四川省达州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·新都模拟）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·达州）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·达州）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
5．（2023·达州）如图，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·达州）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·达州）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
9．（2023·达州）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·达州）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2016·大庆）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
12．（2023·达州）已知是方程的两个实数根，且，则的值为 ．
13．（2023·达州）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
14．（2023·达州）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．
15．（2023·达州）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
16．（2023·达州）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
17．（2023·达州）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生 ▲ 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中， ， ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
18．（2023·达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将向下平移3个单位长度得到，画出；
（2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
（3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
19．（2023·达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
20．（2023·达州）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
21．（2023·达州）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（2023·达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
23．（2023·达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1） ， ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．
24．（2023·达州）如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·达州）
（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；
（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；
（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：C.
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：
A、图中有7个面，不为长方体，A不符合题意；
B、该展开图无法还原成长方体，B不符合题意；
C、该展开图可以还原成长方体，C符合题意；
D、图中只有5个面，不为长方体，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据长方体有6个面结合题意即可判断。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2502.7亿=，
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的定义即可表示。
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：
∵2在这组数据中出现次数最多，
∴2为众数，
将数据重新排序2，2，3，4，5，
∴中位数为3，
故答案为：C
【分析】根据中位数和众数的定义即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴∠1=∠ACE=35°，
∴∠BCD=70°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到∠1=∠ACE=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方分别运算即可求解。
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据“当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件”进而即可列出等式，即可求解。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：
A、平行四边形不是轴对称图形，A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，C符合题意；
D、由题意得最大角，
∴不是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理逐一求解即可。
9．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵曲线是由多段的圆心角的圆心为，
∴每一次的弧的半径比前一次的多，
∴，，，......，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据曲线是由多段的圆心角的圆心为，每一次的弧的半径比前一次的多，进而即可得到，，再结合弧长的公式进行计算即可求解。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①∵图像开口向上，
∴a＞0，
∴对称轴，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴，故①正确；
②∵对称轴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为x=1，
∴x=0与x=2处的函数值相等，
当x=2时，，故③错误；
④由图像可得x=1时，函数取最小值，
对于任意的未知值m，总存在，
∴，故④错误；
⑤当x=-1时，，
∵，
∴，故⑤正确；
∴共有3个正确的，
故答案为：B
【分析】先根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断出a、b、c的符号，进而即可判断①；根据二次函数对称轴即可判断②；根据对称轴即可得到x=0与x=2处的函数值相等，进而即可判断③；观察图像结合二次函数的性质即可得到x=1取最小值，进而即可判断④；将x=-1代入结合题意即可判断⑤。
11．【答案】x≥
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，解得x≥ ．
故答案为：x≥ ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴k=7，
故答案为：7
【分析】根据根与系数的关系求出，再代入方程即可求解。
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵乐器上的一根弦，支撑点是靠近点的黄金分割点，设BC=a，则AC=80-a，
∴，解得，
∵支撑点是靠近点的黄金分割点，设AD=b，BD=80-b，
∴，解得，
∴之间的距离为，
故答案为：
【分析】根据黄金分割点的定义，设AD=b，设BC=a，分别求出a和b的值，进而即可求解。
14．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接CO，如图所示：
∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，
∴，解得x=±1，
∴点A（1，2），点B（-1，-2），
∴OD=1，DA=2，
由勾股定理得，
∴，，
∵△ABC为等边三角形，
∴，∠COA=90°，
由勾股定理得，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
将点C代入，得k=-6，
故答案为：-6
