四川省凉山州2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·凉山）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：
A、，为有理数，A符合题意；
BCD、、、、为无理数，BCD不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据立方根，运用无理数的定义即可求解。
2．（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图左边一列有两个小正方形，右边一列有一个小正方形，
故答案为：B
【分析】根据俯视图即可计算出主视图的小正方形个数和列数。
3．（2023·凉山）若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设原来的平均数为，
∴原来的方差为，
∴现在的方差为，
∴方差不变，
故答案为：A
【分析】根据方差的定义进行列式即可求解。
4．（2023·凉山）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项、幂的乘方、完全平方公式进行运算即可求解。
5．（2023·凉山） 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客万人次．将数据万用科学记数法表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得万=，
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
6．（2023·凉山）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：D
【分析】根据坐标系中关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都相反即可求解。
7．（2023·凉山）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AB∥CD，∠1=∠3，
∴∠2＋∠4=180°，
∵，
∴∠4=60°，
∴，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质判断出∠1=∠3，∠2＋∠4=180°，再结合题意即可求解。
8．（2023·凉山）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x=0，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件即可求解。
9．（2023·凉山）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴BF=CE，
A、添加，可运用ASA证明，A不符合题意；
B、添加，可运用SAS证明，B不符合题意；
C、添加，可运用AAS证明，C不符合题意；
D、添加，无法证明，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形全等的判定结合题意逐一判断即可求解。
10．（2023·凉山）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DM为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴∠ABD=∠A=40°，∠C=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到DM为AB的垂直平分线，进而运用垂直平分线的性质得到AD=BD，再运用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
11．（2023·凉山）如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵
∴∠BOA=60°，，
易得∠AOC=∠BOA=60°，
∴，
∴OC=2，
故答案为：B
【分析】连接OB，先根据圆周角定理结合垂径定理得到∠BOA=60°，，再结合题意解直角三角形即可求解。
12．（2023·凉山）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（为实数）
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、∵图像开口向上，
∴a＞0，
∴对称轴，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴，A不符合题意；
B、∵对称轴为x=1，
∴x=4与x=-2处的函数值相等，
当x=-2时，，B不符合题意；
C、∵对称轴，
∴，x=3与x=-1处的函数值相等，
当x=-1时，，
∵，
∴，C符合题意；
D、由图像可得x=1时，函数取最小值，
对于任意的未知值m，总存在，
∴，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断出a、b、c的符号，进而即可判断A；根据对称轴即可得到x=4与x=-2处的函数值相等，进而即可判断B；根据对称轴即可得到，x=3与x=-1处的函数值相等，将x=-1代入结合题意即可判断C；观察图像结合二次函数的性质即可得到x=1取最小值，进而即可判断D。
二、填空题
13．（2023·凉山）计算 ．
【答案】
【知识点】算术平方根；零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据0指数幂、二次根式的性质进行运算即可求解。
14．（2023·凉山）已知是完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴-m=，
∴=，
故答案为：
【分析】根据完全平方式的定义即可求解。
15．（2023·凉山）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=OA=3，
∵A，
∴B（4，2），
故答案为：
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=OA=3，再根据题意即可求解。
16．（2023·凉山）不等式组的所有整数解的和是 ．
【答案】7
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为-2，-1，0，1，2，3，4，
∴-2-1+0+1+2+3+4=7，
故答案为：7
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求解。
17．（2023·凉山）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设AB与A'C的交点为E，如图：
由折叠可知∠A=∠A'，∠ACD=∠A'CD，
∵是边上的中线，
∴DA=DC，
∴∠A=∠A'=∠ACD=∠A'CD，
∵∠EDC为△ACD的外角，
∴∠EDC=∠A＋∠ACD，
∵，
∴∠ECD+∠EDC=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】设AB与A'C的交点为E，先根据折叠的性质和直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质得到∠A=∠A'=∠ACD=∠A'CD，再运用三角形外角的性质结合三角形内角和定理即可得到∠A=30°，最后再解直角三角形即可求解。
三、解答题
18．（2023·凉山）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项进行化简，再代入数值即可求解。
