1.1菱形的性质与判定 试题（含答案） 北师大版九年级数学上册

1.1菱形的性质与判定
一、单选题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线平分一组对角的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形
D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于 ( )
A．：2 B．：3 C．1：2 D．：1
3．菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为( )
A．48 B． C． D．18
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
5．菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为 (　　)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
6．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
7．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
8．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．52° C．62° D．72°
9．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是正方形
10．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
11．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．4
12．如图，点A在x轴正半轴上，点，将菱形ABCO绕原点O旋转90°，则旋转后点B的对应点的坐标是（ ）
A.或 B．或
C．或 D．或
13．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=4，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=8；其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
16．如图，点，分别在菱形的边，上，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形和四边形的面积相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
1．若 ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是________．
2．矩形和菱形都是常见的几何图形，请根据它们的性质，写出矩形和菱形的两个不同点：①_________﹔②________．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C 在轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是______________；
4．如图，在四边形中，对角线相交于点，且互相垂直平分，若，若上有一点，使，那么_______．
5．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．
6．如图，在菱形中，，B的坐标是，则A，C两点间的距离是__________．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
8．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为______．
9．如图，菱形ABCD，，点E为垂足，点F为AE的中点，连接BF并延长交AD于点G，连接CG，，则AF的长为__________．
10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是______（请填写正确的序号）
三、解答题
1．已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度．
2．已知：如图，在菱形中，，对角线与相交于点O．
求证：（1）；（2）．
3．如图，在中，交于点，点在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求证：四边形是菱形．
4．如图，线段，D是线段AC上一点，连接DE交AB于点F，若AF＝BF，求证：
(1)DF=EF；
(2)连接AE，BD，若△ABC是等边三角形∠E=30°，
求证：四边形ADBE是菱形．
5．如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求OE的长．
6．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别在，上，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，求菱形的周长．
7．已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且，连接CM、CN．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形ABCD是菱形．
8．如图，，将沿斜边翻折得到，过点作于点，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形使每个三角形的面积都等于面积的2倍．
9．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．
(1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，
①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ ．
②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
(2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．
答案
一、单选题
A.B.B.A．A.C．A.C．D.D．C．C．A．C.A．D．
二、填空题
1.互相垂直．
2.矩形的对角线相等；菱形的对角线互相垂直．（答案不唯一）
3.．
4.25°．
5.8．
6.6．
7.
8.
9.．
10.①③④．
三、解答题
1.解：∵OA=3，OB=4，AB=5，
∴OA2+OB2=32+42=25，AB2=25，
∴AO2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，AC=2AO=6，BD=2BO=8．
．
答：其他各边的长都是5，两条对角线的长分别为6，8．
2.证明：（1）∵四边形是菱形，
∴（菱形的对边相等）
又∵，
∴．
（2）∵，
∴是等腰三角形．
又∵四边形是菱形，
∴（菱形的对角线互相平分）．
在等腰三角形中，
∵，
∴，
即．
3.(1)
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
(2)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
4.(1)
证明：∵，
∴∠FEB=∠FDA，
在△EFB与△DFA中，
∴，
∴EF＝DF；
(2)
证明：如图：
∵AF=BF，DF=EF（已证），
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵，
∴∠FEB=∠FDA=30°，
∴，
∴AB⊥DE，
∴四边形ADBE是菱形．
5.(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴ ABCD是菱形；
(2)
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=BD=1，
在Rt△AOB中，，OB=1，
∴，
∴OE=OA=2．
6.(1)
证明：四边形是菱形
，
∴
∴，
∴
在与中，
∴（SAS）
(2)
解：∵
∴AC BD=
由可知，
是等边三角形
∵四边形是菱形
∴
∴在Rt中，
BO=
∴BD=2BO==
∴
解得：
∴AC=（负值舍去）
∴
∴菱形的周长为．
7.(1)
解：∵，
∴M、N分别是BN、DM的中点，
又∵E、F分别是BC，CD的中点，
∴NF是△DCM的中位线，ME是△BCN的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形AMCN是平行四边形；
(2)
解：连接AC交BD于O，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵AE=AF，
∴ME=NF，
∴AM=CN=AN=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∴OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，
又∵BM=DN，
∴OB=OD，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
8.(1)
证明：∵DF⊥AB，∠ABC=90°，
∴BC∥FD，
∴∠BCD+∠CDF=180°，
∵△BEC和△DEC关于AC对称，
∴∠EBC=∠EDC，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
由对称的性质可得CB=CD，
∴平行四边形BCDE是菱形；
(2)
解：当∠BAC=30°时，∠BCA=60°，
由对称的性质可得∠DCA=60°，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BC=CD=DE=EB，
∴△BCE、△DCE是等边三角形，
∴BC=EC=BE，
Rt△ABC中，∠BAC=30°，则AC=2BE，
∴AE=EC=BC=BE，
△EBA中，EB=EA，EF⊥BA，
∴BF=AF，
∴△EBA面积=2△AEF面积，
∵△BEA和△BEC等底等高，
∴△BEC面积=△BEA面积=2△AEF面积，
由对称的性质可得△DEA面积=△BEA面积，△DEC面积=△BEC面积，
∴△DEA面积=2△AEF面积，△DEC面积=2△AEF面积，
故答案为：△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；
9.(1)
①证明 ：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，，
∴∠B+∠QCD＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠QCD＝180°，
∴∠APC+∠AQC＝180°，
∵AP⊥CD，
∴∠APC＝90°，
∴∠AQC＝90°，
∴AQ⊥BC，
∵S菱形ABCD＝，
∴AP＝AQ；
② 当AP与CD不垂直时，①中的结论仍然成立；
证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，
∴S菱形ABCD＝BC AM＝CD AN，
∵BC＝CD，
∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠C＝180°，
∴∠AQC+∠APC＝180°，
∵∠AQM+∠AQC＝180°，
∴∠AQM＝∠APN，
在△AMQ和△ANP中，
，
∴．
∴AP＝AQ；
(2)
如图，过点A作AH⊥CD于点H，
∵∠ANC＝45°，
∴∠NAH＝45°，
∴AH＝HN，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝6，
∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，
∴DH＝AD＝3，
∴AH＝=DH＝3，
∴HN＝，
∴DN＝HN﹣DH＝．