第1讲 一元二次方程及其解法（直接开平方法与因式分解法）
1. 一元二次方程得定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
3. 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。
题型一、一元二次方程的定义
【例1-1】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①；②；③； ④； ⑤；⑥．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【例1-2】当______时，关于的方程是一元二次方程．
【变式1-1】若关于的方程是一元二次方程，则m应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______．
题型二、一元二次方程的一般式
【例2-1】方程的一般形式（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，-2，4 B．3，2，4 C．3，-2，-4 D．3，2，-4
【变式2-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式2-2】将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型三、一元二次方程的解（根）
【例3-1】已知方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．4046 B． C． D．0
【变式3-1】若关于的一元二次方程有一个根为0，则实数m的值为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或0
【变式3-2】已知x=m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
【变式3-3】已知m是方程的根，则的值为______．
题型四、一元二次方程的应用
【例4-1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【变式4-2】某区以“整治环境卫生”为抓手，逐年增加环保建设的投入，计划从2021年初到2023年末，累计投入4250万元．已知2021年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一般地，对于形如x2=p(p≥0)或的方程，可以用直接开平方法解方程
【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根；
2.时，方程有两个相等的实数根；
3.时，方程有两个不相等的实数根.
题型一、 直接开平方法的使用条件
【例1-1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】关于的方程无实数根，那么满足的条件是
A． B． C． D．
【变式1-2】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二、 直接开平方法解方程
【例2-1】（1）解方程：． （2）解方程：．
【变式2-1】方程的根是（ ）
A． B．， C．， D．，
【变式2-2】方程的根是______．
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因式分解法解一元二次方程
根据 将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,即，则；
实质 将一元二次方程转化为两个一元一次方程
1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点
（1）方程一边为0；
（2）另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.
【注意】
（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
（2）用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.
（3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
（2）逆用平方差公式和完全平方公式来分解因式.
（3）十字相乘法：=
3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
步骤 示例： 解释
1、移 移项，将方程右边化为0
2、分 将方程左边因式分解
3、化 令每个因式都为零
4、解 解这两个一元一次方程
题型一、提公因式法解一元二次方程
【例1-1】解下列方程：
（1） （2） （3）
【变式1-1】解下列方程：
（1） （2）
【变式1-2】方程的解为________．
【变式1-3】方程的解为________．
题型二、乘法公式解一元二次方程
【例2-1】（1）解方程：. （2）
【变式2-1】解下列方程：
（1） （2）
【变式2-2】一元二次方程的解是________________．
【变式2-3】三角形两边长分别是3和4，第三边长是的一个实数根，则该三角形的面积是______．
题型三、十字相乘法解一元二次方程
【例3-1】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【例3-2】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【变式3-1】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【变式3-2】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【变式3-3】以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-5】方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( )
A． B． C．或 D．或或
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程的其中一个根是0，则_____．
3．若方程的二次项系数是_____，则方程的一次项系数是______，常数项是______．
4．已知m是方程的一个根，则的值为_______．
5．方程有实数根，则k的取值范围是______．
6．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．
7．方程的解是______．
8．解方程：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
第1讲 一元二次方程及其解法1
1. 一元二次方程得定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
3. 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。
题型一、一元二次方程的定义
【例1-1】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①；②；③； ④； ⑤；⑥．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：①当时，不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是分式方程；
⑤不是一元二次方程；
⑥，化简得：，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程的是②③．
故选：D．
【例1-2】当______时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得，
故答案为：．
【变式1-1】若关于的方程是一元二次方程，则m应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故选：A
【变式1-1】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，且，
解得：．
故答案为：．
题型二、一元二次方程的一般式
【例2-1】方程的一般形式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义即可得．
【详解】解：，
，
，
即将方程的一般形式为，
故选：D．
【例2-2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，-2，4 B．3，2，4 C．3，-2，-4 D．3，2，-4
【答案】C
【分析】先把方程化为一般式，再根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答．
【详解】解：把一元二次方程化为一般式为：，
∴二次项系数是3，一次项系数、常数项，
故选：C．
【变式2-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．
故选：C．
【变式2-2】将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
题型三、一元二次方程的解（根）
【例3-1】已知方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入原方程得出，求出k的值即可．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【例3-2】若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．4046 B． C． D．0
【答案】C
【分析】把a代入方程整理得，把代数式适当变形，再整体代入求值即可．
【详解】解：把a代入方程中，得，
移项得得：；
则；
故选：C．
【变式3-1】若关于的一元二次方程有一个根为0，则实数m的值为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴将代入，可得且，
解得：．
故选：A．
【变式3-2】已知x=m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】2023
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2023．
【变式3-3】已知m是方程的根，则的值为______．
【答案】2024
【分析】由m是方程的根，可得，变形为，然后整体代入得结果．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴
．
故答案为：2024．
题型四、一元二次方程的应用
【例4-1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设有支球队参加比赛，每支球队都要和其他支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能算作一场，由此列出不等式即可．
【详解】解：设有支球队参加比赛，
由题意得，，
故选B．
【例4-2】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵长方形场地的长为60米，宽为40米，
∴被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：B．
【变式4-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【答案】C
【解析】依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x x=x2个，
根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，
故选：C．
【变式4-2】某区以“整治环境卫生”为抓手，逐年增加环保建设的投入，计划从2021年初到2023年末，累计投入4250万元．已知2021年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分别表示出2022年、2023年的投入进而得出等式．
【详解】
解：设投入经费的年平均增长率为x，根据题意得：
，
即，
故选：D
一般地，对于形如x2=p(p≥0)或的方程，可以用直接开平方法解方程
【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根；
2.时，方程有两个相等的实数根；
3.时，方程有两个不相等的实数根.
