2022-2023学年浙江省湖州市高二年级下学期6月教学质量检测数学试卷（PDF版含解析）

浙江省湖州市 2022-2023学年下学期6月高二年级教学质量检测
数学试卷
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线 过点 (1,1)，且其方向向量 = (1,2)，则直线 的方程为 ( )
A. 2 + + 1 = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 + 1 = 0 D. 2 1 = 0
2. 已知 ， ， ， 为空间四点，且向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则一定有
( )
A. ， ， 共线 B. ， ， ， 中至少有三点共线
C. + 与 共线 D. ， ， ， 四点共面
3. 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”
效应．如果政府增加某项支出 亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将
收入增加量的 %用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第 2轮影响，其也会使部分居
民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的 %用于国内消费，因此又会产生新的一轮
影响 ，假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过 30轮影响之后，最后的国内消
费总额是(最初政府支出也算是国内消费)( )
A. B. C. D.
4. 第 19届亚运会将于 2023年 9月 23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者.
甲、乙等 4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工
作，每个项目仅需 1名志愿者，每人至多参加一个项目.若甲不能参加“莲花”场馆的项目，
则不同的选择方案共有 ( )
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
5. “点( , )在圆 2 + 2 = 1 内”是“直线 + + 1 = 0 与圆 2 + 2 = 1 相离”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. A、 两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹.共同记录到粒子的 13个位置的坐
标信息如下表：
第 1页，共 19页
0.93 0.82 0.77 0.61 0.55 0.33 0.27 0.10 0.42 0.58 0.64 0.67 0.76
0.26 0.41 0.45 0.45 0.60 0.67 0.68 0.71 0.64 0.55 0.55 0.53 0.46
小组根据表中数据，直接对 ， 作线性回归分析，得到：回归方程为 = 0.5993 + 0.005，
决定系数 2 = 0.4472； 小组先将数据依变换 = 2， = 2进行整理，再对 ， 作线性回
归分析，得到：回归方程为 = 0.5006 + 0.4922，决定系数 2 = 0.9375根据统计学知识，
下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是 ( )
A. 0.5993 + 0.005 = 0 B. 0.5006 + 0.4922 = 0
C. 0.5006
2 2 2 0.5006 2
0.4922 + 0.4922 = 1 D. 0.4922 + 0.4922 = 1
7. 设 ， ， ， 是半径为 1的球 的球面上的四个点.设 + + = 0，则| | + | | +
| |不可能等于( )
A. 3 B. 72 C. 4 D. 3 2
8. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活
动木条 的 处钻一个小孔，可以容纳笔尖， ， 各在一条槽内移动，可以放松移动以保
证 与 的长度不变，当 ， 各在一条槽内移动时， 处笔尖就画出一个椭圆 。已知| | =
2| |，且 在右顶点时， 恰好在 点，则 的离心率为 ( )
A. 1 2 2 5 52 B. 3 C. D.5 3
二、多项选择 题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, < 2 )的图象经过点 (0,
3 )，且 ( )在[0,2 ]上2
有且仅有 4个零点，则下列结论正确的是 ( )
A. 4 ≤ < 113 6
B. ( )在(0,2 )上有 2或 3个极大值点
第 2页，共 19页
C. 将 = ( ) 的图象向右平移3个单位长度，可得 y = sin 的图象
D. 存在 ，使 ( )在区间( 3 , 0)上为单调函数
10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春.除夕夜里小光用 3 投影为家人进行虚拟现实表演，
表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节.小光按照以上 4个环节的先后顺序
进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概
3
率均为4，则 ( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. 9“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为16
C. 表演成功的环节个数的期望为 3
D. 3在表演成功的环节恰为 3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为4
11. 关于函数 ( ) = + sin ， ∈ ( , + ∞)，下列说法正确的是 ( )
A. 当 = 1 时， ( )在(0, (0))处的切线方程为 2 + 1 = 0；
B. 当 = 1 时， ( )存在唯一极小值点 0，且 1 < 0 < 0；
C. 对任意 > 0， ( )在( , + ∞)上均存在零点；
D. 存在 < 0， ( )在( , + ∞)上有且只有两个零点．
2 2
12. 设双曲线 : 2 = 1( > 0)，直线 与双曲线 的右支交于点 ， ，则下列说法 +4
中正确的是( )
A. 双曲线 离心率的最小值为 4
B. 离心率最小时双曲线 的渐近线方程为 3 ± = 0
C. 若直线 同时与两条渐近线交于点 ， ，则| | = | |
D. 若 = 1，点 处的切线与两条渐近线交于点 ， ，则 △ 为定值
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 在(2 + 2)4的展开式中，含 5项的系数为 ．