19．（2023·凉山）解方程：．
【答案】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将分式方程去分母变化成整式方程，进而即可求出x的值，再检验即可求解。
20．（2023·凉山） 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
【答案】（1）解：人，
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）解：由题意得，选择C景区的人数为人，选择A景区的人数占比为，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据B的人数除以所占的百分比即可求解；
（2）先根据总人数减去其余的人数即可求出C景区的人数，再运用人数除以总人数即可求出其所占的百分比，进而补充条形统计图和扇形统计图即可求解；
（3）先画出树状图即可得到可能的结果，再根据等可能事件的概率进行计算即可求解。
21．（2023·凉山）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．
（1）求两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：∵点、点到的距离分别为，
∴，，而，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可得：，，，
∴，，
∴
（2）∵小型汽车从点行驶到点所用时间为．
∴汽车速度为，
∵该隧道限速80千米/小时，
∴，
∵，
∴小型汽车从点行驶到点没有超速．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据矩形的判定与性质证明四边形为矩形，进而即可得到，再解直角三角形结合题意即可求解；
（2）先计算出小型汽车的速度，再换算单位即可求解。
22．（2023·凉山）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质得到，再根据勾股定理即可得到OB的长，再运用相似三角形的判定与性质证明，进而即可求解。
四、填空题
23．（2023·凉山）已知，则的值等于 ．
【答案】2023
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：
∵，
∴，，
∴，
故答案为：2023
【分析】先根据题意得到，，带代入即可求解。
24．（2023·凉山）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．
【答案】/
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取AB的中点D，连接DC，DO，如图所示：
∵边长为2的等边，
∴BA=CB=2，CD⊥BA，
∴DA=BD=1，
由勾股定理得，
∵，
∴OD=1，
∴当O、C、D共线的时候，OC有最大值为，
故答案为：/
【分析】取AB的中点D，连接DC，DO，先根据等边三角形的性质得到BA=CB=2，CD⊥BA，再根据勾股定理得到CD的长，接着根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到OD的长，再根据题意得到当O、C、D共线的时候，OC有最大值即可求解。
五、解答题
25．（2023·凉山）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【答案】（1）解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，则
，
①+②得；，则③
把③代入①得：，
把③代入②得：，
∴方程组的解为：，
答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，则
，
∴，
解得：，
答：最多能购买雷波脐橙40千克．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，根据“一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克”即可列出不等式，进而即可求出m的取值范围，再结合题意即可求解。
26．（2023·凉山）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出的值；
（3）求直线的解析式．
【答案】（1）将代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴设，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴应舍去，
∴，
∴，
∴将代入，解得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先求出点B，设，再运用勾股定理结合题意即可得到，进而得到，再将代入即可求解；
（2）先根据A和B点坐标得到，，再根据正切值的定义得到，再根据矩形的判定与性质结合旋转的性质即可求解；
（3）先根据矩形的性质得到，，再运用得到NE的值，进而得到E点坐标，再运用待定系数法即可求出直线的解析式。
27．（2023·凉山）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
弦，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
所以的半径为3，的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质得到，再结合等腰三角形的性质得到，最后根据切线的判定结合题意即可求解；
（2）连接，设的半径为，则，先根据勾股定理即可求出r的值，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而即可求解。
28．（2023·凉山）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）①先根据二次函数的性质得到点C的坐标，再运用待定系数法求出一次函数BC的解析式，进而得到，再结合题意即可求解；
②设直线与x轴交于H，先根据等腰直角三角形的判定与性质证明是等腰直角三角形，进而得到；分类讨论：当时，过点C作于G，则，再运用等腰直角三角形的性质结合题意即可求出m的值，进而即可求解；当时，则是等腰直角三角形，再运用等腰直角三角形的性质结合题意即可求出m的值，进而即可求解；当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，再运用等腰直角三角形的性质结合题意即可求出m的值，进而即可求解。
1 / 1四川省凉山州2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·凉山）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·凉山）若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
4．（2023·凉山）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·凉山） 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客万人次．将数据万用科学记数法表示的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·凉山）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·凉山）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·凉山）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