题型一、 直接开平方法的使用条件
【例1-1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
方程有实数根，
∴b+4≥0，
∴，
故选：．
【变式1-1】关于的方程无实数根，那么满足的条件是
A． B． C． D．
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：当时，方程无解．
即．
故选：．
【变式1-2】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于方程有两个实数根，则，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得m-1≥0，
所以．
故选：．
题型二、 直接开平方法解方程
【例2-1】（1）解方程：． （2）解方程：．
（1）【解答】解：
移项，得，
，
解得，．
解方程：．
【答案】，
（2）【解答】解：，
，
，
，．
【变式2-1】方程的根是（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】用直接开平方法进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【变式2-2】方程的根是______．
【分析】直接开平方即可得出答案．
【解答】解：，
或，
解得，，
故答案为：，．
因式分解法解一元二次方程
根据 将一元二次方程因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,即，则；
实质 将一元二次方程转化为两个一元一次方程
1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点
（1）方程一边为0；
（2）另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.
【注意】
（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程,不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解.
（2）用因式分解法解一元二次方程时,一定要把方程的右边化为0,否则会出现错误.
（3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子,这样容易造成丢根现象.
2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法
（1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
（2）逆用平方差公式和完全平方公式来分解因式.
（3）十字相乘法：=
3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
步骤 示例： 解释
1、移 移项，将方程右边化为0
2、分 将方程左边因式分解
3、化 令每个因式都为零
4、解 解这两个一元一次方程
题型一、提公因式法解一元二次方程
【例1-1】解方程：（1） （2） （3）
【解析】
解：
（1）
（2）
（3）
【变式1-1】解下列方程：
（1） （2）
【答案】（1）(2)
【详解】（1），
，
，
或，
．
（2）解：移项，得，
即，
进一步可变形为，
∴或，
解得：；
【变式1-2】方程的解为________．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
分解因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【变式1-3】方程的解为________．
【答案】，
【分析】方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：
，
，
或，
解得：，，
故答案为：，，
题型二、乘法公式解一元二次方程
【例2-1】（1）解方程：. （2）
（1）解：移项得，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
解得：．
【变式2-1】解下列方程：
（1） （2）
【答案】（1）
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2），
，
所以，；
【变式2-2】一元二次方程的解是________________．
【答案】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】
即：，
解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了采用因式分解法解一元二次方程的知识，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
【变式2-3】三角形两边长分别是3和4，第三边长是的一个实数根，则该三角形的面积是______．
【答案】
【分析】先解一元二次方程得到三角形的第三边长，再构建图形，如图，过作于 利用勾股定理求解三角形的高即可得到答案.
【详解】解：
如图，中，
过作于
故答案为：
题型三、十字相乘法解一元二次方程
【例3-1】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【解答】解：（1），
，
或，
所以，；
（2），
，
或，
解得，；
（3），
，
或，
，；
（4）解：
，
或，
解得：，．
【例3-2】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【解答】解：（1），
，
或，
解得，．
（2），
因式分解得：，
或，
，；
（3），
，
或，
所以，．
（4），．
【变式3-1】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【解答】（1）解：
∴，
∴，
即，
∴，
（2）解：，
，
或，
解得，；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
（4）∵，
∴，
∴，，
解得．
【变式3-2】解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【解答】解：（1），
，
或，
，．
（2），
或，
所以，；
（3）解：方程可以化为：，
∴或，
∴，．
（4）解：原方程即为，
∴，
∴或，
解得：.