14. 定义方程 ( ) = ′( )的实数根 0叫做函数 ( )的“新驻点”.设 ( ) = ，则 ( )
在(0, )上的“新驻点”为 ．
15. 在数列 中， 1 = 1， +1 = 1( ∈ )；等比数列 的前 项和为 = 2
.当 ∈ 时，使得 ≥ 恒成立的实数 的最小值是 ．
第 3页，共 19页
16. 设函数 ( ) = 2| +2| + cos( 2 )，则使得 ( + 1) > (2 )成立的 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10.0分)
在平行六面体 1 1 1 1中， = 1, = 2, 1 = 3, ∠ = 90 ，∠ 1 =
∠ 1 = 60 .若 = , = , 1 = ．
(1)用基底{ , , }表示向量 ；
(2)求向量 1的长度．
18. (本小题 12.0分)
已知等差数列 和等比数列 满足 1 = 1, 3 = 8, = 2 ， ∈ ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和
为 ，求 50．
19. (本小题 12.0分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥平面 ， = = 2， 为线
段 的中点， 为线段 上的动点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的最小值．
第 4页，共 19页
20. (本小题 12.0分)
2023年 5月 10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物
资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.某校部分学生十分
关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到 6次及以上者称为“航天
达人”，未达到 6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取 50人进行分析，得到数据如
表所示：
航天达人 非航天达人 合计
男 20 26
女 14
合计
(1)补全 2 2列联表，根据小概率值 = 0.010的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别
有关联
(2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取 6人，然后从这 6人中随机
抽取 3人，记这 3人中女“航天达人”的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
= ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21. (本小题 12.0分)
已知点 ( 1,1)在抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线上，过点 作直线 1与抛物线 交于 ，
两点，斜率为 2的直线 2与抛物线 交于 ， 两点．
(1)求抛物线 的标准方程;
第 5页，共 19页
(2)(ⅰ)求证：直线 过定点;
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为 ，设△ 的面积为 ，且满足 ≤ 5，求直线 1的斜率的取值范围．
22. (本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = sin 1 , ∈ ．
(1)若 = 12，证明：当 ∈ (0 , + ∞)时， ( ) > 0；
(2)讨论函数 ( )在(0 , )上零点个数．
第 6页，共 19页
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为直线 的一个方向向量为 = (1,2)，
所以 = 2，
则直线 的方程为 1 = 2( 1)，即 2 1 = 0．故选： ．
2.【答案】
【解析】∵向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，
∴向量 ， ， 共面，
因此 ， ， ， 四点共面，故选 D．
3.【答案】
【解析】由题意，1轮影响后，国内消费总额为 + ％，
2轮影响后，国内消费总额为 + ％ + ( ％)2， ，
31
30轮影响后，国内消费总额为 + ％ + ( ％)2 + + ( ％)30 = [1 ( ％) ]．
1 ％
故选 D．
4.【答案】
【解析】根据题意，甲不能参加“莲花”场馆的项目，在剩下 3人中选 1人参加“莲花”场馆的
项目，有 3种选择方案，则还剩下“泳镜”、“玉琮”两个场馆，在剩下 3人中选 2人，有 23 = 6
种选择方案，则共计 3 × 6 = 18 种.
5.【答案】
【解析】若点( , )在圆 2 + 2 = 1 内，则 2 + 2 < 1，
|1| 1
∴圆 2 + 2 = 1 的圆心(0,0)到直线 + + 1 = 0 的距离 = = > 12 2 2 2 ， + +
则直线 + + 1 = 0 与圆 2 + 2 = 1 相离；
反之，若直线 + + 1 = 0 与圆 2 + 2 = 1 相离，
则圆 2 + 2 = 1 的圆心(0,0)到直线 + + 1 = 0 的距离 =
|1| = 1 > 1
2 2 2 2 ， + +
即 2 + 2 < 1，点( , )在圆 2 + 2 = 1 内．
第 7页，共 19页
∴“点( , )在圆 2 + 2 = 1 内”是“直线 + + 1 = 0 与圆 2 + 2 = 1 相离”的充分必要条
件．故选： ．
6.【答案】
【解析】由统计学知识可知， 2越大，拟合效果越好．
又 小组的决定系数 2 = 0.4472， 小组相决定系数 2 = 0.9375，
所以 小组拟合效果好，拟合效果越好越能反映该粒子运动轨迹，
其回归方程为 = 0.5006 + 0.4922，
又 = 2， = 2，
则 2 = 0.5006 2 + 0.4922，
2 2
即0.5006 ，故选： ．
0.4922 + 0.4922 = 1
7.【答案】
【解析】∵ ， ， ， 是以 为球心，半径为 1的球面上的四点， + + = 0，
∴ 、 、 、 四点共面，△ 为等边三角形，∠ = ∠ = ∠ = 120°．
当点 和 、 、 中其一重合时得到| | + | | + | |
= 2 12 + 12 2 × 1 × 1 × cos120° = 2 3(极限状态，不能重合)，
当 ⊥平面 时，| | + | | + | | = 3 × 2 = 3 2，
∴ 2 3 < | | + | | + | | ≤ 3 2，∴ 不可能．
故选： ．
8.【答案】
【解析】由题意知 与 的长度不变，已知| | = 2| |，
设 = ，则 = 2 ，
当 滑动到 位置处时， 点在上顶点或下顶点，则短半轴长 = 2 ，
当 在右顶点时， 恰好在 点，则长半轴长 = 3 ，
2 2
故离心率为 9 4 5，故选 D．
= 3 = 3
9.【答案】
第 8页，共 19页

