北师大版数学九年级上册 2.5一元二次方程的根与系数的关系 试题 （含答案）

2.5一元二次方程的根与系数的关系
第一课时
一、单选题
1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的两个根为，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．14
3．下列一元二次方程中，两根均为负数的是( )
A． B．
C． D．
4．若、是一元二次方程的两个根，且，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（ ）
A． B． C． D．
6．设是一元二次方程的两根，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．已知一元二次方程的两根为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
9．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
二、填空题
11．设，是关于x的方程的两个根，且，则______．
12．若、是一元二次方程的两根，则的值是_______．
13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．
14．已知、是方程的两个实数根，则的值为__．
15．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2(x22－3x2)＝____．
16．已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_________．
17．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．
三、解答题
19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）； （2）．
20．已知关于x的方程 x2-2mx+m2 -9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．
21．在等腰中，、∠B、的对边分别是、、；已知，、分别是方程的两个根，试求的周长．
22．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
23．设是一元二次方程的两根，
（1）试推导；
（2）求代数式的值．
第二课时
一、单选题
1．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
2．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
4．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021
7．已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
8．若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
9．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________．
13．一元二次方程的两根为x1，x2，＋2x1x2＋＝_____．
14．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④当a+b=ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是 ____________．
15．若α2﹣2α＋k=0，β2﹣2β＋k=0，且α2﹣α＋β=5，α≠β，则k=___．
16．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）
①方程x2﹣4x=0是关于2的等距方程；
②当5m=﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）=0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c=0是关于2的等距方程，则必有b=﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1=3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
17．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
18．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值．
19．已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长．
(3)当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；
(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
21．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
(1)以下为倍根方程的是　 　；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．
22．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
23．材料一：若一个各位数字均不为零的自然数满足各位数字之和不大于10，则称该数为“易数”．例如“1123”，因为，所以“1123”为“易数”．
材料二：以三位数中的b，c构造一元二次方程，若该方程有两个实数根，则称为m的“系数关联数”．
(1)一个各位数字均不相等的四位数k它是“易数”，请直接写出满足该条件的最小易数______和最大易数______；
(2)请将材料二中的“系数关联数”n用字母b、c表示出来；
(3)已知一个三位数为易数，t的“系数关联数”n为8的倍数，求满足条件的所有三位数t．
24．阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
第一课时答案
一、单选题
B．D．C．D．C.A．A.B．A．A．
二、填空题
11．8
12．
13． ﹣2 ﹣3
14．9.
15．3
16．4＜m≤5．
17．1．
18．①③④．
三、解答题
19．
解：（1）原式整理为：，
∴，
∴，；
（2）原式整理为：，
∴，
∴，．
20．(1)
根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)
有题意得：
∴，解得
21．
解：∵b、c是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，
此时三角形三边为3，3，9，
∵，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴，
此时三角形三边为6，6，3，周长为，
综上，的周长为15．
22．
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴，解得；
（2）由根与系数的关系，可得，
∵，
∴，
∴，符合题意，
∴
23．（1）根据题意可得：，，然后将原式变形为，从而得到，即可求解．
解：（1）∵是一元二次方程的两根，
∴ ，，
∴；
；
（2）∵是一元二次方程的两根，
∴，，
．
第二课时答案
一、单选题
C.C．A.C．C．B．C.B.D．D．
二、填空题
11．2．
12．2018．
13．-5．
14.①②④．
15.
16.①④．
17.①③．
三、解答题
18.（1）∵关于x的方程有两个实数根，∴，解得；
（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2=k＋1，，∵x12＋x22=6x1x2-15，∴（x1＋x2）2-8x1x2+15=0，∴k2-2k-8=0，解得：k1=4，k2=-2，又∵，∴k=4．
19．(1)
证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)
解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
(3)
解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
20.(1)
由题意可知：x=m与x=2m是方程x2﹣9x+c=0的解，
∴m+2m=9，m 2m=c，
∴m=3，c=18，
故答案为18；
(2)
由（x﹣1）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x=1和x，
∴2或，
当n=2m时，0，
当nm时，；
故代数式的值0或．
21.(1)
①x2﹣x﹣2=0，
（x+1）（x﹣2）=0，
x1=﹣1，x2=2，
∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8=0，
（x﹣2)(x﹣4)=0,
x1=2，x2=4，
∴方程x2﹣6x+8=0是倍根方程；
故答案为②；
(2)
mx2+（n﹣2m）x﹣2n=0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）=0，
解得：x1=2，x2，
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n=0是倍根方程，
∴2或4，即m=﹣n或mn，
∴m+n=0或4m+n=0；
∴4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0；
(3)
设其中一根为t，则另一个根为2t，
则ax2+bx+c=a（x﹣t）（x﹣2t）=ax2﹣3atx+2t2a，
∴b2ac=0，
∵x2n=0是倍根方程，
∴（）2n=0，整理，得：m=3n，
∵A（m，n）在一次函数y=3x﹣8的图象上，
∴n=3m﹣8，
∴n=1，m=3，
∴此倍根方程为x2x0．
22.（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，∴，，∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1=0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．
23．(1)
解：由题意可知，满足条件的最小易数是1234，最大易数是4321；
故答案为：1234，4321；
(2)
∵一元二次方程有两个实数根、，
∴，，
∴；
(3)
由题意得：，，
∵n为8的倍数，
∴当b=1时，，满足n是8的倍数时c=4；
当b=2时，，满足n是8的倍数时c=1；
当b=3时，，满足n是8的倍数时c=6；
当b=4时，，满足n是8的倍数时c=3；
当b=5时，，满足n是8的倍数的c不存在；
当b=6时，，满足n是8的倍数的c不存在；
当b=7时，，满足n是8的倍数时c=2；
当b=8时，，满足n是8的倍数的c不存在；
∴满足条件的所有三位数t为：114或121或136或143或172．
24.（1），；故答案为；；
（2），，且，、可看作方程，，，；
（3）把变形为，实数和可看作方程的两根，，，．