【变式3-3】以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．
【详解】∵
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
【变式3-4】方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方程运用因式分解法求出方程的解即可．
【详解】解：
∴
∴．
故选：A．
【变式3-5】方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( )
A． B． C．或 D．或或
【答案】B
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．
【详解】解：，
，
，，
，，
有两种情况：①三角形的三边为，，，此时不符合三角形三边关系定理，
②三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为，
故选：B．
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
2．关于x的一元二次方程的其中一个根是0，则_____．
【答案】
【分析】把代入原方程得，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】解：把代入方程得，
解得，，
因为，
所以a的值为．
故答案为：．
3．若方程的二次项系数是_____，则方程的一次项系数是______，常数项是______．
【答案】4；；0．
【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．
【详解】解：方程化为一般形式为：，
∴方程的二次项系数是4，方程的一次项系数是，常数项是0．
故答案为：4；；0．
4．已知m是方程的一个根，则的值为_______．
【答案】2025
【分析】根据题意可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根
∴，
∴，
∴．
故答案为：2025
5．方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】/
【分析】利用直接开平方法求出，然后根据方程有实数根结合二次根式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
6．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．
【答案】
【分析】设，将方程变形，开方求出a的值，即可确定出所求．
【详解】解：设，则，
方程变形得：，
开方得：或，
解得： 或（舍去），
∴；
故答案为：6．
7．方程的解是______．
【答案】，
【分析】直接利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴或，
即，，
故答案为：，；
8．解方程：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【详解】（1）∵，
∴二次项系数化1，可得：，
方程两边开平方，可得：；
（2）∵，
∴，
∴，
解得：，．
（3）解：，
∴，
故或，
解得：，．
（4），
∴，
故或，
解得：，．第2讲 一元二次方程的解法2（配方法和公式法）
1、配方法：将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程.
2、配方法解一元二次方程：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
题型一、二次三项式的配方
【例1-1】填上适当的数使下面各等式成立：
①____=____； ②________；
③_________； ④________.
【例1-2】方程的左边是一个完全平方式，则m等于（ ）
A． B．或4 C．或 D．4
【变式1-1】把方程化成配方式的形式，则下列符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知x2－8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A．x2－8x+（－4）2=31 B．x2－8x+（－4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2－4x+4=－11
题型二、配方法解一元二次方程
【例2-1】用配方法解下列方程
(1)； (2)；
(3)； (4)．
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【变式2-1】用配方法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
题型三、配方法的应用
【例3-1】填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
【例3-2】小萱的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
（1）说明：代数式的最小值为______；
（2）请仿照小萱的思考求代数式的最大值．
【变式3-1】填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
【变式3-2】阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值.
【变式3-3】无论x取何值，代数式的值（ ）
A．总是大于8 B．总是不小于8 C．总是不小于11 D．总是大于11
1、求根公式的推导
利用配方法解方程，
移项：；
系数化为“1”：；
配方：；
整理得：；
开方：；
整理得：.
2、公式法解一元二次方程
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、一元二次方程根的判别式
b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
题型一、利用判别式判断根的情况
【例1-1】关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【例1-2】若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【变式1-1】一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式1-2】一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
题型二、根据判别式求参数的范围
【例2-1】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【例2-2】若一元二次方程有两个相同的实数根，则的最小值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
【变式2-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【变式2-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【变式2-3】若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________．
题型三、利用判别式证明
【例3-1】关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【变式3-1】已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
【变式3-3】关于的一元二次方程为. 求证：无论为何实数，方程总有实数根．
题型四、公式法解一元二次方程
【例4-1】用公式法解方程：
（1）. （2）.
（3）. （4）
【变式4-1】用公式法解方程：
（1） （2）
【变式4-2】一元二次方程的解为________．
【变式4-3】一元二次方程的解为______．
1．将方程配方成的形式为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．将代数式配方后，发现它的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
6．若代数式的值等于代数式的值，则_______．
7．关于的一元二次方程＝的两根为________．
8．定义运算：．例如：．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______．
9．用配方法解方程：
(1)； (2)．
10．用公式法解方程：
(1)． (2)
11．已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
12．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围．
(2)已知方程的一个实数根为1，求另一个实数根．
第2讲 一元二次方程的解法2（配方法和公式法）
1、配方法：将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程.
