四川省自贡市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．（2023·自贡）自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约人．人数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·自贡）如图中六棱柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·自贡）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·自贡）下列说法正确的是（ ）
A．甲 乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．是不等式的解，这是一个必然事件
8．（2023·自贡）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2023·自贡）如图1，小亮家 报亭 羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米
C．报亭到小亮家的距离是米
D．小亮打羽毛球的时间是分钟
11．（2023·自贡）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
12．（2023·自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023·自贡）计算： ．
14．（2023·自贡）请写出一个比小的整数 ．
15．（2021·孝感模拟）化简 .
16．（2023·自贡）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 ．
17．（2023·自贡）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．
18．（2023·自贡）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
三、解答题
19．（2023·自贡）计算：．
20．（2023·自贡）如图，在平行四边形中，点、分别在边和上，且．求证：．
21．（2023·自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
22．（2023·自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．
（1）补全学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；
（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．
23．（2023·自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．
（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
（2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
24．（2023·自贡）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出时，x的取值范围．
25．（2023·自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
26．（2023·自贡）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意得数轴上点A表示的数是2023，，
∴点B表示的数是-2023，
故答案为：B
【分析】根据数轴的概念即可求解。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：C
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得图中六棱柱的左视图是，
故答案为：A
【分析】根据几何体三视图的定义即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵与方向相同，
∴AB∥CD，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意即可得到AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解。
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OBCD为正方形，
∴OB=CB=CD=OD=3，
∴点的坐标是，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质结合点的坐标即可求解。
6．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可求解。
7．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；全面调查与抽样调查；概率的意义；方差；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：
A、∵，
∴，
∴甲的成绩更稳定，A不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，B不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，C不符合题意；、
D、∵，
∴，
∴是不等式的解，这是一个必然事件，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据方差的定义、概率、全面调查和抽样调查、不等式的解和必然事件的定义即可求解。
8．【答案】C
【知识点】圆的认识；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°-41°=49°，
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理即可得到，再根据直径所对的角为直角即可求解。
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，AB=BC，
∴∠B=180°-2×15°=150°，
∴外角=30°，
∴边数，
故答案为：D
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得到∠B=150°，进而即可求出外角的度数，再结合题意即可求解。
10．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：
A、由图像得小亮从家到羽毛球馆用了分钟，A不符合题意；
B、由题意得，B不符合题意；
C、由图像得报亭到小亮家的距离是米，C不符合题意；
D、小亮打羽毛球的时间是30分钟，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象对选项逐一判断即可求解。
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线（为自变量）与轴有交点，
∴，
∴b=2，
∵抛物线的对称轴为，
又∵，
∴，
∴c=b-1=1，
∴A（-4，m），B（8，m），
∴AB=12，
故答案为：B
【分析】先根据抛物线与x轴有交点结合判别式即可求出b的值，再根据二次函数的对称轴和二次函数的对称性即可求出c的值，进而得到点A和点B的坐标，进而即可求解。
12．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，
∴，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，
∴∠OKD=90°，，
∵OA=4，，
∴点B位于以k为圆心的圆上，
∴KB=OK=4，
∴当BD与圆K相切时，最大，
∴此时∠KBD=90°，
连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，
由勾股定理得，，
∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，
∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，
∴∠KNB=∠BKD，
∴△NKB∽△BKD，
∴，
∴KN=，
由勾股定理得，
∴（等面积法），
∴，
∴=
故答案为：A
【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。
13．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接运用合并同类项即可求解。
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】算术平方根；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
15．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】将分子利用平方差公式因式分解，然后约分即可解答.
