人教版数学九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程第3课时 用一元二次方程解决几何问题 教案

21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 用一元二次方程解决几何问题
教学目标：
1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.
2.通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
教学重点：根据而积与而积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
教学难点：根据而积与而积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
教学过程：
一、复习引入
【问题】
1.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.梯形的面积公式是什么？
4.菱形的面积公式是什么？
5.平行四边形的面积公式是什么？
6.圆的面积公式是什么？
【设计意图】
复习一些简单几何图形的面积公式，为继续学习建立一元二次方程的数学模型并解决几何图形问题作好铺垫．
二、探索新知
探究3 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是
一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面
面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的
宽度？（精确到0.1cm）
【分析】
(1)本题中有哪些数量关系？
(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形” ？
(3)如何利用己知的数量关系选取未知数井列出方程？
(4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
【解答】
依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=， x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【师生活动】
教师提出问题
学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．
在活动中，教师应注意：
（1）学生对几何图形的分析能力；
（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解答一元二次方程的能力；
（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．
【设计意图】
使学生通过多种方法解几何图形问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
三、应用拓展
例.如图，我校为绿化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干宽度相等道路，余下部分种植草坪,草坪的总面积为540平方米.
以下是三种设计方案，求各方案中道路的宽是多少米？ 请你设出未知数，列出方程.
直观展示：多媒体动态展示两种不同的道路移动方法.
探究归纳：通过移动图形来化“分散为整体”、 利用面积公式建立一元二次方程模型是本节课的难点.
练习：如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的
矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3:2，若使余
下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【师生活动】
学生分组讨论，画图，上台演示．
教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．
四、反馈练习
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2.如图，是宽为20米，长为32米的矩形场地，要修建互相垂直的两条道路，纵向道路与横向道路的宽度比为3：2，要使剩余场地的面积为570平方米.
（1）由题意，可设纵向道路宽为：________米，则横向道路宽为：___________米；
（2）可列方程为：___________________________.
3.剪一剪、拼一拼、移一移：
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上下底分别为 100米、180米，高为80米，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各条甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的六分之一，甬道的宽为多少
五、课堂小结
解应用题的步骤是：_____________________________________________
列方程的关键是：_______________________________________________
解决面积问题常用的方法是： ____________________________________
我还收获了：________________________________________________________________
六、作业布置
如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度？