【解析】因为 (0) = sin = 3， < 2，所以 = 3， ( ) = sin( +

3 )在[0,2 ]上有且仅有 42
1 (4 ) ≤ 2
个零点，令 sin( + 3 ) = 0
1
，得 = (
), ∈ 3 , 11 ≤ < 73 ，则 1 解得 ，故
(5

3 ) > 2
6 3
A错； ( )在(0,2 )上有 2或 3个极大值点，故B 对；易知 错；当 = 2 时，函数 ( ) = 2sin(2 + 3 )
5
在区间[ 12 , 12 ]上递增，可知 对，综上选 BD．
10.【答案】
【解析】事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以都发生，故不互斥，A
错误;
3 3 9
“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为4 × 4 = 16，B 正确;
3 3
记表演成功的环节个数为 ，则 ∽ (4, 4 )，期望为 4 × 4 = 3，C 正确;
记事件 :“表演成功的环节恰为 3个”，事件 :“迎新春环节表演成功”，
( ) = 2( 3 3 1 813 4 ) ( 4 ) = 256， ( ) ==
3( 3 )3( 1 ) = 274 4 4 64，
由条件概率公式 ( | ) = ( ) 3 ( ) = 4，D 正确.故选 BCD．
11.【答案】
【解析】对于 ，当 = 1 时，
( ) = + sin ， ′( ) = + cos ，
∴ ′ 0 = 2， 0 = 1，
∴ ( )在(0, (0))处的切线方程为 1 = 2 ，即 2 + 1 = 0，故 A 正确；
对于 ，当 = 1 时，
( ) = + sin ， ∈ ( , + ∞)，
′( ) = + cos ，令 ′ = 0，得 = cos ，
由 = 与 = cos 图象可得存在唯一 0 ∈ (
3
4 ,

2 )，使得 ′ 0 = 0，即
0 = cos 0，
∈ ( 3 且当 4 , 0)， ′ < 0， 单调递减，
当 ∈ ( 0, + ∞)， ′ > 0， 单调递增，
∴ ( )存在唯一极小值点 0，
第 9页，共 19页
且 ( ) = 0 0 +
3
0 = 0 0 = 2 ( 0 4 )， 0 ∈ ( 4 , 2 )，
∴ 1 < ( 0) < 0，故 B 正确；
对于 ， ，令 ( ) = + sin = 0，当 ≠ 0时，
1 = sin 分离参数可得 ，
( ) = sin 设 , ∈ ( , + ∞) =
cos sin
， ′ ，
令 ′ = 0，解得 = +

4， ∈ ，
作出 ( ) = sin , ∈ ( , + ∞)的图象，
= 3
3
当 4时， 取极小值，也是 ∈ ( , + ∞)上的最小值为
2
4 ，
2

