2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一下6月第二次考试数学试题（PDF版含解析）

临沂市河东区 2022-2023 学年高一下 6 月第三次考试
数学试题
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
2 20231. 若复数 = ，则复数 在复平面内对应的点在( )1+
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知 为第二象限角，sin( + 6 ) =
1
7，则 =( )
A. 5 3 B. 3 3 C. 1314 D.
11
14 14 14
3. 在平面直角坐标系中，向量 = (1,4)， = (2,3)， = ( , 1)，若 ， ， 三点共线，
则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 要得到函数 = 3 (2 + 5 )的图象，只需( )
A. 将函数 = 3 ( + 5 )图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍(纵坐标不变)
B. 将函数 = 3 ( + 10 )
1
图象上所有点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)
C. 将函数 = 3 2 图象上所有点向左平移5个单位
D. 将函数 = 3 2 图象上所有点向左平移10个单位
5. 在△ 中， = ， = .若点 满足 = 2 ，则 =( )
A. 2 + 1 B. 53 3 3
2 3 C.
2
3
13 D.
1 + 23 3
6. 如图为函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )的图象，则函数 ( )的图象与直线 =
3
2
10
在区间[0, 3 ]上交点的个数为( )
A. 9个
B. 8个
C. 7个
D. 5个
7. 设非零向量 , 满足| | = 4, | | = 2, | + | = 3，则 在 上的投影向量为( )
A. 11 B. 118 4 C.
11 11
4 D. 8
8. 已知△ 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 .若 + 2 = ，2 =
3 ，则△ 的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设有下面四个命题，其中的假命题为( )
A. 1若复数 满足 ∈ ，则 ∈
B. 若复数 满足 2 ∈ ，则 ∈
C. 若复数 1， 2满足 1 2 ∈ ，则 1 = 2
D. 若复数 ∈ ，则 ∈
10. 若函数 ( ) = 2 ( ) 1( > 0)的最小正周期为 ，则( )
A. ( 8 ) = 0 B. ( )在[

4 ,

2 ]上单调递减
C. ( ) = 2 [0, 5 在 2 ]内有 5个零点 D. ( ) [
, 在 4 4 ]上的值域为[ 1, 2]
11. 有下列说法，其中错误的说法为( )
A. 若 // ， // ，则 //
B. 若 = = ，则 是三角形 的垂心
C. 两个非零向量 ， ，若| | = | | + | |，则 与 共线且反向
D. 若 // ，则存在唯一实数 使得 =
12. 如图，在四边形 中，∠ = 60°， = 3， = 6，
且 = ( ∈ )， = 3，则( )
A. = 9
B. 1实数 的值为3
C. = 15
D. 若 ， 是线段 上的动点，且| | = 1，则 13的最小值为 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 已知复数 的虚部为 1，且 2 3为纯虚数，则| | = ______ ．
14. 80° 140° + 100° 140° = ______ ．
15. 如图，边长为 2的菱形 的对角线相交于点 ，点 在线
段 上运动，若 = 3，则 的最小值为______ ．
16. 如图，在海岸 处，发现北偏东 45°方向，距离 为( 3 1) 的 处有一艘走私船，
在 处北偏西 75°方向，距离 为 2 的 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 / 的速度追截
走私船，此时，走私船正以 10 / 的速度从 处向北偏东 30°方向逃窜.则缉私艇沿北偏东
______ 方向行驶才能最快追上走私船，需要的时间是______ .
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)
在复平面内，复数 = 2 6+ ( 2 2 3) ，其中 ∈ ．
(1)若复数 为纯虚数，求 的值；
(2)若复数 对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
18. (本小题 12分)
已知平面向量 ， ， 满足，| | = 1，| | = 2， = + ( ∈ )．
(1)若向量 ， 的夹角为3，且 ⊥ ，求 的值；
(2)若| |的最小值为 3，求向量 ， 的夹角大小．
19. (本小题 12分)
已知向量 = ( , ), = ( , ), = (2,1), // ， = 5．5
2
(1) sin +2 2 求 的值；
1+tan
(2)若 ， 均为锐角，求 tan( )的值．
20. (本小题 12分)
2
在① + 3 = 2 ，② ( + ) = 3 ，③2 + = 这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知_____．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点， = 7， = 2，求△ 的面积．
21. (本小题 12分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面
积依次为 1，
5
2， 3，已知 1 + 2 3 = 3, = ．5
(1)求△ 的面积；
(2)若 = 5，求 ．3
22. (本小题 12分)
已知 = ( , )， = ( , 3 )，其中 > 0，函数 ( ) = ( 3 )的2
最小正周期为
(1)求函数 ( )的单调递增区间：
(2)在锐角△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足 ( 3，求 的取值范2 ) = 2
围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解： 2023 = ( 4)505 3 = ，
= 2
2023
= 2+ = (2+ )(1 ) 3 1故 1+ 1+ (1+ )(1 ) = 2 2 ，
所以复数 3 1在复平面内对应的点( 2 , 2 )在第四象限．故选： ．
2.【答案】
【解析】解：因为 为第二象限角，
2
所以 3 + 2 < +
< 7 6 6 + 2 ， ∈ ，
因为 sin( + 6 ) =
1
7，
所以 cos( + ) = 4 3，6 7
则 = cos( + ) = 3 cos( + ) + 1 sin( + ) = 3 × 4 3 + 1 × 1 = 11．故选： ．6 6 2 6 2 6 2 7 2 7 14
3.【答案】
【解析】解：向量 = (1,4)， = (2,3)， = ( , 1)，若 ， ， 三点共线，
则 // ．
∵ = = (1, 1)， = = ( 1, 3)，
∴ 1 = 31 1，∴ = 4．故选： ．
4.【答案】
【解析】解：将 = 3 ( + 5 )的图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍(纵坐标不变)，得到函
数 = 3 ( 12 +

