绝密★启用前
深圳市聚龙科学中学 2022-2023 学年度第二学期第二次中段考试卷
高一数学
考试时间：120 分钟；满分 150 分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
M x | x 3 N x | x2 6x 8 0
1.已知集合 ， ，则M N ( ).
A． B． x | 0 x 3 C． x |1 x 3 D． x | 2 x 3
2.如果复数 z 满足 z 1 i 2 i ,则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.如图所示, ABC 的直观图是边长为 2的等边 A B C ,则在原图中,BC 边上的高为( ).
A．2 6 B． 6 C．2 3 D． 3
sin 1 4.若 , ,0
，则 tan ( ).2 2
1 3 3
A． B． C． 3 D．
2 2 3
5.已知 A,B,C 表示不同的点， l表示直线， , 表示不同的平面，则下列推理中错误的是( ).
A． A l, A ,B l,B l B． A , A ,B ,B AB
C． l , A l A D． A , A l , l l A
6.若 a、b R，且 ab 0，则下列不等式恒成立的是( ).
2 2 b a 1 ab 1A. a b a b B． a b 2 ab C． D． 2a b ab
7.如图，在矩形 ABCD中，AB 3,BC 4,E 为 AD 上一点，BE AC，若 BA BE AC ，则 的值
为( ).
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
1 7 16
A． B． C． D．1
5 25 25
lnx , x 08.已知函数 f x 2 ，若 g x f x a有 4 个零点，则实数a的取值范围是( ).
x 2x, x 0
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 1,
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分
选对得 2 分，有选错得 0 分）
9.在 ABC 中，内角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，若 a 1,b 3, A 30 ，则 B ( ).
A．30 B．150 C．60 D．120
π
10.已知三角函数 f (x) 2sin(2x )，以下对该函数的说法正确的是( ).
3
A．该函数周期为 π
π π
B．该函数在 ( , )上单调递增
6 6
π π
C． x 为其一条对称轴 D．将该函数向右平移 个单位得到一个奇函数
6 6
11.已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 1)为偶函数，若 f (1) 2，则( ).
A. f (3) 2 B. f (x 2) f (x) C. f (5) 2 D. f (x 4) f (x)
12.正三棱柱 ABC-A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为 AA1的中点，M，N分别是线段 BB1和线段 CC1上的动点
(含端点)，且满足 BM=C1N，当 M，N 运动时，下列结论正确的是( ).
A．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段 B．平面 DMN⊥平面 BCC1B1
C．三棱锥 A-DMN 的体积为定值 D．△DMN 可能为直角三角形
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
ln1
13.计算: log2 16 e ________.
14.已知 a 2 , b 1, a与b 的夹角为135 ,则 a 2b __________.
1 28
15.如图,一个球被切掉左上角的 ,该几何体的体积是 ,则它的半径为________.
8 3
16.若对任意 x , y R都有 f x y f x f y ,且 f 1 2 ,则
f 2 f 4 f 6 f 2010 f 2012 f 2014
f 1 f 3 f 5 f 2009 f 2011 f 2013 的值是________.
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题 10 分)已知 当 为何值时，
(1)若 与a b共线,求 的值.
(2)若 与a b垂直,求 的值.
18.(本小题 12 分)已知函数
(1)求 的最小正周期．
(2)若 在区间 上的最小值为 2，求 在该区间上的最大值．
19.(本小题 12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c .
已知 ， ABC 的面积为 .
(1)求 A； (2)若b c 2，求 ABC 的周长．
20.(本小题 12 分)如图，四边形 是矩形，AD 2， ，AB 平面 ， ， ．点
F为线段BE的中点．
(1)求证： ⊥平面 ABE ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求 和平面 ABE所成角的正弦值．
试卷第 3页，共 4页
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21.(本小题 12 分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收益 f x (单
位：万元)与投资额 x (单位：万元)成正比，其关系如图 1；投资股票类产品的年收益 g x (单位：万元)
与投资额 x (单位：万元)的算术平方根成正比，其关系如图 2.
(1)分别写出两种产品的年收益 f x 和 g x 的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年
收益是多少万元
1 a
22.(本小题 12 分)已知定义在 上的奇函数 f x ，当 时, f x x ．4 3x
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若 x m 1 2, 1 ,使得不等式 f x x 成立，求实数m 的取值范围．2 3x 1
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
参考答案：
1．D
【详解】试题分析：由 ，得 ， ，
故答案为 D.