2、配方法解一元二次方程：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
题型一、二次三项式的配方
【例1-1】填上适当的数使下面各等式成立：
①____=____； ②________；
③_________； ④________.
【答案】 4 2
【分析】（1）加上5的一半的平方；
（2）加上4的一半的平方；
（3）加上一半的平方；
（4）加上的一半的平方．
【详解】解：（1），
（2），
（3）；
（4）．
故答案为：，；4，2；，；，．
【例1-2】方程的左边是一个完全平方式，则m等于（ ）
A． B．或4 C．或 D．4
【答案】B
【分析】根据完全平方式的结构，而，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得，
故选：B．
【变式1-1】把方程化成配方式的形式，则下列符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加36，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式1-2】已知x2－8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A．x2－8x+（－4）2=31 B．x2－8x+（－4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2－4x+4=－11
【答案】B
【详解】x2-8x+15=0，
变形得：x2-8x=-15，
配方得：x2-8x+42=1，
故选B．
题型二、配方法解一元二次方程
【例2-1】用配方法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，；
（2）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，；
（3）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，；
（4）解：原方程可化为，
∴，即，
∴，
∴，．
【变式2-1】用配方法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
【详解】（1）解：
∴
即，
解得
（2）解：
即，
解得
（3）解：
，
∴，
解得，；
（4）解：
∴，
∴，
∴，
解得．
题型三、配方法的应用
【例3-1】填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
【例3-2】小萱的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
（1）说明：代数式的最小值为______；
（2）请仿照小萱的思考求代数式的最大值．
【答案】(1)
(2)17
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最大值即可．
【详解】（1）解：原式，
无论取何值，，
，
则的最小值为，
故答案为：；
（2），
，
原式
，
则的最大值为17．
【变式3-1】填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
【变式3-2】阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值.
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案；
（2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值是9；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最大值，最大值为．
【变式3-3】无论x取何值，代数式的值（ ）
A．总是大于8 B．总是不小于8 C．总是不小于11 D．总是大于11
【答案】B
【分析】将代数式配方，得到，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴代数式的值总是不小于8，
故选：B．
1、求根公式的推导
利用配方法解方程，
移项：；
系数化为“1”：；
配方：；
整理得：；
开方：；
整理得：.
2、公式法解一元二次方程
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、一元二次方程根的判别式
b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
题型一、利用判别式判断根的情况
【例1-1】关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：对于，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【例1-2】若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】B
【分析】先将代入中得到，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
对于方程，
∵ ，
∴方程有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；
当时， ，即是方程的一个根，故选项B正确，符合题意，
故选：B．
【变式1-1】一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴，
∴方程没有实数根，
故选A．
【变式1-2】一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
题型二、根据判别式求参数的范围
【例2-1】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得，
故选.
【例2-2】若一元二次方程有两个相同的实数根，则的最小值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，即可得出，即，将其代入中，利用配方法即可得出的最小值．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相同的实数根，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【变式2-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根则可知根的判别式大于，直接列不等式求解即可．
【详解】解：由题意知：
解得．
故答案为：
【变式2-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【变式2-3】若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴，即且．
故答案为：且．
题型三、利用判别式证明
【例3-1】关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；
（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【详解】（1）证明：由得，
，
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴m的最小值为．
【变式3-1】已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
【详解】（1）解：
，
∴无论为任意实数，方程总有实数根．
【变式3-3】关于的一元二次方程为. 求证：无论为何实数，方程总有实数根．
【分析】先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后证明△≥0即可；
【答案】证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]
＝4m2+8m+4
＝4（m+1）2，
∵4（m+1）2≥0，
∴△≥0，
∴无论m为何实数，方程总有实数根；
题型四、公式法解一元二次方程
【例4-1】用公式法解方程：
（1）. （2）.
