上海市普陀区晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

2022～2023学年晋元中学高二（下）期末考试数学试卷
2023.06
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）
1.过点且平行于直线的直线方程为______.
2.若，则______.
3.一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为______.
4.现从4名男生和3名女生中抽取两人加入志愿者服务队，用A表示事件“抽到的两名学生性别同”，B表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则______.
5.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______.
6.受新冠肺炎的影响，日日新转型生产口罩，如表为某小型工厂2～5月份生产的口罩数（单位：万）
x 2 3 4 5
y 2.2 3.8 5.5 m
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为______.
7.已知椭圆的右焦点为F，直线l经过椭圆的右焦点F，交椭圆C于P，Q两点（点P在第二象限）.若点Q关于x轴的对称点为，且满足，则直线l的方程是______.
8.“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为______.
9.设是圆与圆在第一象限的交点，则的值为______.
10.若、，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.
11.已知抛物线，圆，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是______.
12.已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为______.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13.在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（ ）
A.样本数据由正相关变成负相关 B.样本的相关系数不变
C.样本的相关性变弱 D.样本的相关系数变大
14.在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为，，则满足（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
15.如图所示是函数的大致图像，则等于（ ）
A. B. C. D.
16.已知，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点P为双曲线右支上一点，I为的内心，若成立，则实数（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，
（1）求和；
（2）若集合，且，求实数P的取值范围.
18.已知直线，.
（1）若，求实数a的值；
（2）当时，求直线与之间的距离.
19.对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示.
组别
频数 25 150 200 250 225 100 50
（1）已知此次问卷调查的得分Z～，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求；
（附：若X～，则，，
，）
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为.
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为X元，求X的分布及期望.
20.已知圆过点记椭圆的左顶点为M，右焦点为F.
（1）若椭圆C的离心率，求b的范围；
（2）已知，过点F作直线与椭圆分别交于E，G两点（异于左右顶点）连接ME，MG，试判定EM与EG是否可能垂直，请说明理由；
（3）已知，设直线l的方程为，它与C相交于A，B.若直线AF与C的另一个交点为D.
证明：.
21.已知函数
（1）若时，取得极值，求实数a的值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数a的取值范围.
2022～2023学年晋元中学高二（下）期末考试数学试卷答案
2023.06
一、填空题
1.
【答案】
【解析】由直线的斜率为，结合题意，知：所求直线为，即.
2.
【答案】3
【解析】，又，故
3.
【答案】
【解析】从4个球中随机摸出2个球共有种摸法，摸出的2个球中至少有1个是红球的摸法有种，所以摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为.
4.
【答案】
【解行】由题意知，，，所以.
5.
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为：，
∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
∴圆的方程为：.
6.
【答案】7.1
【解析】，故，故，故，
7.
【答案】
【解析】如图所示：椭圆的右焦点为，
由点Q关于x轴的对称点为，且满足，
所以，则，，
所以直线l的方程是，
即.
8.
【答案】
【解析】4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
9.
【答案】2
【解析】两圆方程相减，得公共弦方程为，
故点可看成公共弦方程和圆在第一象限的交点，
当时，直线趋向于，即，，
10.
【答案】
【解析】因为为等边三角形，可知 ，
A为双曲线上一点，∴，
B为双曲线上一点，则，即，
∴，由，则，已知，
在中应用余弦定理得：，
得，，则，即.
11.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当P，Q，三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，
整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.
12.
【答案】
【解析】∵，∴， ，
设，，则点P在曲线上，Q在直线上，
设曲线上切线斜率为1的切点为，
，时，，递增，时，，递减，，
直线在曲线上方，由，即，
记，显然在上是增函数，而，∴是的唯一解.
，，点到直线的距离为，
∴的最小值为.
二、单选题
13.
【答案】D
【解析】由题意，去掉离群点后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A、B、C错误，
D正确，故选：D
14.
【答案】C
【解析】由题，设，因为，
因为直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角的补角为，
所以本，化简可得，故选：C
15.
【答案】C
【解析】由函数图像可得函数的零点为0，1，2，
故，故，
由图像可得，为函数的极值点，故为的两个根，
故，故选：C
16.
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，解得，因为，所以
设内切圆半径为r，因为I为的内心，成立（S表示面积），
所以，
所以，
因为点P为双曲线右支上一点，所以，
所以，
所以，所以，
故选：C
三、解答题
17.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】（1）对于集合A：由解得，，
对于集合B：由题意知，解得，
所以，，；
（2），
因为，所以，解得，，
所以，实数p的取值范围为：.
18.
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）∵，，且，
∴，解得.
（2）∵，，且，
∴且，解得，
∴，，
即，
∴直线，间的距离为.
19.
【答案】（1）0.8186； （2）分布见解析，期望为
【解析】（1）根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：
，
又由，，
所以.
（2）解：根据题，可得所得话费X可能的值有20，40，60，80元，
其中；；
；，
所以随机变量X的分布为：
所以期望为.
20.
【答案】（1）； （2）垂直，理由见解析； （3）见解析
【解析】（1）∵在椭圆上，，
可得，
∵，∴，∴；
（2）∵且椭圆过，∴，，因此椭圆方程为，
由题意得，，假设，设，
则，，由，得，
即①
又点E在椭圆上，∴②
①②联立消去，得，
则（为左顶点不符合题意舍），，
所以EM与EG垂直.
（3）设，，
由（2）知椭圆方程为，与直线l的方程联立消去y，
并整理得，
可得，
又点A在直线上，∴，∴，
∴
又直线AD的方程为与椭圆方程为，联立消去y，
，整理得，
所以于是可得，即，
从而B，D两点关于x轴对称，因此.
21.
【答案】（1）； （2）； （3）
【解析】（1）∵，又时，取得极值，
∴，解得，
∴
当时，，当，，
∴在时取得极小值，故符合.
（2）当时，对恒成立，在上单调递增，
∴，
当时，由解得，
若，则，在上单调递减
若，则，在上单调递增.
∴在时取得极小值，也是最小值，即，
综上所述，
（3）∵任意，直线都不是曲线的切线，
∴对恒成立，即的最小值大于，
而的最小值为，
∴，故.