5 )，故 A 错误；
将 = 3 ( + 110 )的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 =
3 (2 + 10 )，故 B 错误；将函数 = 3 2

的图象上所有点向左平移5个单位，得到函数 =

3 (2 + 2 5 )，故 C 错误；将函数 = 3 2 的图象上所有点向左平移10个单位，得到函数 =
3 (2 + 5 )，故 D 正确；故选： ．
5.【答案】
【解析】解：∵由 = 2( )，

∴ 3 = + 2 = + 2 ，
∴ = 13 +
2
3
．故选： ．
6.【答案】
【解析】解：由题图得 = 4( 5 12 6 ) = ，所以 = 2
5 5
，因为 ( 12 ) = sin( 6 + ) = 1，
5
所以 + = 2 + ， ∈ ， = 2

6 2 3， ∈ ，

因为| | < 2，所以 =

3，所以 ( ) = sin(2

3 )，
∈ [0, 10 ] 2 ∈ [ , 19 3 ， 3 3 3 ]，令 sin(2
) = 3，3 2
2 3 = 2 +

3或 2 3 = 2 +
2
3， ∈
10
，由于 ∈ [0, 3 ]，
= 4 7 10 3 5 则 3， 3， 3， 3 ，2， 2， 2，有 7个值，
故 ( )的图象与直线 = 3在此区间上有 7个交点．故选： ．2
7.【答案】
【解析】因为| | = 4, | | = 2, | + | = 3，
11
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 9，解得 = 2，
所以
11
在 上的投影向量为| = |2 8 ．故选： ．
8.【答案】
+
【解析】因为 2 = ，
所以 ( 2

2 ) =

2 = ，

由正弦定理得sin = sin = 2 ，
所以 = 2 ， = 2 ，

所以 2 = ，

因为 ≠ 0，所以 cos 2 = = 2 2 cos 2，
因为 ∈ (0, ) ，所以2 ∈ (0,

2 )，所以 cos

2 ≠ 0，

所以 sin = 1 = 2 2，所以2 6，所以 = 3，
又 2 = 3 1，所以 2 × 2 = 3 ，
所以 = sin cos = 3，
因为 ∈ (0, ) = ，所以 3，
所以 = = 3，
所以△ 的形状是正三角形．故选： ．
9.【答案】
【解析】对于 ，设 = + ， ， ∈ ，
1 = + ( + )( ) = 2+ 2 2+ 2 ∈ ，
故 = 0，即 = ∈ ，故 A 正确；
对于 ，令 = ，满足 2 ∈ ，但 ，故 B 错误；
对于 ，不妨设 1 = ， 2 = 2 ，满足 1 2 ∈

，但 1 ≠ 2，故 C 错误；
对于 ，设 = + ， ， ∈ ，
∈ ，
= 0 则 ， = = ∈ ，故 D 正确．故选： ．
10.【答案】
【解析】 ( ) = 2 ( ) 1 = 2 2 1 = 2 +
2 2 = 2sin(2 + 4 ) 2，
2
由最小正周期为 ，可得 = = 1，故 ( ) = 2sin(2 +2 4 ) 2，
对于 ， ( 8 ) = 2sin(

4 + 4 ) 2 = 2，故 A 错误；
对于 ，当 ∈ [ 4 , 2 ]，2 +
∈ [ 3 , 5 4 4 4 ] [
, 3 2 2 ]，此时 ( )单调递减，故 B 正确；
对于 ， ( ) = 2sin(2 + 4 ) 2 = 2 sin(2 +