（3）. （4）
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
（3）解：，
方程的系数分别是，，，
∴，
∴，
∴，．
（4）解：∵，
∴．
∴，，，
∴．
∴，
∴，．
【变式4-1】用公式法解方程：
（1） （2）
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式计算即可求出解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴．
∴，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴．
【变式4-2】一元二次方程的解为________．
【答案】 ，
【分析】用公式法可求解，一元二次方程的求根公式为x=．
【详解】解：∵a= ，b=-1，c=-3，
∴△=b2-4ac=(-1)2-4× ×(-3)=7>0，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
【变式4-3】一元二次方程的解为______．
【答案】
【分析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
1．将方程配方成的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两个同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据已知的方程选择配方法解方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，．
故选：B．
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的情况，利用根的判别式列式求出k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握利用根的情况求方程中未知参数的方法．
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．
【详解】解：A．，
∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B．，
∵，，，
∴，
∴方程没有实数根，选项B不符合题意；
C．，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D．，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
5．将代数式配方后，发现它的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】原式利用完全平方公式配方后，即可确定最小值．
【详解】解：，
当时，代数式有最小值为，
故选：A．
6．若代数式的值等于代数式的值，则_______．
【答案】或
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：由题意得，，
整理得，，
解得：x＝或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意得出方程是解题的关键．
7．关于的一元二次方程＝的两根为________．
【答案】，
【分析】整理成一般式后，利用公式法求解可得．
【详解】解：整理得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
故答案为：，．
8．定义运算：．例如：．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】利用新运算的运算法则得到，再根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为： ．
9．用配方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）（2），
，
，
，
，
，
，．
10．用公式法解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）
∵，，；
∴，
∴，
（2）
方程整理得：．
∵，，，，
∴，
∴，．
11．已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】证明：由题意得，，
∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．
12．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围．
(2)已知方程的一个实数根为1，求另一个实数根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴，即，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为1，，
∴，
解得．第3讲 一元二次方程中根与系数的关系
1、一元二次方程中根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程x2+px+q=0得两个根为x1，x2，则有x1+x2=-p, x1x2=q；
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有；.
2、与韦达定理有关的常见的代数式的变形
； ；
； ；
；
注意：一元二次方程中根与系数的关系公式适用前提是判别式△≥0
题型一、一元二次方程的根与系数的关系
【例1-1】已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【例1-2】设一元二次方程的两根分别是、，计算____________．
【例1-3】若，满足，，且，则的值为______ ．
【变式1-1】已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
【变式1-2】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【变式1-3】已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】若、为的两根，则的值为______．
题型二、利用韦达定理求方程的根
【例2-1】已知关于x的方程有一个根为-2，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C．-1 D．-5
【例2-2】若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【变式2-1】若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一根.
【变式2-2】已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值
题型三、利用韦达定理判断根的正负
【例3-1】一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5 D．有两个正根，且有一根大于4
【例3-2】若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】关于的一元二次方程有（ ）
A．两个相等的实数根 B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根 D．一个正数根和一个负数根
【变式3-2】若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（ ）
A．a，c异号 B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号 D．b，c异号
题型四、利用根与系数的关系确定字母的值或取值范围
【例4-1】已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则k的值为______．
【例4-2】已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求实数k的值及方程的另一个根．
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【例4-3】已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
【变式4-1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，使得成立，则k的值______．
【变式4-2】已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【变式4-3】已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设为方程的两个实数根，且满足，试求出k的值．
【变式4-4】已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，且，求m的值．
题型五、韦达定理与三角形
【例5-1】关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形中，，斜边，两直角边的长恰好是方程的两根，求的值．
【变式5-1】已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【变式5-2】已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰的三边，，中，另两边、恰好是这个方程的两个根，求值．
【变式5-3】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值．
题型六、代根法与韦达定理
【例6-1】设α、β是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076 B．-6074 C．6040 D．-6040
【例6-2】已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______．
【例6-3】若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【变式6-1】已知是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【变式6-2】已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-10 B．-7 C．-5 D．3
【变式6-3】若是方程的两个实数根，则的值为______．
【变式6-4】已知，是方程的两个实根，则的值为______.
【变式6-5】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
第3讲 根与系数的关系
1、一元二次方程中根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程x2+px+q=0得两个根为x1,x2,,则有x1+x2=-p, x1x2=q；
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有；.
2、与韦达定理有关的常见的代数式的变形
； ；
； ；
；
注意：一元二次方程中根与系数的关系公式适用前提是判别式△≥0
题型一、一元二次方程的根与系数的关系
【例1-1】已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【例1-2】设一元二次方程的两根分别是、，计算____________．
【答案】11
【分析】由一元二次方程根与系数的关系：、，然后再结合完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵元二次方程的两根分别是，
∴ 、，
∴
故答案为：11
【例1-3】若，满足，，且，则的值为______ ．
【答案】
【分析】由，满足，，且，可得，是方程的两个根，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵，满足，，且，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式1-1】已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【变式1-2】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】16
【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，
所以．
故答案为：16．
【变式1-3】已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程个与系数的关系得出，将代数式因式分解，然后代入值即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，
∴ ，
故选：C．
【变式1-4】若、为的两根，则的值为______．
【答案】0
【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
【详解】解：α，β是方程的两个实数根，
可得，
∴．
∴的值为0．
故答案为：0．
题型二、利用韦达定理求方程的根
【例2-1】已知关于x的方程有一个根为-2，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C．-1 D．-5
【答案】C
【分析】根据关于x的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程有一个根为，设另一个根为m，
∴，
解得，，
故选C．
【例2-2】若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为
则 ，
，即方程的另一个根为
.