当 = 4时， 取极大值，也是 ∈ ( , + ∞)上的最大值为
2 4，2
由图像可知当 时， ( )在( , + ∞)上没有零点，故 C 错误，
当 时， ( )在( , + ∞)上有两个零点，故 D 正确．
综上，正确的是 ．
故选 ABD．
第 10页，共 19页
12.【答案】
【解析】由双曲线的方程可得 2 = 2 + 4
所以双曲线的离心率
2 +4 4 4
= = = + ≥ 2 = 2
当且仅当 = 4 ，即 = 2 时取等号，所以 不正确;
2 2
离心率最小时， = 2，这时双曲线的标准方程为：
2
= 1，此时渐近线方程为6 3 ± = 0，
所以 B 正确;
2 2
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
2 2 = 0
设直线过点( , )，倾斜角为 ，则直线 的方程为 = ( ) = + cos
= ( ) = + sin ，其中参数 为直线上的动点( , )到定点( , )的距离，
将上述 ( )， ( )代入双曲线方程，若整理后得到的关于 的二次方程为 ( 2 + ) = 1，①
那么将 ( )， ( )代入渐近线方程，整理后得到的关于 的二次方程则为 ( 2 + ) = 0，②
+
由①解得 、 对应的 1、 2，及 的中点所对应的参数 1 22 = 2
由②解得 、 + 对应的 、 ，及 的中点所对应的参数 3 4 = 3 4 2 2
可见 的中点与 的中点重合，故 AC= ，故 C 正确；
2
若 = 1，设 ( 0, 0)，则 20 0 ，4 = 1
2 2 2 4
对
2 2 = 1 两边便于 求导可得：
2 2 ′
2 2 = 0，∴ ′ = 2 = ，
∴ = 4 0( 0) 切线方程为 0 ，整理得 0
0
4 = 1，0
∴ 切线方程也可表示为 0 04 = 1，
综合可得过 ( 0, )

0 的切线方程为 0
0
4 = 1，与渐近线 = 2 联立解得：
= 22 ，故 F(
2 4
0 0 2
, 2 )，将其代入渐近线 = 2 中，0 0 0 0
2 4
得 ( 2 0+
, )，
0 2 0+ 0
第 11页，共 19页
1 8 8
= 2 |4 2 2
|
0 0 4 20 20
= 82 2 = 24 ，故选项 D 正确，0 0
故选： ．
13.【答案】32
【解析】(2 + 2)4的展开式的通项为 = 24 4+ +1 4 ( = 0,1, , 4)，
令 4 + = 5，得 = 1，
则 5的系数为 1 34 × 2 = 32．故答案为：32．
14. 3 【答案】 4
【解析】(1)根据题意， ( ) = ，其导数 ′( ) = ，
若 ( ) = ′( )，即 = ，则有 = 1，
又由 ∈ (0, )，则 = 3 4，
( ) (0, ) 3 3 即 在 上的“新驻点”为 4．故答案为： 4．
15. 9【答案】4
【解析】由已知易知{ }是以 1为首项，以 1为公差的等差数列，
∴ = 2，
当 ≥ 2时， = = (2 1 ) (2 1 ) = 2 1，
∵ { }是等比数列
∴ 1 = 1 = 2 也适合 1 = 2 ，即 = 1;
∴ = 2 1( ∈ ).
2
∵对 ∈ ， ≥

