6.2.4向量的数量积 课后强化训练5（含答案）

课后强化训练5 向量的数量积
1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a·b等于(　　)
A．－3 B．－6
C．6 D．2
2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　)
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
4．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　)
A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a＋b)＝λa＋λb
D．|a·b|≤|a||b|
5．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
6．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D.
7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．
8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．
9.如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
11．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
12．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A．－7 B．7 C．25 D．－25
13．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
14．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________________，·＝________________.
15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB上靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
参考答案
1．B　2.C　3.B　4.ACD　5.A　6.B
7.
8.b
解析　设a与b的夹角为θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，
又|b|＝5，
∴|a|cos θ＝，＝，
即a在b上的投影向量为b.
9．解　(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，
则＝，
∴∠DBC为向量与的夹角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量与的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴与的夹角为90°.
10．解　(1)若＝，
则＝＋，
故x＝y＝.
(2)因为||＝4，||＝2，
∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，
所以||＝2.
又因为＝3，
所以||＝.
所以||＝
＝，cos∠OPB＝.
设与的夹角为θ，
所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝||||cos θ＝－3.
11．AB　[对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，
又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．]
12．D　13.A
14．等边三角形　－8
解析　·＝
||||cos∠BAC，
即8＝4×4cos∠BAC，
于是cos∠BAC＝，
因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，
故△ABC是等边三角形．
此时·＝||||cos 120°＝－8.
15．90°
解析　由题意可画出图形，如图所示，
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，
|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，
OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
16．解　(1)由已知可得＝，连接MA，MB(图略)，
四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，
此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，
则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.