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接CO，先联立方程进而即可求出A和B的坐标，再运用勾股定理结合等边三角形的定义得到，再根据锐角三角函数的定义结合勾股定理求出点C，最后代入即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵，在边上有一点，
∴C的轨迹是圆O，
取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，如图所示：
∴，KE=PA，
∵，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵OA=OB，
∴，∠OAB=30°，
取OA中点为O1，且O1为定点，
∵，
∴，
∴，
∴点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，
∵要求AP最小，即求KE最小，
∴当K、E、O1共线时，KE最小，
设∠PBA=∠EAK=a，
∴∠CAO+90°+a=180°，
∴∠CAO=90°-a，
∴∠KAO=90°，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意判断出C的轨迹，取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，根据三角形全等的性质得到，KE=PA，再根据等腰三角形的性质得到，∠OAB=30°，取OA中点为O1，且O1为定点，进而即可判断点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，设∠PBA=∠EAK=a，再运用勾股定理结合题意即可求解。
16．【答案】（1）
；
（2）
∵为满足的整数且，
∴，
∴取，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式有无意义的条件；分式的混合运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）运用二次根式、绝对值的运算、0指数幂、锐角三角函数值进行运算，再合并同类项即可求解；
（2）先运用分式的混合运算进行化简，再结合分式有意义的条件代入合适的值即可求解。
17．【答案】（1）50；
本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）；；
（3）用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：50；
（2）由题意得，m=20，
，n=10，
剪纸社团对应的扇形圆心角为，
故答案为：20，10，144°
【分析】（1）运用C类人数除以其所占的百分比即可求解，再运用总人数减去其他社团的人数即可求出D社团的人数，再补充条形统计图即可求解；
（2）根据总人数与各个人数的比值即可求出m和n的值，再运用A社团所占的百分比乘360°即可求出其圆心角的度数；
（3）先画出树状图，再根据等可能事件概率的计算方法进行计算即可求解。
18．【答案】（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）解：作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转；扇形的面积
【解析】【分析】（1）先做出A、B、C平移后的对应点，、，再连接即可求解；
（2）作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接即可求解；
（3）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到，进而根据等腰直角三角形的判定与性质得到，最后根据扇形的面积结合即可求解。
19．【答案】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，先根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数值得到OF和OE的长，进而结合题意即可求解。
20．【答案】（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点做射线交于点P，则即为所求．
（2）解：过点P作，如图所示，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法进行作图即可求解；
（2）过点P作，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理得到AC的长，再运用即可求出PD的长，进而运用三角形的面积即可求解。
21．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴的长为6．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，再运用切线的判定结合题意即可求解；
（2）记与交点为，连接，过作于，先根据等边三角形的判定与性质得到，，设半径为，再根据锐角三角形函数的定义得到，再根据等腰三角形的判定与性质得到，再运用相似的判定与性质得到r的长，最后根据即可求解。
22．【答案】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，
，
解得，
∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则
（且n为整数），
∵，
当时，W随n的增大而减小，
∴当时，W取最大值，为．
此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；列一次函数关系式；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据“2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据“特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的”即可列出不等式组，进而即可求出n的取值范围，再列出方案即可求解；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，根据“特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元”即可列出W与n的关系式，再根据一次函数的性质即可求解。
23．【答案】（1）2；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）或
【知识点】函数解析式；函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意得，
当I=3时，a=2，
当R=6时，b=1.5，
故答案为：2，1.5；
（3）∵，
当x=2或0时，，
当x=2时，y=3，当x=0时，y=6，
∴在（2，3），（0，6）相交，
画出图像如下：
观察图像可知当时，的解集为或，
故答案为：或
【分析】（1）根据题目中的解析式即可求解；
（2）①根据表格的数据描点连线即可求解；②根据函数图象直接读图即可求解；
（3）求出两个函数的交点坐标，再画图即可求解。
24．【答案】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
（3）存在，或或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的对角线，
，
∴，
∵，即，
解得：，
∴，
∴；
综上可得：或或或，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，进而即可得到OB=3，设点，过点P作轴于点D，交于点E，进而即可表示出点E的坐标，再根据三角形的面积公式表示出△PBC的面积，再根据题意即可求解；
（3）分类讨论：①若为菱形的边长，②若为菱形的边长，运用三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质即可求解。
25．【答案】（1）解：如图①，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
∴；
（2）如图②，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，，，
∴
∴，
∴，
∴，即，又，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
设，，
过点D作于H，如图③，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在图③中，过B作于G，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，则，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理即可得到，设，则，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）先根据矩形的性质和折叠性质得到，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合勾股定理即可求解。
（3）先根据相似三角形的判定与性质得到，，，设，，过点D作于H，再根据三角形全等判定证明，再根据三角形全等的性质结合勾股定理得到k的值，进而即可求出AC的值，过B作于G，根据平行线的判定与性质得到，再根据锐角三角函数的性质得到，，再结合题意运用边的转化即可求解。
1 / 1四川省达州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·新都模拟）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：C.