9．（2023·凉山）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·凉山）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·凉山）如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．（2023·凉山）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（为实数）
二、填空题
13．（2023·凉山）计算 ．
14．（2023·凉山）已知是完全平方式，则的值是 ．
15．（2023·凉山）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．
16．（2023·凉山）不等式组的所有整数解的和是 ．
17．（2023·凉山）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则 ．
三、解答题
18．（2023·凉山）先化简，再求值：，其中，．
19．（2023·凉山）解方程：．
20．（2023·凉山） 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
21．（2023·凉山）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．
（1）求两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）
22．（2023·凉山）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
四、填空题
23．（2023·凉山）已知，则的值等于 ．
24．（2023·凉山）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．
五、解答题
25．（2023·凉山）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
26．（2023·凉山）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出的值；
（3）求直线的解析式．
27．（2023·凉山）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
28．（2023·凉山）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：
A、，为有理数，A符合题意；
BCD、、、、为无理数，BCD不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据立方根，运用无理数的定义即可求解。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图左边一列有两个小正方形，右边一列有一个小正方形，
故答案为：B
【分析】根据俯视图即可计算出主视图的小正方形个数和列数。
3．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设原来的平均数为，
∴原来的方差为，
∴现在的方差为，
∴方差不变，
故答案为：A
【分析】根据方差的定义进行列式即可求解。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项、幂的乘方、完全平方公式进行运算即可求解。
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得万=，
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
6．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：D
【分析】根据坐标系中关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都相反即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AB∥CD，∠1=∠3，
∴∠2＋∠4=180°，
∵，
∴∠4=60°，
∴，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质判断出∠1=∠3，∠2＋∠4=180°，再结合题意即可求解。
8．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x=0，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件即可求解。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴BF=CE，
A、添加，可运用ASA证明，A不符合题意；
B、添加，可运用SAS证明，B不符合题意；
C、添加，可运用AAS证明，C不符合题意；
D、添加，无法证明，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形全等的判定结合题意逐一判断即可求解。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DM为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴∠ABD=∠A=40°，∠C=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到DM为AB的垂直平分线，进而运用垂直平分线的性质得到AD=BD，再运用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵
∴∠BOA=60°，，
易得∠AOC=∠BOA=60°，
∴，
∴OC=2，
故答案为：B
【分析】连接OB，先根据圆周角定理结合垂径定理得到∠BOA=60°，，再结合题意解直角三角形即可求解。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、∵图像开口向上，
∴a＞0，
∴对称轴，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴，A不符合题意；
B、∵对称轴为x=1，
∴x=4与x=-2处的函数值相等，
当x=-2时，，B不符合题意；
C、∵对称轴，
∴，x=3与x=-1处的函数值相等，
当x=-1时，，
∵，
∴，C符合题意；
D、由图像可得x=1时，函数取最小值，
对于任意的未知值m，总存在，
∴，
∴，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断出a、b、c的符号，进而即可判断A；根据对称轴即可得到x=4与x=-2处的函数值相等，进而即可判断B；根据对称轴即可得到，x=3与x=-1处的函数值相等，将x=-1代入结合题意即可判断C；观察图像结合二次函数的性质即可得到x=1取最小值，进而即可判断D。
13．【答案】
【知识点】算术平方根；零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据0指数幂、二次根式的性质进行运算即可求解。
14．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴-m=，
