四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（理）试题（PDF版含答案）

德阳五中高 2021 级高二下期6 月月考
数学试卷（理）
（总分 150分 答题时间 120分钟）
1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1至 12题，第
Ⅱ卷 13——22题，共 150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案
涂写在答题卷上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷（选择题，共 60分）
一.选择题：(每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案
填涂在答题卡上)
1. 若集合M x log2 x 4 ,N x 2x 1 ，则M N （ ）
x x A． 0 8 B． x 1 x 8 C． x 2 x 16 D． x 1 x 16
2 2
2. 已知复数 z满足 1 i z 1 i，其中 i为虚数单位，则 z的虚部为（ ）
A. 0 B. 1 C. 1 D. i
f x 2sin x 5π sin x π3. 函数 图象的对称轴可以是（ ）
6 3
x 5π π π 2πA. 直线 B. 直线 x C. 直线 x D. 直线 x 12 3 6 3
3
4. 在 1 2 x x 的展开式中， x的系数为（ ）
x
A. 12 B. 12 C. 6 D. 6
5. 如图所示，已知两个线性相关变量 x,y的统计数据如下：
x 6 8 10 12
y 6 5 3 2
其线性回归方程为 y a x 10.3，则 a （ ）．
A. 0.7 B. 0.7 C. 0.5 D. 2
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3x y 1 0,
x, y 16. 若实数 满足约束条件 2x y 0, 则 z x y的最小值为（ ）
2
x 2 0,
1 1 3 5
A. B. C. D.
4 2 2 2
7. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为 4，则 p的取值范围是（ ）
7 p 15 p 15 3 p 7 7 15A. B. C. D. p
8 16 16 4 8 8 16
8. 已知命题 p： x R， x2 x a 0，则“ a ,0 ”是“ p是真命
题”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
y 1 x m 1 y ln x n 2 1 19. 已知m 0， n 0，直线 与曲线 相切，则 的最小值是
e m n
（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
10. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意
识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg / cm3，排放前每过滤一次，该污染物的
含量都会减少 20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg / cm3，若要使该工
厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为 ( 参考数据： lg 2 0.3， lg3 0.477)
（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
11. a 3(2 ln 3) 2 ,b
1
,c e ，则 a,b,c的大小顺序为（ ）
e e 2e
A . a c b B. c12.已知直线 l : 3x 3y m 0与圆C1 : (x )
2 y2 2 ( 0)相切于点 E，直线 l与双曲线
2 2
C x y2： 2 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别相交于 A,B两点，且E为 AB的中点，则双曲线Ca b 2
的离心率为（ ）
A.2 B. 2 C . 3 D. 6
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第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）
二.填空题：共 4小题，每小题 5分，共 20分.将答案填在答题卡上.
13.抛掷一粒骰子，设 “得到的点数是奇数”为事件 A， “得到的点数是 3 点 ”为事件 B ，则
P B A = .
14．若抛物线C : x2 2 py( p 0)上的点 P到焦点的距离为 8，到 x轴的距离为 6，则抛物线C的标准
方程是_________.
15. 若三角形 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 a 2 3，b 2，其面积 S ABC 3，
则边 c =________．
16. 关于函数 f (x) (x2 ax 1)e x，有以下四个结论：
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为 1；②函数的极值点不可能是 1；
③函数必有最小值. ④对于 a R， f (x)在 R上是增函数.
其中正确结论的序号是 .
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题
17. 已知等比数列 an 的各项均为正数，且a2 a3 a4 39， a5 2a4 3a3 .
（1）求 an 的通项公式；
（2）数列 bn 满足bn n an，求 bn 的前 n项和Tn .
18. 中国共产党第二十次全国代表大会于 2022年 10月 16日至 22日在北京人民大会堂顺利召开．某
部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、
乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中
每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记 0分；一单
位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记 1分，没有全部答对的单位记－1 分，
2 3
设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为 ，乙单位全部答对的概率为 ，甲、乙两单位答题相互独
3 5
立，且每轮比赛互不影响．
（1）经过 1轮比赛，设甲单位的记分为 X，求 X的分布列和期望；
（2）若比赛采取 3轮制，试计算第 3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．
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19．如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的侧棱 AA1⊥底面 ABCD，四边形 ABCD
为菱形，E，F分别为 CC1，AA1的中点.
（1）证明：B，E，D1，F四点共面；
（2）若 AB AA1, DAB
π
,求直线 AE与平面 BED1F所成角的正弦值.3
20. 已知点 A 2,0 ,B 2,0 1，动点M x, y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 .记动点M 的
4
轨迹为曲线C .
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）设P,Q为曲线C上的两动点，直线 AP的斜率为 kAP ，直线 BQ的斜率为 kBQ，且 kAP 7kBQ .
①求证：直线 PQ恒过一定点；
②设△PQB的面积为 S，求 S的最大值.
21. 若函数 f x a ln x 1 x2 a 1 x 0 有两个零点 x1, x2 ，且 x1 x2．2 2
（1）求 a的取值范围；
（2）若 f x 在 x1,0 和 x2 ,0 处的切线交于点 x3 , y3 ，求证： 2x3 x1 x2．
（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记
分．