4 ) = 0，
所以 2 + 4 = =
+ , ∈ [0, 5 8 2 当 2 ]时，
3 , 7 , 11 , 15 , 19 满足要求的有 8 8 8 8 8 ，共有 5个零点，C 正确；
∈ [ , ] 对于 ，当 4 4 时，2 + 4 ∈ [
, 3 4 4 ]，则 sin(2 +

4 ) ∈ [
2
2 , 1]，
故 ( ) ∈ [ 3, 2 2]，所以 D 错误．
故选： ．
11.【答案】
【解析】对于 ：若 // ， // ，( ≠ 0)，则 // ，故 A 错误；
对于 ： = = ，整理得 = 0，故 ( ) = =
0，
同理 = 0， = 0，故点 为△ 的垂心，故 B 正确；
对于 ：两个非零向量 ， ，若| | = | | + | |，则 与 共线且反向，故 C 正确；
对于 ：若 // ( ≠ 0)则存在唯一实数 使得 = ，故 D 错误．
故选： ．
直接利用向量的线性运算，向量的数量积，向量的共线的充要条件，三角不等式的应用判断 、 、
、 的结论．
12.【答案】
【解析】四边形 中，∠ = 60°， = 3， = 6，
所以 = 3 × 6 × cos(180° 60°) = 9，选项A错误；
因为 = ( ∈ )，所以 // ，所以< ， >=
120°，
又因为 = 3，所以| | × 3 × 120° = 3，解得
| | = 2，且 、 1同向，所以 = 3，选项 B 正确；
= ( + + ) =
2
+ + = 2 × 6 9 + 62 = 15，选项C正确；
建立平面直角坐标系，如图所示：
则 (0,0)， ( 3 , 3 32 2 )， (
7
2 ,
3 3
2 )，
设 ( , 0)，则 ( + 1,0)， ∈ [0,5]，所以 = ( 7 , 3 3 )， = ( 52 2 2 ,
3 3
2 )，
所以 = ( 72 )(
5
2 ) +
27
4 =
2 6 + 312，
所以 = 3 时， 13取得最小值为 2，选项 D 正确．
故选： ．
13.【答案】 5
【解析】由题意可设 = + ( ∈ )，
则 2 3 = ( + )2 3 = 2 1 + 2 3 = 2 4+ 2 为纯虚数，
则
2 4 = 0，解得 =± 2，
2 ≠ 0
故| | = 12 + 2 = 5．故答案为： 5．
14. 1【答案】2
【解析】解： 80° 140° + 100° 140°
= 10° 50° + 10° 50° = 60° = 1 12．故答案为：2．
15. 3【答案】 4
【解析】建立如图所示的坐标系，设 ( , 0)， ( , )，( > 0, > 0)
∴ = ( , ), = (0, )，∴ = 2 = 3，∴ = 3，
∵ | | = 2，∴ 2 + 2 = 4，∴ = 1，∴ ( 1,0)， (0, 3)，
设 (0, )， 3 ≤ ≤ 0，∴ = (1, )， = (0, + 3)，
∴ = ( + 3) = 2 + 3 = ( + 3 )2 3，2 4
∴当 = 3时， 3取得最小值2 4．
3
故答案为： 4．
16.【答案】60° 6
10
【解析】在△ 中，∠ = 45° + 75° = 120°，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ∠
= ( 3 1)2 + 22 2 × ( 3 1) × 2 × ( 12 ) = 6，
所以， = 6，

