河南省名校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

河南省名校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，且，则实数( )
A．-1 B．0 C．1 D．任意实数
2．设复数z的共轭复数满足，则等于( )
A．1 B． C． D．
3．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为( )
A． B． C． D．
4．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为( )
A． B． C．1 D．
5．某校有高一学生n名，其中男生与女生的人数之比为．为了解学生的视力情况，现要求按分层随机抽样的方法抽取一个样本量为的样本．若样本中男生比女生多12人，则( )
A．990 B．1320 C．1430 D．1560
6．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情祝，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A．①用简单随机抽样法，②用分层随机抽样法
B．①用简单随机抽样法，②用简单随机抽样法
C．①用分层随机抽样法，②用简单随机抽样法
D．①用分层随机抽样法，②用分层随机抽样法
7．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行．若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A． B． C． D．
8．一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立．若旅行团选择两个景点都去的概率是，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．对于，有如下判断，其中正确的判断是( )．
A．若，则为等腰三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
10．已知复数z满足，则( )
A．
B．
C．z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
11．已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
12．2019年4月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式，“3”即语文、数学、外语为必考科目，“1”即为首选科目，考生必须在物理、历史中二选一，“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二．高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求，如图，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划，“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划，“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理、历史类别下安排招生计划，根据图中数据分析，下列说法正确的是( )
A．选物理的考生可报大学专业占47．53%
B．选历史的考生大学录取率为2．83%
C．选物理或历史的考生均可报的大学专业占49．64%
D．选历史的考生可报大学专业占52．47%
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF，拼成一个大的正六边形GHMNPQ，若，则__________．
14．若复数z满足（i是虚数单位），则__________．
15．如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________．
16．某中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在平面内给定三个向量．
(1)求满足的实数m，n的值；
(2)若向量满足，且，求向量的坐标．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，是正三角形，，E是PA的中点．
(1)证明：．
(2)求三棱锥的体积．
19．（12分）如图1，在梯形中，，点E在线段上， ，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2．
(I)在线段上是否存在一点Q，使平面平面 若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由;
(Ⅱ)当平面平面时，求三棱锥的体积．
20．（12分）为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A．1．5小时以上；B．1~1．5小时；C．0．5~1小时；D．0．5小时以下．图（1），（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次一共调查了多少名学生．
（2）在图（1）中将B对应的部分补充完整．
（3）若该校有3000名学生，请估计全校约有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0．5小时以下？
21．（12分）小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0．8，0．7，0．9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
22．（12分）某校社团活动开展得有声有色，深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入，极大地推动了学生的全面发展．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社团，现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加心理社团的概率；
(2)求从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．
参考答案
1．答案：B
解析：．由，得，解得．故选B．
2．答案：B
解析：，，．故选B．
3．答案：C
解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以．又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的体积．故选C．
4．答案：C
解析：设等边三角形ABC的边长为a，因为其面积为，所以，解得．故的外接圆半径．设球O的半径为R，因为球O的表面积为，所以，得．所以O到平面ABC的距离．故选C．
5．答案：B
解析：样本中男生比女生多12人，，解得．故选B．
6．答案：C
解析：对于①，社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，要从中抽一个样本量是100的样本应该用分层随机抽样法；对于②，由于样本量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法．故选C．
7．答案：A
解析：由题意，样本点空间为．所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率．
8．答案：A
解析：用事件A表示“旅行团选择去百花村”，事件B表示“旅行团选择去云洞岩”，A，B相互独立，则，．设，，则解得或（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是．故选A．
9．答案：ABD
解析：对于A，若，则，整理得，故为等腰三角形，故A正确；对于B，若为锐角三角形，则，整理得，故，则，故B正确；对于C，由于，，，利用余弦定理求出，故唯一，故C错误；对于D，，利用正弦定理得，故，故，故是钝角三角形，故D正确．故选ABD．
10．答案：ABD
解析：由题意得，则，故A正确;，，故B正确;z的虚部为-1，故C错误;复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确．故选ABD．
11．答案：ABD
解析：A中，直线m和平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；B中，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；C中，，则直线或，又，所以，故C正确；D中，缺少条件，故D不正确，故选ABD．
12．答案：CD
解析：A项，由饼状图知选物理的考生可报大学专业占，故A项错误；
B项，图中数据表示可报专业占比，不是大学录取率，故B项错误；
C项，选物理或历史的考生均可报的大学专业占，故C项正确；
D项，选历史的考生可报大学专业占，故D项正确．
13．答案：1
解析：在正六边形ABCDEF中，，则，
所以
因为六边形GHMNPQ是正六边形，
所以，且G，F，E，P四点共线．
又，所以，
所以．
故答案为：1．
14．答案：
解析：因为，
所以．
故答案为：．
15．答案：
解析：因为三棱柱的所有棱 长均为1，所以底面为正三角形，所以，
又因为底面，
所以三棱柱的体积为，
因为三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高，
所以，由此可得三棱锥的体积．
16．答案：
解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为．
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由已知条件以及，可得．
解得．
(2)设向量．
，
解得或
向量的坐标为或．
18．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以平面PCD，则．
(2)由(1)知，平面平面ABCD，
且平面平面，
因为是正三角形，取CD中点O，
连接PO，
则平面ABCD，因为，所以，
因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离．
所以．
19．答案：(I)存在
(Ⅱ)
解析：(I)当Q是的中点时，平面平面，证明如下:
如图，连接．
依题意得，且，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面平面，所以平面．
因为分别为的中点，
所以．
因为平面平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
(Ⅱ)依题意由
得为边长为2的等边三角形．
取的中点M，连接，
因为，
所以由余弦定理得．
在中，因为，
所以．
因为平面平面，平面平面平面，所以平面．
因为F为的中点，
所以F到平面的距离，
所以．
20．答案：（1）本次一共调查了200名学生
（2）见解析
（3）150名
解析：（1）从题图可知，选A的共60人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为（人），即本次一共调查了200名学生．
（2）被调查的学生中，选B的有（人），补充完整的条形统计图如图所示．
（3）（人），估计全校约有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0．5时以下．
21．答案：(1)概率为0．398．
(2)概率为0．994．
解析：(1)用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则，
所以．
由题意得A，B，C之间互相独立，
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为．
22．答案：(1)概率
(2)概率
解析：(1)由题知，该班60名同学中共有6名同学参加心理社团，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社团的概率．
(2)设A，B，C，D表示参加心理社团的男同学，a，b表示参加心理社团的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
，
其中至少有1名女同学的结果有9种：，
根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．