建平实高2022-2023学年高一下学期第三次月考（6月）数学
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知复数满足,则的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图,在中,为中点,在线段上,且,则( )
B.
C. D.
4. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知角终边过点,则的值为( )
A. B. C. D.
6. 函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
7. 已知,,,则( )
A. B. C. D.
8. 在中,角,,的对边分别为,,,已知,的面积为,且,则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列结论正确的是( )
A. 是第三象限角
B. 若,则
C. 若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为
D. 终边经过点的角的集合是
10. 若,则( )
A. B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立 D. 事件与不一定相互独立
11. 已知函数,对于下列说法正确的有( )
A. 要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位长度即可
B. 在内的单调递减区间为
C. 的图象关于直线对称
D. 为奇函数
12. 已知三个内角,,的对边分别是,,,则下列说法正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则为钝角三角形
C. 若为锐角三角形,则 D. 若,则为锐角三角形
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知函数,且,则__________.
14. 已知向量,,则在上的投影的数量__________.
15. 均为锐角,,,则__________.
16. 已知函数,.给出下列三个结论:
①是偶函数； ②的值域是； ③在区间上是减函数.
其中,所有正确结论的序号是__________.
解答题
17. 在平面直角坐标系中,角以为始边,终边经过点.
(1)求的值;
(2)求的值.
18. 已知的内角,,所对的边分别为,,,且,.
(1)若,求的值;
(2)若的面积为,求,的值.
19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生,按其数学成绩(均为整数)分成六组,,…,后得到如下部分频率分布直方图,观察图中的信息,回答下列问题:
(1)补全频率分布直方图;
(2)估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为的样本,再从这个样本中任取人成绩,求至多有人成绩在分数段内的概率.
20. 已知向量,.
(1)若向量与垂直,求的值;
(2)若向量与的夹角为锐角,求的取值范围.
21. 已知函数,其中,,.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)在中,角,,所对的边分别为,,,,,且向量与向量共线,求的面积.
22. 的内角,,的对边分别为,,.已知.
(1)求;
(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.建平实高2022-2023学年高一下学期第三次月考（6月）
数学答案和解析
第1题：
【答案】A
【解析】由虚部定义可知:的虚部为.
故选:A.
第2题：
【答案】C
【解析】由已知,两边平方得,
可得,即,即.
第3题：
【答案】B
【解析】∵为的中点,则,
∵,所以,
∴,故选:B.
第4题：
【答案】A
【解析】因为可得:
当时,,充分性成立;
当时,,必要性不成立;
所以当,是的充分不必要条件.故选:A.
第5题：
【答案】A
【解析】由题意得,点到原点的距离,
所以根据三角函数的定义可知,,
所以.
故选:A.
第6题：
【答案】A
【解析】由题意得:,故故,解得:.
第7题：
【答案】A
【解析】由题意得,,所以,
又,所以.故选:A.
第8题：
【答案】D
【解析】由已知可得:,解得:,
又,由正弦定理可得:,
由余弦定理:
,
解得:,
∴.
故选:D.
第9题：
【答案】B,C,D
【解析】,是第二象限角,故A错误;
若,则,故B正确;
圆心角为的扇形的弧长为,扇形的半径为,面积为,故C正确;
终边经过点,该终边为第一象限的角平分线,即角的集合是,故D正确;
故选:BCD
第10题：
【答案】B,C
【解析】因为,所以与能同时发生,不是互斥事件,故B正确;
,所以,故A不正确;
又,故成立,
故事件与相互独立,故C正确,D错误
故选:BC.
第11题：
【答案】C,D
【解析】对于A,将的图象向左平移个单位可得函数,故A不正确;
对于B,令,可得,,取时,减区间为,时,减区间为,
∴在内的单调递减区间为,,故B不正确;
对于C,当时,,恰好是函数的最大值,∴的图象关于直线对称,故C正确;
对于D,,
∴为奇函数,故D正确.
第12题：
【答案】A,B,C
【解析】对于A:由大角对大边及正弦定理可知:,故A正确;对于B:因为,所以,所以为钝角,所以为钝角三角形,故B正确;对于C:因为为锐角三角形,所以,所以,故C正确;
对于D:因为,
由正弦定理得:,设,
由余弦定理变形式得:,
所以为钝角,故D错误.故选:ABC.
第13题：
【答案】
【解析】由题知,所以,
从而.
故答案为:.
第14题：
【答案】
【解析】因为向量,,
所以,
则在上的投影的数量是.
第15题：
【答案】
【解析】因为均为锐角,所以,,
所以,所以,因为,
所以,因为,所以,
因为,
所以或(舍),所以,所以,
所以,
可得
,
故答案为:.
第16题：
【答案】①③
【解析】因为,所以是偶函数,故①正确,当时,,
当时,,又因为,所以的值域是,故②错误;当时,,此时,
所以在区间上是减函数,故③正确,故答案为:①③.
第17题：
【答案】见解析
【解析】(1)角以为始边,终边经过点,
所以,所以.
(2)角以为始边,终边经过点
所以
所以
第18题：
【答案】见解析
【解析】(1)因为,所以.
因为,,所以.
(2)因为,所以,
所以.
第19题：
【答案】见解析.
【解析】(1)分数在内的频率,因此补充的长方形的高为.
(2)估计平均分为:
.
(3)由题意,分数段的人数与分数段的人数之比为,
用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为的样本,
需在分数段内抽取人成绩,分别记为,;
在分数段内抽取人成绩,分别记为,,,;
设“从个样本中任取人成绩,至多有人成绩在分数段内”为事件,
则基本事件共有,共个.
事件包含的基本事件有,共个.
∴.
第20题：
【答案】见解析;
【解析】(1)依题意得:,,向量与垂直,,解得:.
(2)由(1),,向量与的夹角为锐角,且.且.
第21题：
【答案】见解析.
【解析】(1)
,
令,解得,
∴函数的单调递减区间为.
(2)∵,∴,即,
∴,∴,
又∵,∴,
∵,∴由余弦定理得①
∵向量与共线,
∴,由正弦定理得②
由①②得,,∴.
第22题：
【答案】见解析
【解析】(1)由题设及正弦定理得,
因为,所以,
由,可得,故,
因为,故,因此.
(2)由题设及(1)知的面积,
由正弦定理得,
由于为锐角三角形,故,,
由(1)知,所以,故,从而,
因此,面积的取值范围是.