16．【答案】/0.4
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得设蛋黄粽为A，鲜肉粽为B，画出树状图如下：
∴共有20种等可能的事件，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的事件为8种，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是，
故答案为：/0.4
【分析】根据题意即可画出树状图，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．【答案】/
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得扇形的弧长为cm，底面圆的周长为4πcm，
∴，
∴圆锥上粘贴部分的面积是，
故答案为：/
【分析】先扇形弧长的计算公式结合圆的周长即可求出圆锥底面多余的弧长l，再根据扇形面积的计算公式即可求解。
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，2），
过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，如图所示：
∴四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），
∴FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，
∵∠DFA=∠PFC，
∴∠PCF=∠FAD，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意得，解得，
∴y=3x-11，
∴，
∴，
过点D作GD⊥y轴于点G，如图所示：
∵直线与x轴交于点Q，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：
【分析】过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，进而即可得到四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），进而得到FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，再运用解直角三角形即可得到点F的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线CD的解析式，进而即可得到点D的坐标，过点D作GD⊥y轴于点G，先根据一次函数的性质即可得到点Q的坐标，再运用勾股定理即可求出QB的长，最后运用即可求解。
19．【答案】解：
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；积的乘方
【解析】【分析】运用绝对值、0指数幂、积的乘方即可求解。
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先运用平行四边形的性质即可得到，，再结合题意运用平行四边形的判定即可求解。
21．【答案】解：设该客车的载客量为人，
由题意知，，
解得，，
∴该客车的载客量为40人．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设该客车的载客量为人，根据“用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位”即可列出方程，进而即可求解。
22．【答案】（1）补全学生课外读书数量条形统计图，如图：
（2）∵本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4，
∴众数是4．
将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据，按照从小到大的顺序排列为：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5．
∵中间两位数据是3，4，
∴中位数是：．
平均数为：．
（3），
∴该校有600名学生，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意补充条形统计图即可求解；
（2）根据众数、中位数、平均数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
23．【答案】（1）解：依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；
（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
∵绕顶点逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质结合当在的延长线上时，的距离最大，当在线段上时，的距离最小即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，先根据旋转的性质得到，再根据含30°角直角三角形的性质得到，再结合勾股定理即可求解。
24．【答案】（1）解：将代入得，，解得，
∴反比例函数解析式为；
当，，则，，
当，，则，，
∵与的面积比为，
∴，整理得，即，解得或，
当时，将代入得，，解得，则；
当时，将代入得，，解得，则；
综上，一次函数解析式为或；
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为时，如图1，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
②当一次函数解析式为时，如图2，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
综上，当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将代入即可求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得到，，，，再结合题意即可得到或，再分类讨论即可求出一次函数的解析式；
（2）先分别求出一次函数的解析式与反比例函数的交点坐标，进而即可画出它们的图像，再观察图像即可求解。
25．【答案】（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：在中，．
∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，
设山高，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高为米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）先运用锐角三角函数的定义得到，再分别解直角三角形即可求解；
（3）先根据题意得到，，设山高，则，再结合题意分别求出，，进而根据即可求解。
26．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）分类讨论：为对角线，为对角线，为对角线，再结合平行四边形的性质即可求解；
（3）作交于点，为的中点，连接，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得到在上，再根据勾股定理即可得到设，接着运用同一个圆中，相同的弧圆心角也相同即可得到，进而得到在上，则，进而即可得到点G的坐标，再运用待定系数法求出直线CG的解析式，进而即可求解。
1 / 1四川省自贡市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意得数轴上点A表示的数是2023，，
∴点B表示的数是-2023，
故答案为：B
【分析】根据数轴的概念即可求解。
2．（2023·自贡）自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约人．人数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：C
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
3．（2023·自贡）如图中六棱柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得图中六棱柱的左视图是，
故答案为：A
【分析】根据几何体三视图的定义即可求解。
4．（2023·自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵与方向相同，
∴AB∥CD，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意即可得到AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解。
5．（2023·自贡）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OBCD为正方形，
∴OB=CB=CD=OD=3，
∴点的坐标是，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质结合点的坐标即可求解。
6．（2023·自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可求解。
7．（2023·自贡）下列说法正确的是（ ）
A．甲 乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．是不等式的解，这是一个必然事件
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；全面调查与抽样调查；概率的意义；方差；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：
A、∵，
∴，
∴甲的成绩更稳定，A不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，B不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，C不符合题意；、
D、∵，
∴，
∴是不等式的解，这是一个必然事件，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据方差的定义、概率、全面调查和抽样调查、不等式的解和必然事件的定义即可求解。
8．（2023·自贡）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的认识；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°-41°=49°，
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理即可得到，再根据直径所对的角为直角即可求解。
9．（2023·自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，AB=BC，
∴∠B=180°-2×15°=150°，
∴外角=30°，
∴边数，
故答案为：D
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得到∠B=150°，进而即可求出外角的度数，再结合题意即可求解。
10．（2023·自贡）如图1，小亮家 报亭 羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米
C．报亭到小亮家的距离是米
D．小亮打羽毛球的时间是分钟
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：
A、由图像得小亮从家到羽毛球馆用了分钟，A不符合题意；
B、由题意得，B不符合题意；
C、由图像得报亭到小亮家的距离是米，C不符合题意；
D、小亮打羽毛球的时间是30分钟，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象对选项逐一判断即可求解。
11．（2023·自贡）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线（为自变量）与轴有交点，
∴，
∴b=2，
∵抛物线的对称轴为，
又∵，
∴，
∴c=b-1=1，
∴A（-4，m），B（8，m），
∴AB=12，
故答案为：B
【分析】先根据抛物线与x轴有交点结合判别式即可求出b的值，再根据二次函数的对称轴和二次函数的对称性即可求出c的值，进而得到点A和点B的坐标，进而即可求解。
12．（2023·自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，
∴，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，
∴∠OKD=90°，，
∵OA=4，，
∴点B位于以k为圆心的圆上，
∴KB=OK=4，
∴当BD与圆K相切时，最大，
∴此时∠KBD=90°，
连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，
由勾股定理得，，
∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，
∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，
∴∠KNB=∠BKD，
∴△NKB∽△BKD，
∴，
∴KN=，
由勾股定理得，
∴（等面积法），
∴，
∴=
故答案为：A
【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。
二、填空题
13．（2023·自贡）计算： ．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接运用合并同类项即可求解。
14．（2023·自贡）请写出一个比小的整数 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】算术平方根；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
15．（2021·孝感模拟）化简 .