恒成立，即 ≥ = 2 1
恒成立．
2 2
∴ ≥ ( )max = ( 1 )max，令 = 2 2 1

由
≥ +1
≥
得 2 + 1 ≤ ≤ 2+ 2，又∵ ∈
1
∴ = 3；
第 12页，共 19页
即( )max = =
9
3 4，
∴ ≥ 9 94．故最小值为4．
16. 5【答案】( 3 , 1)
【解析】函数 ，定义域为 ，关于 = 2对称，
则 = 2 为偶函数， = + 2 ，
> 2时， ，
则 在 ∈ ∞, 2 上递减，在 ∈ 2, + ∞ 上递增，
即 在 ∈ ∞,0 上递减，在 ∈ 0, + ∞ 上递增．
若要求 ( + 1) > (2 )成立的 的取值范围，即求 + 3 > 2 + 2 ，
即等价于 + 3 > 2 + 2 5，可解得 3 < < 1，
即为 53 , 1 ．
17.解：(1)由题意可得
=
1
1+ 1 = 1 + 2 1
1
= 1
1
+ 1 2 1
1 1
1= 1 + 2 (
)
= + 1 ( 2 )，
故 = 1 + 1 2 2 + ;
(2)由条件得| | = 1, | | = 2, | | = 3，
= 0, = 3 , 2
= 3, 1 = + + ，
故 21 = ( + + )
2 2 + + 2 + 2 · + 2 · + 2 ·
= 1+ 4 + 9 + 0 + 3 + 6
= 23．
第 13页，共 19页
18.【解：(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 1 = 1, 3 = 8, = 2 ，可得 1 = 2, 3 = 3，
则 = 1， = 2，
所以 = ， = 2 ， ∈ ；
(2)由(1)知 = 2 = 2
即 是数列 中的第2 项，
设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
因为 5 = 32, 6 = 64，
所以数列 的前 50项是由数列 的前 55项去掉数列 的前 5项后构成的，
所以 = = 1+55 ×55 2× 1 2
5
50 55 5 2 1 2 = 1478．
19.解：(1) △ 中 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ．
在正方形 中， ⊥ ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，即 ⊥ ．
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
平面 ，即 ⊥ ，又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ．
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
即平面 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ，底面 是正方形，
所以易知 ， ， 两两垂直．
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
有 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)， 中点 (1,0,1)，
设 (2, , 0)，0 ≤ ≤ 2.
= (0,2, 2)， = (2,0,0)， = (1,0,1)， = (2, , 0)．
第 14页，共 19页
设平面 的法向量 = ( , , )，由 = 0，
= 0
2 2 = 0
得 2 = 0 ，取 = (0,1,1)．
设平面 的法向量 = ( , , )，
由 = 0 + = 0 ，得 2 + = 0，取 = ( , 2, ). = 0
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
2 2+
|cos < ， > | = | | = | |.
2× 2 2+4 2 2+2
令 + 2 = ， ∈ [2,4]，
则|cos < ， > | = = 1 = 1
2 2 4 +6 2 6 42 +1 1 1 2 2 6 1 3 +3
1 1
所以当 = 3即 = 3 时，平面 与平面 的夹角的余弦值取得最大值
3，
2
此时平面 与平面 的夹角取得最小值6．
20.解：(1)补全 2 × 2列联表如下表：
航天达人非航天达人合计
男 20 6 26
女 10 14 24
合计 30 20 50
零假设 0:假设“航天达人”与性别无关．
2
根据表中的数据计算得到 2 = 50×(20×14 60) 3025 ．30×20×26×24 = 468 ≈ 6.464
查表可知 6.464 < 6.635 = 0.010．
所以根据小概率值 = 0.010的 2独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，因此可以认为 0成
立，因此“航天达人”与性别无关．
(2) 20在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有30 × 6 = 4(人)，女航天达人有 2人．
所有可能取值为：0，1，2．
( = 0) =
3 2
4 = 1 ( = 1) = 4
1
2 = 3
1 2 1
则 ， 4 2
36 5
3
6 5
， ( = 2) =
3
=
6 5
．
第 15页，共 19页
所以 的分布列如下：
0 1 2
1 3 1
5 5 5
的数学期望为 ( ) = 0 × 15+ 1 ×
3 1
5 + 2 × 5 = 1．
21.解：(1) 由题意可知 : 2 = 2 ( > 0)的准线方程为： = 2，
即 1 = 2，所以 = 2．
抛物线 的标准方程为 2 = 4 ．
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，
( )由题意知直线 1不与
1
轴垂直，故直线 1方程可设为： = ( 1) 1，
= 1 ( 1) 1 2 4 4与抛物线方程联立 ，化简得： + + 4 = 0，
2 = 4
1 + 2 =
4
根据根与系数的关系可得：
= 4
，
1 2 + 4
即 1 + 2 = 1 2 4，
= 2 3 4 4 2
= + ，直线 方程为 2 =3 2 3 2+
( 2)，
3
整理得：( 2 + 3) = 4 + 2 3．
= 3 4又因为 1 = + = 2，即 1 + = 2．3 1 3 1 3
将 1 = 2 3代入 1 + 2 = 1 2 4化简可得： 3 + 2 = 3 2 + 6，
故直线 方程可化为( 1) 2 3 + 6 = 4 ．
3
故直线 过定点 ( 2 , 1)．
( )由( )知 与 轴平行，直线 1的斜率一定存在，
= 12 | || 1 2|
5
，| | = 2，
1 +
4
2 =
由( )知
42 = + 4
所以 = 12 | || 1 2| =
5
4 ( 1 + 2)
2 4 1 2 = 5
1
2
1 ，
1
又因为 ≤ 5，
第 16页，共 19页
即 5 1 1
1
2 1 ≤ 5，化简得 ≥ 2或 ≤ 1
又由 > 0，得： 1 5 < < 5 1且 ≠ 0，2 2
即 1 5 < 1或1 ≤ < 5 12 2 2
综上所述， ∈ ( 5+12 , 1] ∪ [
1 , 5 12 2 )
22. 1 1【答案】解：(1)若 = 2 ，则 ( ) =
2 sin 1．
①先证：当 ∈ (0 , + ∞)时， 1 22 1 > 0 ．
1
设 ( ) = 22 1( > 0)，
则 ( )的导函数 ′( ) = 1，
设 ′( ) = ( )，则 ( )的导函数 ′( ) = 1，
因为 ≥ 0，所以 ′( ) = 1 ≥ 0，
所以 ( )在 (0 , + ∞)上单调递增，又 (0) = 0 ，
所以 ( ) ≥ 0，即 ′( ) ≥ 0，
所以 ( )在 (0 , + ∞)上单调递增，
又 (0) = 0，所以当 ∈ (0 , + ∞)时， ( ) > 0，即 12
2 1 > 0 ．
②再证： ∈ (0 , + ∞)时， > sin ．
设 ( ) = sin ．
′( ) = 1 cos ≥ 0，
所以 ( )在 (0 , + ∞)上单调递增，又 (0) = 0 ，
所以当 ∈ 0 , 1 时， ( ) = 0 ，即 > sin ．
由①②得，当 ∈ (0 , + ∞)时， > 1 2 12 + + 1 > 2 sin + + 1 ，
1
所以当 ∈ (0 , + ∞)时， 2 sin 1 > 0 ，即 ( ) > 0 ．
(2) 0 ≤ ≤ 1 1①若 2 ，则2
2 + + 1 ≥ 2 + + 1，
由(1) 1可知，当 ∈ (0 , )时， > 2 22 + + 1 ，所以 > + + 1 ，
又由(1)可知，当 ∈ (0 , )时， > sin ，
第 17页，共 19页
所以 2 + + 1 > sin + + 1 ，
所以 > sin + + 1 ，
所以 ( )在(0 , )上无零点．
②若 < 0 ，
当 ∈ (0 , ) 1时， sin < 0 < 22 ，
1
则 > 22 + + 1 > sin + + 1 ，
故 ( )在 (0 , )上无零点．
③若 > 12，
( )的导函数 ′( ) = (sin + cos ) 1，
设 ( ) = ′( )，则 ( )的导函数 ′( ) = + ( sin 2cos )，
设 ( ) = ′( )，则 ( )的导函数 ′( ) = + (3sin + cos )，
(ⅰ)当 ∈ 0 , 2 时， ′( ) > 0 ， ( )在 0 , 2 上单调递增，

