抽到代数题”发生时，“第 2次抽到几何题”的概率是 ，“第 1次抽到代数题”
2
1
不发生时，“第 2次抽到几何题”的概率是 ，它们不独立；B错；
4
3 1 3
第 1次抽到代数题且第 2 次也抽到代数题的概率是 = ，C正确；
5 2 10
2 1 1
抽取两次都是几何题的概率是 = ，D正确．故选：ACD．
5 4 10
10．ABD【详解】对于 A，连接DB，如图，
因为在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，BB1 ⊥平面 ABCD，
又 AC 平面 ABCD，所以 BB1 ⊥ AC，
因为在正方形 ABCD中DB ⊥ AC，又DB与 BB1为平面DBB1D1内的两条相交直线，所以 AC ⊥平
面DBB1D1，
因为DB1 平面DBB1D1，所以DB1 ⊥ AC ，同理可得DB1 ⊥ AD1，
因为 AD1与 AC 为平面 ACD1内两条相交直线，可得DB1 ⊥平面 ACD1，
又DB1 平面 PB1D ，从而平面 PB1D ⊥平面 ACD1，故 A正确；
对于 B，连接 A1B， A1C1，如图，
因为 AA1 / /CC1， AA1 =CC1，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形，
所以 A1C1 / /AC，又 A1C1 平面 ACD1， AC 平面 ACD1，
所以 A1C1 / /平面 ACD1，同理BC1 / /平面 ACD1，
又 A1C1、 BC1为平面 BA1C1内两条相交直线，所以平面 BA1C1 / /平面 ACD1，
因为 A1P 平面 BA1C1，所以 A1P //平面 ACD1，故 B正确；
第1页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
对于 C，因为 AD1 / /BC1，所以 A P 与 AD1 1所成角即为 A P 与BC1 1所成的角，
因为 A1B = BC1 = A1C1，所以△BA1C1为等边三角形，
π
当 P 与线段BC1的两端点重合时， A1P 与 AD1所成角取得最小值 ；
3
π
当 P 与线段BC1的中点重合时， A1P 与 AD1所成角取得最大值 ；
2
π π
所以 A1P 与 AD1所成角的范围是 , ，故 C错误；
3 2
对于 D，由选项 B得 BC1 / /平面 AD BC1C，故 1上任意一点到平面 AD1C的距离均相等，
1
即点 P 到面平面 AD1C的距离不变，不妨设为 h，则VD APC =VP AD C = S AD C h， 1 1 3 1
所以三棱锥D1 APC的体积不变，故 D正确．故选：ABD.
11．CD
如图连接 BD交 AC 于 O，连接OE、OF .设 AB = 2FB = 2，则
AB = BC =CD = AD = 2.
由 ED ⊥平面 ABCD，FB ED，所以FB ⊥平面 ABCD，
1 1 1 4
所以V1 =VE ACD = S ACD ED = AD CD ED = ，
3 3 2 3
1 1 1 2
V2 =VF ABC = S ABC FB = AB BC FB = .
3 3 2 3
由 ED ⊥平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以ED ⊥ AC .
又 AC ⊥ BD，且 ED BD = D，ED、BD 平面BDEF ，
所以 AC ⊥平面BDEF ，所以 AC ⊥OF .
易知BD = 2 2,OB = 2,OE = OD2 + ED2 = 6 ，OF = OB2 +BF 2 = 3
EF = BD2 + (ED FB)2 = 3，所以EF2=OF2 +OE2 ，所以OF ⊥OE ,而OE AC =O，
OE、AC 平面 ACE，所以OF ⊥平面 ACE .
又 AC = AE =CE = 2 2 ，
1 1 3
V3 =VF ACE = S OF = AC
2 OF = 2，所以有V3 2V2，V3 2VACE 1，V3=V1+V2，2V3=3V1，
3 3 4
所以选项 AB不正确，CD正确.故选：CD.
7 3 7 5 7 3 7 3
12. ABD【详解】A，∵ , , ，∴ f (x)在 , 上单调，又 f = f ，
12 4 12 6 12 4 12 4
第2页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
7 3
+ 2
12 4 2 ，∴ f=
= 0，故 A正确；
3
2 3
7 5 5 2 2
B，区间 , 右端点 x = 关于 x = 的对称点为 x = ，∵ f = 0，f(x)在
12 6 6 3 2 3
7 5 5
, 上单调，∴根据正弦函数图像特征可知 f (x)在 , 上单调，∴
12 6 2 6
5 T 1 2
= = (T 为 f (x)的最小正周期 )，即 3，又 0，∴0 3.若
6 2 3 2 2
5 5 2
f x = f (x)，则 f (x)的图象关于直线 x = 对称，结合 f = 0，得
6 12 3
2 5 2k +1 2k +1
= = T = (k Z)，即 = 4k + 2(k Z)，故 k＝0， = 2,T = ，故 B
3 12 4 4 2
正确.
2
C，由0 3，得T ，∴ f (x)在区间 0,2 )上最多有 3个完整的周期，而 f (x) =1在 1
3
个完整周期内只有 1个解，故关于 x的方程 f (x) =1在区间 0,2 )上最多有 3个不相等的实
数解，故 C错误.