【变式2-1】若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一根.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+3=0，
解得：b=4，
把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，
设另一根为m，可得1+m=4，
解得：m=3，
则b的值为4，方程另一根为x=3.
【变式2-2】已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值
设方程的另一个根为，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴方程的另一个根为，的值为1．
题型三、利用韦达定理判断根的正负
【例3-1】一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5 D．有两个正根，且有一根大于4
【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．
【解答】解：，
△，
方程有两个不相等的实数根；
设方程的两个根为，
则：，，
方程的有一个正根，一个负根；
故选：．
【例3-2】若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：，
，
由△，
，
，
故选：．
【变式3-1】关于的一元二次方程有（ ）
A．两个相等的实数根 B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根 D．一个正数根和一个负数根
【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．
【解答】解：，
△，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为、，则，则和异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：．
【变式3-2】若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用根的判别式△及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，
，
解得：，
实数的取值范围是．
故选：．
【变式3-3】一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（ ）
A．a，c异号 B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号 D．b，c异号
【答案】B
【分析】设一元二次方程的两根为，根据根与系数的关键得到，再根据题意有，由此即可得到答案．
【详解】解：设一元二次方程的两根为，
∴，
∵一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大，
∴，
∴a，c异号；a，b同号，
故选B．
题型四、利用根与系数的关系确定字母的值或取值范围
【例4-1】已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则k的值为______．
【答案】1
【解析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）=8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣（3k+1），x1x2=2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）=8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1=8k2，
∴2k2+1+3k+1+1=8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1=0，
解得：k1=﹣，k2=1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的两个不相等实数根，
∴△=（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k=1．
【例4-2】已知方程是关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求实数k的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)的值为，方程的另一个根为
【分析】（1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可；
（2）方程的另一个根为，则结合条件运用“韦达定理”分别建立等式求解即可．
【详解】（1），
，
，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得：
，解得：．
∴的值为，方程的另一个根为．
【例4-3】已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，据此建立关于的不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
（2）解：原方程的两个实数根为、，
，，
，
，，
，，
，
，
即，
解得：．
【变式4-1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，使得成立，则k的值______．
【分析】根据判别式的意义得到△=（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1 x2=﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k，
由根与系数的关系得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2=﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15=0，
解得k1=5（舍去），k2=﹣3．
∴k=﹣3，
故答案为﹣3．
【变式4-2】已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断．
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到m的值．
【详解】（1）
∴方程总有两个实数根．
（2）∵方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知：，
∵，
∴联立得，
解得
∴，
∴．
【变式4-3】已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设为方程的两个实数根，且满足，试求出k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为或
【分析】（1）将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）解：∵为方程的两个实数根，
∴，．
∵
∴，
∴
∴．
将，代入，得：，
解得：，
∴k的值为或．
【变式4-4】已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，且，求m的值．
【答案】见解析。
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1﹣x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）=0有实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1.x2，
∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=42，即32﹣16m=16，
解得：m=1．
题型五、韦达定理与三角形
【例5-1】关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形中，，斜边，两直角边的长恰好是方程的两根，求的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于即可得证；
（2）根据勾股定理得到，利用完全平方公式变形后，把各自的值代入计算即可求出的值．
【解答】（1）证明：，，，
△
，
则无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：两直角边的长，恰好是方程的两根，
，，
，
根据勾股定理得：，即，
，即，
解得：（舍去）或，
则的值为6．
【变式5-1】已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为、，则、为方程的两个根，
根据根与系数的关系得，，
所以斜边长为．
故选：．
【变式5-2】已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰的三边，，中，另两边、恰好是这个方程的两个根，求值．
【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到，，再根据等腰三角形的性质得到或，然后分别解关于的方程即可．
【解答】（1）证明：△，
无论取何值，此方程总有实数根；
（2）解：解方程，
得，
，，
、、为等腰三角形的三边，
或，
或4．
【变式5-3】已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值．
【分析】（1）证明△即可；
（2）求出方程的解，根据是等腰三角形分类讨论即可．
【解答】（1）证明：△
，
方程总有两个实数根；
（2）解：原方程分解因式得：，
，，
当等腰三角形的腰是2时，，不合题意，
等腰三角形的腰是6，
，
．
故的值为7．
题型六、代根法与韦达定理
【例6-1】设α、β是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076 B．-6074 C．6040 D．-6040
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出，，，，进而得出，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵α、β是方程的两根，
∴，，，，
∴，，
∴
．
故选：B．
【例6-2】已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______．
【分析】将代入方程中可得，根据根与系数的关系可得，原式可变形为，最后整体代入即可求解．
【解答】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：1．
【例6-3】若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【分析】由根与系数的关系可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：整理得：，
，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：4046．
【变式6-1】已知是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【分析】先根据方程根的概念和根与系数的关系得出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，是关于的方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故选：B．
【变式6-2】已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-10 B．-7 C．-5 D．3
【答案】B
【分析】欲求的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
，即
∴
=
=
=
=．
故选：B．
【变式6-3】若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解．
【详解】解：由，是方程的两个实数根，可得：，且，
∴；
故答案为．
【变式6-4】已知，是方程的两个实根，则的值为______.