2．A
z 2 i (2 i)(1 i) 3 i 3 1【详解】因 z 1 i 2 i，则 i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 ，
3 1
于是得在复平面内，复数 z对应点的坐标为 ( , )，
2 2
所以 z 在复平面内对应的点在第一象限.
3．A
【详解】在直观图中，
h
因为边长为 2的等边 A B C ，所以 B C 上的高 h 3，O A 6，sin 45
在原图中， BC 上的高 AO 2 6 .
4．D
1
【详解】因为 sin(π＋α)＝－sinα，所以由已知得 sinα＝－ 2 ，
3
又α∈ ，0 ，所以 cosα>0，所以 cosα＝ 1 sin2 ＝ ，
2 2
sin 1 3
所以 tanα＝ ＝－ ＝－ ，
cos 3 3
3
所以 tan(π－α)＝－tanα＝ .
3
5．C
【详解】对于 A， A l, A ,B l,B 表示 A,B既在直线 l上，也在平面 内，故 l ，
故 A正确.
对于 B， A , A ,B ,B 表示 A,B既在平面 内，也在平面 内，
故 AB ，故 B 正确.
对于 C， l 表示 l / / 或 l, 有一个交点，若该交点为A，则 A ，故 C 错误.
对于 D， A , A l 表示 , l 有一个公共点，而 l 表示 l / / 或 l, 有一个交点，
答案第 1页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
故 l I A，故 D 正确.
6．C
1 2 2 1
【详解】对于 A 选项，取 a b ， a b ， a b 1，不等式 2 2 不成立；
2 2 a b a b
对于 B 选项，由于 ab 0，若 a 、b同为负数，则不等式 a b 2 ab 不成立；
a b b a b a
对于 C 选项， ab 0，则 0且 0，由基本不等式可得 2 2 1，当且仅当 a b 时，等
b a a b a b
b a
号成立，则不等式 1恒成立；
a b
对于 D 选项， ab 0
1 1
，由基本不等式得 ab 2 ab 2，当且仅当ab 1时，等号成立，则不等式
ab ab
ab 1 2不恒成立.
ab
7．D
【详解】
建立如图示坐标系，由 AB 3,BC 4,则有：B 0,0 ,C 4,0 , A 0,3 ,D 4,3 ,
因为 E 为 AD 上一点，可设 E x,3 ,
所以 BA= 0,3 ,BE= x,3 , AC= 4, 3 .
9 9
因为 BE AC ，所以 BE AC=0，即 4x 9 0，解得： x ，所以 E ,34 4
.
由 BA BE AC 得：
9 16
4 =0
=
25
4 ，解得： ，所以 =1.
3 3 =3 =
9
25
8．A
【详解】解：令 g x f x a 0，得 f x a，
在同一坐标系中作出 y f x , y a 的图象，如图所示：
答案第 2页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
由图象知：若 g x f x a有 4 个零点，
则实数 a的取值范围是 0,1 ，
9．CD
a b
【详解】由正弦定理 ，
sinA sinB
3 1
得 sin B bsinA 3 2 ，
a 1 2
又b a ，0 B 180 ，所以 B 60 或120 ．
10．AD
π
【详解】 f (x) 2sin(2x ) 中， 2，周期T 2 3 ，A正确；2
f ( ) 2sin(2 π) 2 π π ( π , π因 ，而 ，原函数在 )上不单调，B错误；
12 12 3 6 12 6 6 6
f ( 又 ) 2sin[2 (
) π ] 0 π， x 不是 f (x)的对称轴，C 错误；
6 6 3 6
π
把 f (x)向右平移 个单位得 y 2sin[2 (x ) π ] 2sin 2x ，所得函数是奇函数，D 正确；
6 6 3
11．AD
【详解】因为 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 1)为偶函数，
故可得 f x f x , f x 1 f x 1 ，
则 f x 4 f x 2 f x 2 f x f x ，故 D选项正确；
由上述推导可知 f x f x 2 f x 2 ，故 B 错误；
又因为 f 3 f 1 f 1 2，故A选项正确.
又因为 f 5 f 1 2 2，故C错误.