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
2．（2023·达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：
A、图中有7个面，不为长方体，A不符合题意；
B、该展开图无法还原成长方体，B不符合题意；
C、该展开图可以还原成长方体，C符合题意；
D、图中只有5个面，不为长方体，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据长方体有6个面结合题意即可判断。
3．（2023·达州）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2502.7亿=，
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的定义即可表示。
4．（2023·达州）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：
∵2在这组数据中出现次数最多，
∴2为众数，
将数据重新排序2，2，3，4，5，
∴中位数为3，
故答案为：C
【分析】根据中位数和众数的定义即可求解。
5．（2023·达州）如图，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴∠1=∠ACE=35°，
∴∠BCD=70°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到∠1=∠ACE=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。
6．（2023·达州）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方分别运算即可求解。
7．（2023·达州）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据“当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件”进而即可列出等式，即可求解。
8．（2023·达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：
A、平行四边形不是轴对称图形，A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，C符合题意；
D、由题意得最大角，
∴不是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理逐一求解即可。
9．（2023·达州）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵曲线是由多段的圆心角的圆心为，
∴每一次的弧的半径比前一次的多，
∴，，，......，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据曲线是由多段的圆心角的圆心为，每一次的弧的半径比前一次的多，进而即可得到，，再结合弧长的公式进行计算即可求解。
10．（2023·达州）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①∵图像开口向上，
∴a＞0，
∴对称轴，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴，故①正确；
②∵对称轴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为x=1，
∴x=0与x=2处的函数值相等，
当x=2时，，故③错误；
④由图像可得x=1时，函数取最小值，
对于任意的未知值m，总存在，
∴，故④错误；
⑤当x=-1时，，
∵，
∴，故⑤正确；
∴共有3个正确的，
故答案为：B
【分析】先根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断出a、b、c的符号，进而即可判断①；根据二次函数对称轴即可判断②；根据对称轴即可得到x=0与x=2处的函数值相等，进而即可判断③；观察图像结合二次函数的性质即可得到x=1取最小值，进而即可判断④；将x=-1代入结合题意即可判断⑤。
二、填空题
11．（2016·大庆）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，解得x≥ ．
故答案为：x≥ ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（2023·达州）已知是方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴k=7，
故答案为：7
【分析】根据根与系数的关系求出，再代入方程即可求解。
13．（2023·达州）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵乐器上的一根弦，支撑点是靠近点的黄金分割点，设BC=a，则AC=80-a，
∴，解得，
∵支撑点是靠近点的黄金分割点，设AD=b，BD=80-b，
∴，解得，
∴之间的距离为，
故答案为：
【分析】根据黄金分割点的定义，设AD=b，设BC=a，分别求出a和b的值，进而即可求解。
14．（2023·达州）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接CO，如图所示：
∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，
∴，解得x=±1，
∴点A（1，2），点B（-1，-2），
∴OD=1，DA=2，
由勾股定理得，
∴，，
∵△ABC为等边三角形，
∴，∠COA=90°，
由勾股定理得，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
将点C代入，得k=-6，
故答案为：-6
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接CO，先联立方程进而即可求出A和B的坐标，再运用勾股定理结合等边三角形的定义得到，再根据锐角三角函数的定义结合勾股定理求出点C，最后代入即可求解。
15．（2023·达州）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵，在边上有一点，
∴C的轨迹是圆O，
取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，如图所示：
∴，KE=PA，
∵，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵OA=OB，
∴，∠OAB=30°，
取OA中点为O1，且O1为定点，
∵，
∴，
∴，
∴点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，
∵要求AP最小，即求KE最小，
∴当K、E、O1共线时，KE最小，
设∠PBA=∠EAK=a，
∴∠CAO+90°+a=180°，
∴∠CAO=90°-a，
∴∠KAO=90°，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意判断出C的轨迹，取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，根据三角形全等的性质得到，KE=PA，再根据等腰三角形的性质得到，∠OAB=30°，取OA中点为O1，且O1为定点，进而即可判断点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，设∠PBA=∠EAK=a，再运用勾股定理结合题意即可求解。
三、解答题
16．（2023·达州）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
【答案】（1）
；
（2）
∵为满足的整数且，
∴，
∴取，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式有无意义的条件；分式的混合运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）运用二次根式、绝对值的运算、0指数幂、锐角三角函数值进行运算，再合并同类项即可求解；
（2）先运用分式的混合运算进行化简，再结合分式有意义的条件代入合适的值即可求解。
17．（2023·达州）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生 ▲ 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中， ， ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】（1）50；