【分析】根据题意利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：，是方程的两个实根，
，即，，，
则原式
．
故选：．
【变式6-5】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【分析】把代入方程表示出，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把代入方程得：，即，
，是方程的两个实数根，
，，
则原式
．
故选：．第4讲 实际问题与一元二次方程
1、传播问题
现有病毒a个，每个病毒每次传播x人，则：
第一轮传播，感染总数为__________；
第二轮传播，感染总数为__________=__________；
第三轮传播，感染总数为__________=__________.
【总结】若刚开始有a个病毒，每个病毒每次传播x人，则传播问题的公式为：_______________.
2、 分支问题
思考
现有一棵树干，若这棵树主干长出x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，则：
第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________.
【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________.
3、握手问题、礼物问题
思考
现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次.（该问题是单循环还是双循环？_______）
现有x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____.（该问题是单循环还是双循环？_______）
【总结】握手问题的关键在于：_______________.
4、平均变化率问题
思考
若2021年国内的GDP总量为a万亿，每年的增长率都是x，则：
2022年国内的GDP总量为_______________；
2023年国内的GDP总量为_______________；
2024年国内的GDP总量为_______________.
【总结】平均变化率问题的公式为：1.由a经过两次平均增长到b：_______________； 2.由a经过两次平均减少到b：_______________.
5、面积问题——围栏问题与小路宽问题
内容
【注意】一元二次方程的解通常有两个，所以最终一定要检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去.
6、利润问题
内容
利润=单利×销量.
若某商品进价40，售价60，每日销量为80件，若该商品没降价2元，可多售10件，则降价后的利润是多少？
1.若设降价x元，则利润=单利×销量=；
2.若设兽价x（x<60）元，则利润=单利×销量=.
【总结】利润=单利×销量=.
题型一、传播问题
【例1-1】一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有( )人
A．20 B．22 C．60 D．61
【变式1-1】进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
题型二、分支、转发问题
【例2-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数。
【变式2-1】为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2-2】某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=______．
【变式2-3】网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．
题型三、握手、礼物问题
【例3-1】一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【例3-2】为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例3-3】新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【变式3-2】中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
题型四、平均变化率问题
【例4-1】某厂职工2021年的人均收入约为元，预计2023年的人均收入约为元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A．1% B．1.21% C．10% D．12.1%
【变式4-1】在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，求该村投入建设资金的年平均增长率．设该村投入建设资金的年平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
题型五、面积问题
【例5-1】如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为．
(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
(2)若给定墙长为，则墙长a对题目的解是否有影响？
【变式5-1】如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
中小学教育资源及组卷应用平台
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【变式5-2】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________
【变式5-3】如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
题型六、利润问题
【例6-1】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【例6-2】疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）．
(1)请用含x的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为________元；
②每天能售出该工艺品的件数为________．
(2)为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价．
【例6-3】深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价（元/千克）与销售量（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出关于的函数关系式_____________；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为______．
【变式6-1】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个．
（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
（3）在（2）销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由
【变式6-3】某水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000斤，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨0.5元，每天销量将减少40斤．
（1）若以每斤盈利9元的价钱出售，则每天能盈利 元．
（2）若水果店想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每斤水果涨价后的定价为多少元？
①解：方法一：设每斤水果应涨价x元，由题意，得方程：________________；
方法二：设每斤水果涨价后的定价为x元，由题意，得方程：________________．
②请你选择一种方法完成解答．
【变式6-4】某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
2．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染x个人．则由题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
3．九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为_____米．
5．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．
6．某商场在销售中发现：某名牌衬衣平均每天可售出件，每件衬衣盈利元．为了迎接元旦节，扩大销售量，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衣降价元，商场平均每天可多售出件．要想平均每天盈利元，每件衬衣应降价多少元？
7．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋．
(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价元，原售价为每袋元）
8．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
（1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
第4讲 实际问题与一元二次方程
1、传播问题
现有病毒a个，每个病毒每次传播x人，则：
第一轮传播，感染总数为__________；
第二轮传播，感染总数为__________=__________；
第三轮传播，感染总数为__________=__________.