2 2 2 13
D，由 f = 0知， 是函数 f (x)在区间 ，3 上的第 1个零点，而 f (x)在区间 3 3 6
2 13 13 2 5T 2 8 10
, 上恰有 5个零点，则2T ，结合T = ，得 ，又
3 6 6 3 2 3 3
0 3，∴
8
的取值范围为 ,3 ，故 D正确.故选：ABD.
3
13.解： a + b = (1+ , 3)，又 (a +b) ⊥ b，
2
所以 (a+b) b = 2 2 +1= ( 1) = 0，解得： =1，故答案为：1.
2 1
14.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为 5或 6 的概率为 = ，再从甲箱中摸到红球的概
6 3
5 1 1 1 1
率为 = ，故从甲箱中摸到红球的概率为 P1 = = ；
10 2 3 2 6
4 2
从乙箱中摸红球：掷到点数为 1，2，3，4的概率为 = ，再从乙箱中摸到红球的概率为
6 3
第3页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
8 4 2 4 8
= ，故从乙箱中摸到红球的概率为 P2 = = ；
10 5 3 5 15
1 8 7 7
综上所述：摸到红球的概率为P = P1+P2 = + = .故答案为：
6 15 10 10
15【详解】由题意可知， PA= 3，PB = 4， AB = 5，可得PA2 + PB2 = AB2 ，所以
APB = ，即PA⊥DB，同理可得，PA⊥ PC，PB ⊥ PC ，以点 P为一个顶点，PA，PB，
2
PC 为三条相邻棱，构造长方体PADB CEFG .
由于点 P，A，B，C都在球 O的球面上，显然长方体PADB CEFG
内接于球 O，其对角线 PF 长就是球 O的直径，所以
5 2
2R = 32 + 42 +52 = 50 = 5 2 ，R = ，
2
2 50
所以球 O的表面积 S = 4 R = 4 = 50 .故答案为：50
4
16【详解】A 、 B 、C 为△ ABC的三内角，A 为锐角， tan B = 2tan A 0
∴ tan B = 2tan[ (B+C)]= 2tan(B+C)
2(tan B+ tanC) 3tan B
故有 tan B = ，即可得 tanC =
tan B tanC 1 tan2 B 2
1 1 1 tan2 B 2 tan B 1 tan B 1 2
∴ + = + = + 2 = ，当且仅当 tan B =1
tan B tanC tan B 3tan B 3 3tan B 3 3tan B 3
1 1 2 2
时等号成立∴ + 的最小值为 故答案为：
tan B tanC 3 3
四．解答题（本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 【小问 1详解】解：因为 a = (1, 2)，b = ( 1, 1)，
所以 2a b = 2(1, 2) ( 1, 1) = (3, 3)，
2
所以 2a b = 32 + ( 3) = 3 2 ；
【小问 2详解】解： a+ λb = (1, 2)+ λ( 1, 1) = (1 λ, 2 λ)，
2 2
所以 a+ λb = (1 λ) + ( 2 λ) ， (a+ b) (2a b) = 3(1 )+ ( 3) ( 2 ) = 9，
又向量a+ λb与2a b 夹角为 ，
4
第4页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
所以 (a + b) (2a b) = a + b 2a b cos ，
4
2 2 2
即 (1 λ) + ( 2 λ) 3 2 = 9，
2
2 2
即 (1 λ) + ( 2 λ) = 9，解得 =1或 = 2 .
18. 【小问 1详解】由向量平行的坐标公式可得 (b+c)(sinC sin B) (a+b)sin A= 0，由正
a2 + b2 c2 1
弦定理可得 (b+c)(c b) (a+b)a = 0，即 ab = a2 +b2 c2 ，故 cosC = = ，
2ab 2
2
因为C (0, )，故C =
3
1 3
【小问 2详解】由三角形面积公式， 4 3 = 4a ，故a = 4，故 ABC为等腰三角形，
2 2
3
1 2
4
a c asinC
故 A = B = = ，又 = ，故c = =
2 = 4 3，所以 ABC的周
2 3 6 sin A sinC sin A 1
2
长为 4+ 4+ 4 3 = 8+ 4 3
19. 【小问 1详解】解：记事件 A为“产品需要进行第 2个过程”．
2 1 1 1 2 1 1 1 2 2
在第 1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率P1 = + + = ，
3 3 3 3 3 3 3 3 3 9
2 2 1 2 1 2 1 2 2 4
在第 1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率P2 = + + = ，
3 3 3 3 3 3 3 3 3 9
2
故P(A) = P1 + P2 = ．
3
【小问 2详解】解：记事件 B为“产品不可以出厂”．
1 1 1 1
在第 1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率P3 = = ，
3 3 3 27
产品需要进行第 2个过程，在第 2个过程中，产品不可以出厂的概率
2 2 2 5 10
P4 = P(A) 1 = = ，
3 3 3 9 27
11
故P(B) = P3 + P4 = ．
27
第5页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
20. 【详解】（Ⅰ）由 (0.0004+0.0008+2x+0.0036+0.0044+0.006) 50 =1，得 x = 0.0024
（Ⅱ）平均值 (0.0024 75+0.0036 125+0.006 175+0.0044 225+
0.0024 275+0.0008 325+0.0004 375) 50 =187，
∵用电量落在区间 50,200)的频率之和为 (0.0024+0.0036+0.006) 50 = 0.6，
∴中位数落在区 150,200)，设中位数为 a，则
0.0024 50+0.0036 50+0.006(a 150) = 0.5，解得a =183.3.