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】将分子利用平方差公式因式分解，然后约分即可解答.
16．（2023·自贡）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 ．
【答案】/0.4
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得设蛋黄粽为A，鲜肉粽为B，画出树状图如下：
∴共有20种等可能的事件，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的事件为8种，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是，
故答案为：/0.4
【分析】根据题意即可画出树状图，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．（2023·自贡）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．
【答案】/
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得扇形的弧长为cm，底面圆的周长为4πcm，
∴，
∴圆锥上粘贴部分的面积是，
故答案为：/
【分析】先扇形弧长的计算公式结合圆的周长即可求出圆锥底面多余的弧长l，再根据扇形面积的计算公式即可求解。
18．（2023·自贡）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，2），
过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，如图所示：
∴四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），
∴FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，
∵∠DFA=∠PFC，
∴∠PCF=∠FAD，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意得，解得，
∴y=3x-11，
∴，
∴，
过点D作GD⊥y轴于点G，如图所示：
∵直线与x轴交于点Q，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：
【分析】过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，进而即可得到四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），进而得到FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，再运用解直角三角形即可得到点F的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线CD的解析式，进而即可得到点D的坐标，过点D作GD⊥y轴于点G，先根据一次函数的性质即可得到点Q的坐标，再运用勾股定理即可求出QB的长，最后运用即可求解。
三、解答题
19．（2023·自贡）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；积的乘方
【解析】【分析】运用绝对值、0指数幂、积的乘方即可求解。
20．（2023·自贡）如图，在平行四边形中，点、分别在边和上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先运用平行四边形的性质即可得到，，再结合题意运用平行四边形的判定即可求解。
21．（2023·自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【答案】解：设该客车的载客量为人，
由题意知，，
解得，，
∴该客车的载客量为40人．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】设该客车的载客量为人，根据“用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位”即可列出方程，进而即可求解。
22．（2023·自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．
（1）补全学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；
（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．
【答案】（1）补全学生课外读书数量条形统计图，如图：
（2）∵本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4，
∴众数是4．
将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据，按照从小到大的顺序排列为：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5．
∵中间两位数据是3，4，
∴中位数是：．
平均数为：．
（3），
∴该校有600名学生，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意补充条形统计图即可求解；
（2）根据众数、中位数、平均数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
23．（2023·自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．
（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
（2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
【答案】（1）解：依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；
（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
∵绕顶点逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质结合当在的延长线上时，的距离最大，当在线段上时，的距离最小即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，先根据旋转的性质得到，再根据含30°角直角三角形的性质得到，再结合勾股定理即可求解。
24．（2023·自贡）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出时，x的取值范围．
【答案】（1）解：将代入得，，解得，
∴反比例函数解析式为；
当，，则，，
当，，则，，
∵与的面积比为，
∴，整理得，即，解得或，
当时，将代入得，，解得，则；
当时，将代入得，，解得，则；
综上，一次函数解析式为或；
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为时，如图1，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
②当一次函数解析式为时，如图2，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
综上，当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将代入即可求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得到，，，，再结合题意即可得到或，再分类讨论即可求出一次函数的解析式；
（2）先分别求出一次函数的解析式与反比例函数的交点坐标，进而即可画出它们的图像，再观察图像即可求解。
25．（2023·自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
【答案】（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：在中，．
∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，
设山高，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高为米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）先运用锐角三角函数的定义得到，再分别解直角三角形即可求解；
（3）先根据题意得到，，设山高，则，再结合题意分别求出，，进而根据即可求解。
26．（2023·自贡）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）分类讨论：为对角线，为对角线，为对角线，再结合平行四边形的性质即可求解；
（3）作交于点，为的中点，连接，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得到在上，再根据勾股定理即可得到设，接着运用同一个圆中，相同的弧圆心角也相同即可得到，进而得到在上，则，进而即可得到点G的坐标，再运用待定系数法求出直线CG的解析式，进而即可求解。
1 / 1