答案第 3页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
12．ABC
【详解】
对于 A，由直线与平面平行的定义得，在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段，故 A 正确；
对于 B，若满足 BM C1N ，则线段 MN 必过正方形 BCC1B1的中心O，而 DO 平面 BCC1B1，所以，平面
DMN⊥平面 BCC1B1 。故 B正确
对于 C，当M ,N 分别在 BB1,CC1上运动时， A1DM 的面积不变， N 到平面 A1DM 的距离不变，所以，棱
锥 N A1DM 的体积不变，即三棱锥 A-DMN 的体积为定值，C 正确；
对于 D，如图，当M ,N 分别在BB1,CC1上运动时，D 项，若△DMN 为直角三角形，则必是以 MDN 为直角
的直角三角形，但MN 的最大值为 BC1，而此时 DM ，DN 的长大于 BB1，所以，△DMN 不可能为直角三角
形，故 D错误；
故选：ABC
13．5
【详解】 log216 e
ln1 4 1 5 .
14． 2
【详解】由题意可知， a 2， b 1， a与b 的夹角为 135°，
2
所以 a b a b cos a ,b 2 1 cos135 2 1 .
2
a
所以 2b a 2
2
4 a b 4b2 2 4 1 4 12 2.
15．2
4 3 7 28
【详解】设球的半径为 R ，则 R ，解得 R 2 .
3 8 3
16．2014
f (x 1) f (x 1)
【分析】令 y 1，得 2f (x) ，利用赋值法进行求解．利用
2
f (x) ，即可
答案第 4页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
f 2 f 4 f 6 f 2010 f 2012 f 2014
f 1 f 3 f 5 f 2009 f 2011 f 2013 的值．
【详解】 对任意的 x ， y R都有 f (x y) f (x) f (y)，且 f (1) 2，
令 y 1，则 f (x 1) f (x) f (1) 2 f (x)
f (x 1)
， 2f (x) ，
f (2) f (4) f (6) f (2012) f (2014)
2 2 2 2 1007 2014
f (1) f (3) f (5) f (2011) f (2013) ．
故答案为：2014.
17．解：（1）因为 ，
所以 ，
，
由 与 共线，则 ，所以 .
（2）因为 ， ，
因为 与 的夹角为 ，所以 ，得到 ，所以 .
18．解：（1）由已知得 ，
最小正周期为 ；
（2）当 时， ，
的最小值为
，
在该区间上的最大值为 ,
当 ，即 时可以取到.
19．解：（1）由正弦定理得， ．
，
由 可得 ，
又 ， ．
答案第 5页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
（2）由题意可得 ， ．
又 ，
由余弦定理得 ，
．
的周长为 ．
20．解：（1）因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又由 ，而 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ；
（2）连接 交 于 M，连接 ，由点 F为线段 的中点，
可得 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（3）由（1）知， 平面 ， 即为 和平面 所成的角．
由已知， ， ，
在直角三角形 中，可得 ，
即 和平面 所成角的正弦值为 ．
21．解：（1）依题意可设 f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2 (x≥0).
∵f(1)=k1= ，g(1)=k2= ，
∴f(x)= x(x≥0)，g(x)= (x≥0).
（2）设投资债券类产品 x 万元，股票类产品(20-x)万元，年收益为 y 万元，
则由题意得 y=f(x)+g(20 x)= (0≤x≤20)，
令 t= ，则 x=20 t2， [0,2 ]，
答案第 6页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
∴y= = (t 2)2+3， [0,2 ]，
∴当 t=2，即 x=16 时，ymax=3.
∴投资债券类产品 16 万元，股票类产品 4 万元时可获得最大年收益，且最大年收益为 3 万元.
22．解：（1）∵ 是定义在 上的奇函数，且 时， ，
∴ ，解得 ，
∴ 时， ，
当 时， ，则 ，
即 在 上的解析式为 ．
∴函数 的解析式为
（2）∵ 时， ，
∴ 在 有解，
整理得 ，
令 ，显然 与 在 上单调递减，
∴ 在 上单调递减，则 ，
∴
∴实数 的取值范围是 ．
答案第 7页，共 7页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}绝密★启用前
深圳市聚龙科学中学 2022-2023 学年度第二学期第二次中段考试卷
高一数学
考试时间：120 分钟；满分 150 分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
M x | x 3 N x | x2 6x 8 0
1.已知集合 ， ，则M N ( ).
