四川省自贡市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

自贡市名校2022-2023学年高一下学期期中考试
数学考试题
一.单项选择题((本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.sin 210°+cos(-60°)等于(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
2.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(　)
A．正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形
3.若z=,则|z|等于(　　)
A. B. C. D.
4.如果向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为(　　)
A.30° B. 135° C.75° D. 45°
5.在△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C所对的边,若c·cos A=b,则△ABC(　　)
A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形
C.一定是直角三角形 D.能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
6.已知复数z=(b∈R)的实部为-1,则复数-b在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,
a=b=2,则△ABC的周长为(　)
A.7.5 B.5 C.6 D.7
8.将函数f(x)=sin(2x+)的图象分别向左、向右平移(>0)个单位长度后,所得的图象都关于y轴对称,则的最小值分别为(　　)
A., B., C., D.,
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.给出的下列函数值中符号为负的是(　 　)
A.cos C.tan 2 D.sin 5
10.下列结果为零向量的是( 　)
A.-(+) B.-+-
C.-+ D.++-
11.△ABC中,下列说法不正确的是(　　)
A.asin A=bsin B B.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形
C.若A>B,则sin A>sin B D.若sin B+sin C=sin2A,则b+c=a2
12.设ω>0,函数f(x)=-sin ωx+cos ωx在区间(0,]上有零点,则ω的值可以是(　 　)
A. B. C. D.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是　　　　　　弧度,扇形面积是　　　　　　.
14.设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数=　　　　.
15.当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是　　　　,最大值是　　　　.(第一空2分,第二空3分)
16.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:
①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°,其中真命题的序号为　　　　.(写出所有真命题的序号)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (1)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).若(3a-b)∥(a+kb),求k的值;
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
18.已知=2,求下列各式的值.
(1);
(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.
19.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
20. (1)在△ABC中,A=30°,C=45°,a=2,求S△ABC;
(2)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,求边AB的长度.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2sin2x+2sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图
所示.
(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标;
(2)先把f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移 1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若当x∈[-,]时, 关于x的方程g(x)+2a-1=0有实数根,求实数a的取值范围.
答案：
一单选
1A 2C 3A 4D 5C 6C 7 B 8A
二．多选
9.ACD 10.BCD 11.ABD 12.BCD
三．填空题
13.(π-2)　2π-4 14. ±3
15. 　2 16.
四．解答题
17.解:(1)法一　3a-b=(0,-10),
a+kb=(1+3k,-2+4k),
因为(3a-b)∥(a+kb),
所以0-(-10-30k)=0,
所以k=-.
法二　因为(3a-b)∥(a+kb),
所以=,得k=-.
(2)因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
因为2×6-3×4=0,
所以∥,所以与共线.
又=,所以与的方向相同.
18.解:由=2,得tan α=2.
(1)===-1.
(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α
=
=
=
==1.
19.解:(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20(海里),∠BCA=α.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC
=122+202-2×12×20×cos 120°=784.
解得BC=28(海里),
所以渔船甲的速度为=14(海里/小时).
(2)法一　在△ABC中,AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得=.
即sin α===.
法二　在△ABC中,
因为AB=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α,
由余弦定理,得cos α=,
即cos α==.
所以sin α===.
20.解:(1)法一　因为A=30°,C=45°,
所以B=105°,
由正弦定理得=,
b===4sin 105°
=4(sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°)
=+,
S△ABC=absin C=×2×(+)×
=1+.
法二　设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理知==4=2R,所以R=2.
又A=30°,C=45°,所以B=105°,
所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1.
(2)法一　由S△ABC=AC·BCsin C=,
得AC=2,
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·
cos 60°=22+22-2×2×2×=4,
所以AB=2,即边AB的长度等于2.
法二　由S△ABC=AC·BC·sin C=,
得AC=2,
所以AC=BC=2,又C=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以AB=2,
即边AB的长度等于2.
21.解:(1)f(x)=2sin2x+sin 2x=×2+sin 2x=sin 2x-
cos 2x+=2sin(2x-)+,
所以f(x)的最小正周期为=π.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x-)+,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
当k=0时,f(x)的单调递增区间为[-,].
当k=1时,f(x)的单调递增区间为[,].
所以f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].
22.解:(1)由题意可得
可得所以f(x)=2sin(ωx+)-1.
因为=-=,
所以T=π=,可得ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+)-1,
由2×+=+2kπ(k∈Z),
可得=+2kπ(k∈Z),
因为||<,所以=,
所以f(x)=2sin(2x+)-1.
令2x+=kπ(k∈Z),
可得x=-(k∈Z),所以对称中心为(-,-1)(k∈Z).
(2)由题意可得g(x)=2sin[2(x+)+]-1+1=2sin(2x+),
当x∈[-,]时,2x+∈[,π],
sin(2x+)∈[0,1],g(x)∈[0,2].
若关于x的方程g(x)+2a-1=0有实数根,
即1-2a=g(x)有实根,
所以0≤1-2a≤2,
可得-≤a≤.
所以实数a的取值范围为[-,].