（Ⅲ）易知用电量落在区间 300,350)的用户有 4户，记为 A1,A2 ,A3 ,A4 ，用电量落在区间
350,400)用户有 2户，记为 B1,B2，记事件E =“至少有 1户落在区间 350,400)内”．
∴从 A ,A = A , A1 2 ,A3 ,A4 ， B1,B2 中这 6个元素中任取 2个元素的样本空间 ( 1 2 )， (A1,A3 )，
(A1,A4 )， (A1,B1)， (A1,B2 )， (A2 ,A3 )， (A2 ,A4 )， (A2 ,B1 )， (A2 ,B2 )， (A3 ,A4 )，
(A3 ,B1 )， (A3 ,B2 )， (A4 ,B1 )， (A ,B B , B4 2 )， ( 1 2 ) ，
E = (A1 , B1 )， (A1,B2 )， (A2 ,B1 )， (A2 ,B2 )， (A3 ,B1 )， (A3 ,B2 )， (A4 ,B1 )， (A4 ,B2 )，
(B1 , B2 ) ，
9 3 3
∴P (E) = = ，即至少有1户落在区间 350,400)内的概率为 ．
15 5 5
21. 【小问 1详解】
ABC为等边三角形,点 D 为 AC 中点,故 AD ⊥ AC ,因为平面 AA1C1C ⊥平面 ABC ,其交线为
AC ,故BD⊥平面 AA1C1C ，BD 平面 ABC ,故平面 AA1C1C ⊥平面DBC1；
【小问 2详解】
过 D作DM ⊥平面BCC1B1交 BC于M ,故M 是 BC 的四等分点靠近C 的位置，过M 作MO ⊥
BC1交BC1于O,所以 DOM 即为二面角D BC1 C 的平面角，
第6页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
DM 15 1 3 3 5
tan DOM = = , DM = AN = , OM = ,
OM 6 2 2 5
3 5
OM 2 5
在 BOM 中, sin CBC1 = =
5 = , tan CBC = 2，
BM 3
1
5
2
CC CC
在 BCC1中， tan CBC =
1 1
1 = =2 CC1=4,
BC 2
3
故三棱锥的体积为： S CC 2 ABC 1 = 2 4 = 4 3
4
x x x x
22. 【小问 1详解】由题意得， f (x) = 2sin cos + 2 3cos2 3 = sin x+ 3 2cos
2 1
2 2 2 2
π
= sin x + 3 cos x = 2sin x + .可得函数 f (x)的最小正周期为2 .
3
π π π π 2π
【小问 2详解】因为 x , ，所以 x + ，
6 3 6 3 3
1 π π π
所以 sin x+ 1，所以当 x = 时， f (x)的最小值为 1；当 x = 时， f (x)的最大值
2 3 6 6
为 2，所以1 f (x) 2.
π π
由题意得， 3 f (x) m 3，所以m 3 f (x) m+3对一切 x , 恒成立，
6 3
m 3 1
所以 ，解得 1 m 4，所以整数 m的最大值为 4.
m + 3 2
【小问 3详解】
π π π π
由题意知， g (x) = f x = 2sin x+ = 2sin x+ ，
2 2 3 6
第7页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
1 π
将函数 g (x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得 y = 2sin 2x+ ， 2 6
π π π
再向右平移 个单位得 h (x) = 2sin 2 x + = 2sin 2x，
12 12 6
1 π 5π
因为关于 x的方程 h(x) k (sin x + cos x) = 0在区间 , 上有解，整理得： 2 12 12
π 5π
sin2x k (sin x+cos x) = 0，即2sin xcos x k (sin x+cos x) = 0（*）在区间 , 上有
12 12
解，
π
t = sin x+ cos x = 2 sin x+ ，
4
π 5π π 2π
因为 x , ，所以 x + ,
12 12 4
6 3
π 2
令 t = 2 sin x + , 2 ，
4 2
2
（*）式可转化为： t2 kt 1= 0在 t , 2 内有解，
2
1 2 1 2
所以 k = t ， t , 2 ，又因为 y = t和 y = 在 t , 2 为增函数，
t 2 t 2
1 2
所以 y = t 在 , 2 为增函数，
t 2
2 1 2 1 2
所以当 t = 时， k = t 取得最小值 ；当 t = 2 时， k = t 取得最大值 ，所以
2 t 2 t 2
2 2
k , ，
2 2
2 2
综上所述：k的取值范围为 , .
2 2
第8页
{#{QQABDY6QggAgAAAAAABCEwEiCgIQkhGACIgGAEAUsEAByQFABAA=}#}