本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）；；
（3）用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：50；
（2）由题意得，m=20，
，n=10，
剪纸社团对应的扇形圆心角为，
故答案为：20，10，144°
【分析】（1）运用C类人数除以其所占的百分比即可求解，再运用总人数减去其他社团的人数即可求出D社团的人数，再补充条形统计图即可求解；
（2）根据总人数与各个人数的比值即可求出m和n的值，再运用A社团所占的百分比乘360°即可求出其圆心角的度数；
（3）先画出树状图，再根据等可能事件概率的计算方法进行计算即可求解。
18．（2023·达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将向下平移3个单位长度得到，画出；
（2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
（3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【答案】（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）解：作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转；扇形的面积
【解析】【分析】（1）先做出A、B、C平移后的对应点，、，再连接即可求解；
（2）作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接即可求解；
（3）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到，进而根据等腰直角三角形的判定与性质得到，最后根据扇形的面积结合即可求解。
19．（2023·达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
【答案】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，先根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数值得到OF和OE的长，进而结合题意即可求解。
20．（2023·达州）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
【答案】（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点做射线交于点P，则即为所求．
（2）解：过点P作，如图所示，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法进行作图即可求解；
（2）过点P作，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理得到AC的长，再运用即可求出PD的长，进而运用三角形的面积即可求解。
21．（2023·达州）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴的长为6．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，再运用切线的判定结合题意即可求解；
（2）记与交点为，连接，过作于，先根据等边三角形的判定与性质得到，，设半径为，再根据锐角三角形函数的定义得到，再根据等腰三角形的判定与性质得到，再运用相似的判定与性质得到r的长，最后根据即可求解。
22．（2023·达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，
，
解得，
∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则
（且n为整数），
∵，
当时，W随n的增大而减小，
∴当时，W取最大值，为．
此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；列一次函数关系式；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据“2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据“特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的”即可列出不等式组，进而即可求出n的取值范围，再列出方案即可求解；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，根据“特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元”即可列出W与n的关系式，再根据一次函数的性质即可求解。
23．（2023·达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1） ， ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．
【答案】（1）2；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）或
【知识点】函数解析式；函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意得，
当I=3时，a=2，
当R=6时，b=1.5，
故答案为：2，1.5；
（3）∵，
当x=2或0时，，
当x=2时，y=3，当x=0时，y=6，
∴在（2，3），（0，6）相交，
画出图像如下：
观察图像可知当时，的解集为或，
故答案为：或
【分析】（1）根据题目中的解析式即可求解；
（2）①根据表格的数据描点连线即可求解；②根据函数图象直接读图即可求解；
（3）求出两个函数的交点坐标，再画图即可求解。
24．（2023·达州）如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
（3）存在，或或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的对角线，
，
∴，
∵，即，
解得：，
∴，
∴；
综上可得：或或或，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，进而即可得到OB=3，设点，过点P作轴于点D，交于点E，进而即可表示出点E的坐标，再根据三角形的面积公式表示出△PBC的面积，再根据题意即可求解；
（3）分类讨论：①若为菱形的边长，②若为菱形的边长，运用三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质即可求解。
25．（2023·达州）
（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；
（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；
（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．
【答案】（1）解：如图①，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
∴；
（2）如图②，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，，，
∴
∴，
∴，
∴，即，又，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
设，，
过点D作于H，如图③，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在图③中，过B作于G，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，则，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理即可得到，设，则，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）先根据矩形的性质和折叠性质得到，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合勾股定理即可求解。
（3）先根据相似三角形的判定与性质得到，，，设，，过点D作于H，再根据三角形全等判定证明，再根据三角形全等的性质结合勾股定理得到k的值，进而即可求出AC的值，过B作于G，根据平行线的判定与性质得到，再根据锐角三角函数的性质得到，，再结合题意运用边的转化即可求解。
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