在△ 中，由正弦定理，得sin∠ = 120 ，
sin∠ = 120° = 3 1 6 2所以， ， 2 2 = 4
又∵ 0° < ∠ < 60°，∴ ∠ = 15°，∴ ∠ = 45°，
设综私船用 在 处追上走私船，
则有 = 10 3 , = 10 ，
又∠ = 90° + 30° = 120°，
在△ 中，由正弦定理，得
sin∠ = sin∠ =
10 120° 1
10 3 = 2，
∴ ∠ = 30°，
又因为∠ = 15°，
所以 180° (∠ + ∠ + 75°) = 180° (30° + 15° + 75°) = 60°，
即缉私艇沿北偏东 60°方向能最快追上走私船；
在△ 中，∴ ∠ = 30°，∠ = 90° + 30° = 120°，
∴ ∠ = 30°，∴ = = 6，
则 = 6，即缉私艇最快追上走私船所需时间 6 ．10 10
故答案为：60° 6； ．10
17.解：(1) ∵复数 为纯虚数，
∴
2 6 = 0 ，∴ = 2．
2 2 3 ≠ 0
(2) ∵复数 对应的点在第二象限，
2
∴ 6 < 02 ，∴ 2 < < 1， 2 3 > 0
∴实数 的取值范围为( 2, 1)．
18.解：(1)依题意， ( + ) = 0，
2
所以 + = 0，
则 | || |cos + | |23 = 0，
又| | = 1, | | = 2，
则 = 4；
(2)设 ， 夹角为 ，
2
则| |2 = 2 2 + 2 + = 2 + 4 + 4，
可知当 = 2 时，| |2有最小值 4 4 2 ，
所以 4 4 2 = 3，
解得 =± 12，
又 ∈ [0, ]，
= = 2 所以 3或 3．
19.解：(1)因为 = ( , )， = (2,1)，
且 // 1，所以 = 2 ， = 2，
sin2 +2 2 = 2
2 sin2 2 tan2 14
所以 1+tan (cos2 +sin2 )(1+tan ) = (1+tan2 )(1+tan ) = 15；
(2)因为 = ( , )， = ( , )， = 5，5
所以 = cos( + ) = 5，5
= 1 2 = 2 4因为 2， 为锐角，所以 1 tan2 = 3，
因为 ， 均为锐角，
所以 0 < + < ，又 cos( + ) = 5，5
所以 sin( + ) = 2 5，tan( + ) = 2，5
4 2
所以 tan( ) = tan[2 ( + )] = 2 tan ( + ) 31+ 2 ( + ) = 4 =
2
1+ ×2 11
．
3
20.解：(1)若选① + 3 = 2 ，
由正弦定理可得 + 3 = 2 ，
因为 > 0，所以 + 3 = 2，
即1
2 +
3
2 = sin( +

6 ) = 1，
因为 0 < < ，所以 < + < 7 ，所以 + 6 =

6 6 6 2，则
= 3；
若选② ( + ) = 3 ，则 = 3 ，
由正弦定理可得 = 3 ，又 > 0，
所以 = 3 ，即 = 3，
因为 0 < < ，则 = 3；
若选③2 + = 2 ，则 2 + = 2 ，
由正弦定理可得 2 + = 2 ，
即 2 + = 2 ( + )，
所以 2 + = 2 + 2 ，
所以 = 2 ，又 > 0，所以 = 12，
因为 0 < < ，则 = 3；
(2)因为 为 的中点，所以 = 1 ( + 2 )，因为 = 7，
2所以 = 1 (
2 2
4 +
)2 = 1 ，4 ( + 2 + )
1
即 7 = 4 (4 + 2 × 2 ×
1
2+
2)，解得 = 4 或 = 6(舍去)，
所以 1△ = 2 =
1
2 × 4 × 2 ×
3 ．
2 = 2 3
21.解：(1)由题意得 = 1 2 3 3 2， 3 2， 3 21 ，2 2 = 4 2 = 4 3 = 4
则 1 + =
3 2 + 3 22 3 4 4
3
4
2 = 3，即 2 2 + 2 = 4，
2 2 2
由余弦定理得 = + ，2
整理得 = 2，则 > 0，
又 = 5，5
则 = 1 ( 5 )2 = 2 5，5 5
2
所以 = = 5，
则 1△ = 2 =
1
2；
(2) 由正弦定理得 = = ，
2 5
所以sin2 = = = = 35 ，
3

则 = 3

或 = 3(舍去)，
所以 = 3 = 15．5
22.解：(1)因为 = ( , )， = ( , 3 )，
所以函数 ( ) = ( 32 )
= 32
2
= + 3cos2 3 (sin2 + cos22 )
= 12 2 +
3
2 (1 + 2 )
3
2
= 12 2 +
3
2 2
= sin(2 + 3 )，
2
因为 ( )的最小正周期为 = 2 = ，所以 = 1；

所以 ( ) = sin(2 + 3 ).
令 2 2 ≤ 2 +

3 ≤ 2 +

2， ∈ ，
5 解得 12 ≤ ≤ +

12， ∈ ，
5
所以函数 ( )的单调递增区间为[ 12 , + 12 ]， ∈ ．
(2)在锐角△ 中， ( 2 ) = sin( +

3 ) =
3，
2
∈ (0, 因为 2 )，所以 +
∈ ( 5 3 3 , 6 )，所以 +

3 =
2
3，解得
= 3，
所以 = = 3 ， 2
0 < < 0 < < 2 2 因为 ，所以 ，解得
0 < < 0 < < 6
< < 2，
2 2
所以 ∈ ( 12 , 1)，所以
3 3 ，
2 ∈ ( 2 , 3)

即 的取值范围是(
3
2 , 3).