22. 2在直角坐标系 xOy中，曲线C 的方程为 x21 y 1 1．P为曲线C1上一动点，且OQ 2OP，
点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
2 2
2
（ ）曲线C3的极坐标方程为 ，点M 为曲线C1 sin 2 3
上一动点，求 MQ 的最大值．

23. *
3 1
设不等式 x 1 a a N 的解集为 A，且 A， A .2 2
（1）求 a的值；
（2）若m、 n、 s为正实数，且m n 2s a，求m2 n2 s2 的最小值.
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数学（理）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A D A C C A D A B B
1 x2 8y 2 7
13、 14、 15、 2或 16、①②③3
17．解：（1）
a2 a3 a4 39
∵ ，
a5 2a4 3a3
a1 q q2 q3 39 a1 1
∴ ， q 0 n 1，解得 ，∴a 3 ；
a q
4
1 2a1q
3 3a1q
2 n q 3
（2）由题可知bn n 3
n 1
，∴Tn 1 2 n 1 3
1 3n 1，
n 1 n 1 3n 3nT n
2 n 1
∴ n .2 1 3 2
18.解（1）由题意 X的取值可能为－1，0，1，则
P X 1 1 2 3 1 ，
3 5 5
P X 0 1 2 3 2 3 8

1

，
3 5 3 5 15
P X 1 2 3 4
3
1
5 15
那么 X的分布列为：
X －1 0 1
1 8 4
P
5 15 15
E X 1 8 4 1 1 0 1
5 15 15 15
（2）第 3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的 3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；
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－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．
1 3 1 2 2 2 8 1 4 8 1 103
所以 P 2 2 2 C3 C3 C3 ．
5 5 15 5 15 15 5 375
19解（Ⅰ）取D1D的中点为 G，连接 AG，GE，由 E，G分别为CC1，DD1
的中点，
∴EG∥DC∥AB，且 EG DC AB，
∴四边形 ABEG为平行四边形，………………（3分）
故 AG//BE .又 F是 AA1的中点，即 FD1 //AG，
∴ FD1 //BE，………………（5 分）
故 B，F，D1，E四点共面.………………（6 分）
（Ⅱ）连接 AC、BD交于点 O，取上底面 A1B1C1D1的中心为O1，

以O为原点，OA、OB、OO1 分别为 x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，
………………………………………………（7 分）
设 AB 2，则 A（ 3，0，0），B（0，1，0）， E 3,0,1 ，F（ 3，0，1），

∴ AE ( 2 3,0,1),BF ( 3, 1,1),BE ( 3, 1,1),
设面 BFD

1的一个法向量为m x, y, z ，

m BF 0 3x y z 0
则 ，即 ，取m 0,1,1 ，……………（9分）
m BE 0 3x y z 0

|m AE | 26
设直线 AE与平面 BED1F所成角为θ，故 sin m AE 26 ，……………（11 分）
∴直线 AE与平面 BED F 261 所成角的正弦值为 .…………（12 分）
26
y y 1
20.（1）由题意，得 x 2 ，
x 2 x 2 4
x2
化简得 y2 1 x 2 ，
4
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所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆，不含左 右顶点.
（2）如图，
①证明：设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 .
因为若直线 PQ的斜率为 0，则点P,Q关于 y轴对称，必有 kAP kBQ ，不合题意，
所以直线 PQ的斜率必不为 0.
设直线 PQ的方程为 x ty n n 2 .
x2 4y2 4, 2 2
由 得 t 4 y 2tny n2 4 0，
x ty n,
y y 2tn 1 2 2 ,
所以Δ 4t2n2 4 t2 4 n2 4 0 t 4，且
y y n
2 4
.
1 2 t 2 4
因为点 P x1, y1 是曲线C上一点，
1
所以由题意可知 kAP kBP ，4
k 1所以 AP 7k4k BQ，即
28kBP kBQ 1.
BP
因为
28k k 28y 1y2 28y1yBP BQ 2 x1 2 x2 2 ty1 n 2 ty2 n 2
28y
1
y2
t 2 y1y2 t n 2 y1 y 22 (n 2)
28 n2 4
t
2 4
t 2 n2 4 2t 2n n 2 2
t 2
(n 2)
4 t 2 4
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28 n 2 28 n 2 7n 14
1,
t 2 n 2 2t 2n n 2 t 2 4 4 n 2 n 2
3
所以 n ，此时Δ 16 t2 4 n2 4 4t2 7 0，
2
3
故直线 PQ恒过 x轴上一定点 ,0 .
2
3t 7
②由①可得， y1 y2 t 2
, y
4 1
y2 4 t 2 4 ，
所以 S
1
y1 y
3 7
2 2
y1 y2 2 2 4
7 7 4t 2 y 2 7 1 y2 4y4 1y2 2 t 2 4
2
7 4 t 4 9 7 4 9 7 9 1 2
2
4 7 2 7 2 2 ,2 t 2 4 2 t 4 t 2 4 2 2 t 2 4 9 9 2 3 3
1 2 t2 1当且仅当 2 即 时等号成立，t 4 9 2
7
所以S的最大值为 .
3
21．解：（1）
f x a x x
2 a