A． B． x | 0 x 3 C． x |1 x 3 D． x | 2 x 3
2.如果复数 z 满足 z 1 i 2 i ,则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.如图所示, ABC 的直观图是边长为 2的等边 A B C ,则在原图中,BC 边上的高为( ).
A．2 6 B． 6 C．2 3 D． 3
sin 1 4.若 , ,0
，则 tan ( ).2 2
1 3 3
A． B． C． 3 D．
2 2 3
5.已知 A,B,C 表示不同的点， l表示直线， , 表示不同的平面，则下列推理中错误的是( ).
A． A l, A ,B l,B l B． A , A ,B ,B AB
C． l , A l A D． A , A l , l l A
6.若 a、b R，且 ab 0，则下列不等式恒成立的是( ).
2 2 b a 1 ab 1A. a b a b B． a b 2 ab C． D． 2a b ab
7.如图，在矩形 ABCD中，AB 3,BC 4,E 为 AD 上一点，BE AC，若 BA BE AC ，则 的值
为( ).
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
1 7 16
A． B． C． D．1
5 25 25
lnx , x 08.已知函数 f x 2 ，若 g x f x a有 4 个零点，则实数a的取值范围是( ).
x 2x, x 0
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 1,
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分
选对得 2 分，有选错得 0 分）
9.在 ABC 中，内角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，若 a 1,b 3, A 30 ，则 B ( ).
A．30 B．150 C．60 D．120
π
10.已知三角函数 f (x) 2sin(2x )，以下对该函数的说法正确的是( ).
3
A．该函数周期为 π
π π
B．该函数在 ( , )上单调递增
6 6
π π
C． x 为其一条对称轴 D．将该函数向右平移 个单位得到一个奇函数
6 6
11.已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 1)为偶函数，若 f (1) 2，则( ).
A. f (3) 2 B. f (x 2) f (x) C. f (5) 2 D. f (x 4) f (x)
12.正三棱柱 ABC-A1B1C1的各条棱的长度均相等，D为 AA1的中点，M，N分别是线段 BB1和线段 CC1上的动点
(含端点)，且满足 BM=C1N，当 M，N 运动时，下列结论正确的是( ).
A．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段 B．平面 DMN⊥平面 BCC1B1
C．三棱锥 A-DMN 的体积为定值 D．△DMN 可能为直角三角形
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
ln1
13.计算: log2 16 e ________.
14.已知 a 2 , b 1, a与b 的夹角为135 ,则 a 2b __________.
1 28
15.如图,一个球被切掉左上角的 ,该几何体的体积是 ,则它的半径为________.
8 3
16.若对任意 x , y R都有 f x y f x f y ,且 f 1 2 ,则
f 2 f 4 f 6 f 2010 f 2012 f 2014
f 1 f 3 f 5 f 2009 f 2011 f 2013 的值是________.
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题 10 分)已知 当 为何值时，
(1)若 与a b共线,求 的值.
(2)若 与a b垂直,求 的值.
18.(本小题 12 分)已知函数
(1)求 的最小正周期．
(2)若 在区间 上的最小值为 2，求 在该区间上的最大值．
19.(本小题 12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c .
已知 ， ABC 的面积为 .
(1)求 A； (2)若b c 2，求 ABC 的周长．
20.(本小题 12 分)如图，四边形 是矩形，AD 2， ，AB 平面 ， ， ．点
F为线段BE的中点．
(1)求证： ⊥平面 ABE ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求 和平面 ABE所成角的正弦值．
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABJYSUogggAhBAAQACAwUCCAGQkgAACAgGgEAUsEABiQFABAA=}#}
21.(本小题 12 分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收益 f x (单
位：万元)与投资额 x (单位：万元)成正比，其关系如图 1；投资股票类产品的年收益 g x (单位：万元)
与投资额 x (单位：万元)的算术平方根成正比，其关系如图 2.
(1)分别写出两种产品的年收益 f x 和 g x 的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年
收益是多少万元
1 a
22.(本小题 12 分)已知定义在 上的奇函数 f x ，当 时, f x x ．4 3x
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若 x m 1 2, 1 ,使得不等式 f x x 成立，求实数m 的取值范围．2 3x 1
试卷第 4页，共 4页
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