∴=，
故答案为：
【分析】根据完全平方式的定义即可求解。
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=OA=3，
∵A，
∴B（4，2），
故答案为：
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=OA=3，再根据题意即可求解。
16．【答案】7
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为-2，-1，0，1，2，3，4，
∴-2-1+0+1+2+3+4=7，
故答案为：7
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求解。
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设AB与A'C的交点为E，如图：
由折叠可知∠A=∠A'，∠ACD=∠A'CD，
∵是边上的中线，
∴DA=DC，
∴∠A=∠A'=∠ACD=∠A'CD，
∵∠EDC为△ACD的外角，
∴∠EDC=∠A＋∠ACD，
∵，
∴∠ECD+∠EDC=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】设AB与A'C的交点为E，先根据折叠的性质和直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质得到∠A=∠A'=∠ACD=∠A'CD，再运用三角形外角的性质结合三角形内角和定理即可得到∠A=30°，最后再解直角三角形即可求解。
18．【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项进行化简，再代入数值即可求解。
19．【答案】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将分式方程去分母变化成整式方程，进而即可求出x的值，再检验即可求解。
20．【答案】（1）解：人，
∴本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）解：由题意得，选择C景区的人数为人，选择A景区的人数占比为，
∴选择C景区的人数占比为
补全统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择的结果数有3种，
∴他第一个景区恰好选择的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据B的人数除以所占的百分比即可求解；
（2）先根据总人数减去其余的人数即可求出C景区的人数，再运用人数除以总人数即可求出其所占的百分比，进而补充条形统计图和扇形统计图即可求解；
（3）先画出树状图即可得到可能的结果，再根据等可能事件的概率进行计算即可求解。
21．【答案】（1）解：∵点、点到的距离分别为，
∴，，而，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可得：，，，
∴，，
∴
（2）∵小型汽车从点行驶到点所用时间为．
∴汽车速度为，
∵该隧道限速80千米/小时，
∴，
∵，
∴小型汽车从点行驶到点没有超速．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据矩形的判定与性质证明四边形为矩形，进而即可得到，再解直角三角形结合题意即可求解；
（2）先计算出小型汽车的速度，再换算单位即可求解。
22．【答案】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质得到，再根据勾股定理即可得到OB的长，再运用相似三角形的判定与性质证明，进而即可求解。
23．【答案】2023
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：
∵，
∴，，
∴，
故答案为：2023
【分析】先根据题意得到，，带代入即可求解。
24．【答案】/
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取AB的中点D，连接DC，DO，如图所示：
∵边长为2的等边，
∴BA=CB=2，CD⊥BA，
∴DA=BD=1，
由勾股定理得，
∵，
∴OD=1，
∴当O、C、D共线的时候，OC有最大值为，
故答案为：/
【分析】取AB的中点D，连接DC，DO，先根据等边三角形的性质得到BA=CB=2，CD⊥BA，再根据勾股定理得到CD的长，接着根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到OD的长，再根据题意得到当O、C、D共线的时候，OC有最大值即可求解。
25．【答案】（1）解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，则
，
①+②得；，则③
把③代入①得：，
把③代入②得：，
∴方程组的解为：，
答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，则
，
∴，
解得：，
答：最多能购买雷波脐橙40千克．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，根据“一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克”即可列出不等式，进而即可求出m的取值范围，再结合题意即可求解。
26．【答案】（1）将代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴设，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴应舍去，
∴，
∴，
∴将代入，解得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先求出点B，设，再运用勾股定理结合题意即可得到，进而得到，再将代入即可求解；
（2）先根据A和B点坐标得到，，再根据正切值的定义得到，再根据矩形的判定与性质结合旋转的性质即可求解；
（3）先根据矩形的性质得到，，再运用得到NE的值，进而得到E点坐标，再运用待定系数法即可求出直线的解析式。
27．【答案】（1）证明：如图，连接，
弦，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
所以的半径为3，的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质得到，再结合等腰三角形的性质得到，最后根据切线的判定结合题意即可求解；
（2）连接，设的半径为，则，先根据勾股定理即可求出r的值，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而即可求解。
28．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）①先根据二次函数的性质得到点C的坐标，再运用待定系数法求出一次函数BC的解析式，进而得到，再结合题意即可求解；
②设直线与x轴交于H，先根据等腰直角三角形的判定与性质证明是等腰直角三角形，进而得到；分类讨论：当时，过点C作于G，则，再运用等腰直角三角形的性质结合题意即可求出m的值，进而即可求解；当时，则是等腰直角三角形，再运用等腰直角三角形的性质结合题意即可求出m的值，进而即可求解；当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，再运用等腰直角三角形的性质结合题意即可求出m的值，进而即可求解。
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