即 ′( )在 0 , 2 上单调递增，

又 ′(0) = 1 2 < 0 ， ′( 2 ) = 2 + 2 > 0 ，

所以 ′( )在 0 , 2 上存在唯一零点，记作 0 ．
当 ∈ 0 , 0 时， ′( ) < 0 ， ( )单调递减，即 ′( )单调递减；
当 ∈ 0 ,

2 时， ′( ) > 0 ， ( )单调递增，即 ′( )单调递增．
(ⅱ)当 ∈ [ 2 , )时，
′( ) = + ( sin 2cos ) > 0 ，
( )单调递增，即 ′( )单调递增．
综合(ⅰ)(ⅱ)，可得当 ∈ 0 , 0 时， ′( )单调递减；
当 ∈ [ 0, )时， ′( )单调递增．
又因为 ′(0) = 1 2 < 0， ′( ) = + 1 > 0 ，
所以存在唯一实数 1 ∈ 0 , ，使得 ′ 1 = 0 ，
当 ∈ 0 , 1 时， ′( ) < 0 ， ( )单调递减；
当 ∈ 1 , 时， ′( ) > 0 ， ( )单调递增．
又因为 (0) = 0 ，所以 ∈ 0 , 1 时， ( ) < 0 ；
第 18页，共 19页
由(1) 1已证 > 22 + + 1 > + 1 ，所以 ( ) =
1 > 0 ，
又 ( 1) < 0 ， ( )在 1 , 上单调递增，所以 ( )在 1 , 上存在唯一零点．
综上，当 ≤ 12 时， ( )在 0 , 上无零点；
当 > 12 时， ( )在 0 , 上存在唯一零点．
第 19页，共 19页