x x
当 a 0， f x 0， f x 在 0, 上单调递减，不可能两个零点；
当 a 0时，令 f x 0得 x a
x 0, a ， f (x)> 0， f x 单调递增， x a , ， f x 0， f x 单调递减，
g(x) ln x 1 (1 ) ln x 1 1(x 0)，
x x
g (x) 1 1 x 1 ，
x x2 x2
x (0,1)时， g (x) 0， g x 单调递减， x 1, ， g x 0， g x 单调递增，
所以 g(x) g(1) 0 1，即 x 0时， ln x 1 恒成立，当且仅当 x 1时取等号，
x
1 1
所以 1 1 e a e a eln a a，
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而 f x a ln x 1 x2 1 a a ln x a 1，
2 2
1 1
所以 f (e a ) a( 1 1 ) a 1 0； f a f 1 a 0；
a
f 1 2 a a ln(1 2 a ) 1 (1 1 1 1 2 a )2 a (1 2 a )2 a 2 a a 02 2 2 2
∴ x 0, a 有唯一零点且 x a , 有唯一零点，满足题意，
综上： a 0, ；
（2）曲线 y f x 在 x1,0 和 x2 ,0 处的切线分别是
a l1 : y x1 x x1 ， l
a
2 : y x2 x x
x
2
1 x2
x x1 x3 2 x1 x2 a
联立两条切线得 a 1 1，∴
x x x
，
3 x1x2
1 2

a ln x
1
1 x
2 1 1 2 2
2 1
a 0
2 x1 x2
由题意得 a 2 ，
a ln x 1 x 2 a 1 0 ln x1 ln x2 2 2 2 2
1 x1 x2
x x a
要证 2x3 x1 x
1 2
2，即证 2，即证 1
2 x x
x x x ，即证
2 1
x 1
，
3 1 2 ln 1
x2
t x 1令 1 1 ln t ，即证 t
1

x 0 t 1 ，2 2 t
1 1 t 1 2
令 h t ln t t 2 t ， h t 0，∴ h t 在 0,1 单调递减， 2t 2
∴ h t h 1 0，
ln t 1 1 ∴
2
t 0 t 1 得证．综上： 2x3 x1 x2 2 a 1 ．
t
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x cos
22．解：（1）由题意可知，将 代入 x2 y 1 2 1得 2sin ，
y sin
则曲线C1的极坐标方程为 2sin ，
设点 P的极坐标为 0 , 0 ，则 0 2sin 0，
2 1
点Q的极坐标为 , ，由OQ 2OP 0得 0，即 2 ，


0 0


1
0
将 2 代入 0 2sin 0得 4sin ，
0
所以点Q轨迹曲线C2的极坐标方程为 4sin ；
x2
（2）曲线C 23直角坐标方程为 y 1，设点M 2cos ,sin ，
2
曲线C2的直角坐标方程为 x2 y 2 2 4，则圆心为N 0,2 ，
MQ MN 2
max max ，
即 MN 22cos sin 2 2 sin 2 4sin 6
当 sin 1时， MN 3 ，所以 MQ 3 2 5max max .
3 1 1 1 a 3 1 3 523：（1）因为 A， A，所以， ，即 a ，
2 2 2 2 2 2
因为 a N ，则 a 2 .
（2）由（1）可知，m n 2s 2,m,n, s 0，
2 2 2
由柯西不等式可得 m n s 2 1
2 12 2
2
m n 2s 4，
s
当且仅当m n m n 1时，即当 ， s 2 时，等号成立，2 2 2
2m n 2s所以，m2 n2 s2 1，当且仅当m n
s
1时，即当m n ，
4 2 2
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s 2 时，等号成立，
2
m2因此， n
2 s2 的最小值为1.
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