【总结】若刚开始有a个病毒，每个病毒每次传播x人，则传播问题的公式为：_______________.
2、 分支问题
思考
现有一棵树干，若这棵树主干长出x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，则：
第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________；
第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________.
【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________.
3、握手问题、礼物问题
思考
现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次.（该问题是单循环还是双循环？_______）
现有x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____.（该问题是单循环还是双循环？_______）
【总结】握手问题的关键在于：_______________.
4、平均变化率问题
思考
若2021年国内的GDP总量为a万亿，每年的增长率都是x，则：
2022年国内的GDP总量为_______________；
2023年国内的GDP总量为_______________；
2024年国内的GDP总量为_______________.
【总结】平均变化率问题的公式为：1.由a经过两次平均增长到b：_______________； 2.由a经过两次平均减少到b：_______________.
5、面积问题——围栏问题与小路宽问题
内容
【注意】一元二次方程的解通常有两个，所以最终一定要检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去.
6、利润问题
内容
利润=单利×销量.
若某商品进价40，售价60，每日销量为80件，若该商品没降价2元，可多售10件，则降价后的利润是多少？
1.若设降价x元，则利润=单利×销量=；
2.若设兽价x（x<60）元，则利润=单利×销量=.
【总结】利润=单利×销量=.
题型一、传播问题
【例1-1】一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有( )人
A．20 B．22 C．60 D．61
【答案】B
【分析】设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人患流感，第二轮传染后共人患流感，列出方程进行计算即可．
【详解】解：设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人患流感，第二轮传染后共人患流感，
根据题意得：，
解得：， (舍去)，
．
故选：B．
【变式1-1】进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．
【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，
则两轮感染后的总人数为：
故选：B．
【变式1-2】有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
【答案】10人；13310人
【分析】设平均一人传染了人，根据有10人患了流感，经过两轮传染后共有1210人患了流感，列出方程求解；根据前面所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
【详解】解：设平均一人传染了人，
根据题意得：，
化简得：，
解得：，（不符合题意舍去）
故每轮传染中平均一个人传染了10个人，
所以经过三轮后患上流感的人数为：
（人）；
经过三轮传染后共有13310个人患流感．
题型二、分支、转发问题
【例2-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数
【答案】6
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：6．
【变式2-1】为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：，．
故选：．
【变式2-2】某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=______．
【答案】9
【分析】根据主干+支干数目+支干数目×支干数目=91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x=x2，
∴可列方程为：1+x+x2=91．
解得：x1=9，x2=-10（舍去）．
答：每个支干长出9个小分支．
故答案为：9．
【变式2-3】网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：12．
题型三、握手、礼物问题
【例3-1】一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【答案】B
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
整理，得，
解得，，(舍去)
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
【例3-2】为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】设共有x个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数=参赛队伍个数×（参赛队伍个数-1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个球队参赛，
根据题意得：x（x-1）=28，
整理得：x2-x-56=0，
解得：x1=8，x2=-7（不符合题意，舍去），
∴共有8个球队参赛．
故选：C．
【例3-3】新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出份小礼品，那么总共送的份数应该是份，即可列出方程．
【详解】解：设全班有名同学，根据题意得：
，
故选：C．
【变式3-1】中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【答案】D
【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
故选：D．
【变式3-2】中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据共送出72个月饼，即可列出一元二次方程，解方程，得到正整数解即可．
【详解】解：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据题意得
整理得
解得（不符合题意，舍去）
故选：A．
题型四、平均变化率问题
【例4-1】某厂职工2021年的人均收入约为元，预计2023年的人均收入约为元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A．1% B．1.21% C．10% D．12.1%
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的应用中的增长率问题设元列方程求解即可．
【详解】设人均收入的年平均增长率为，
则
解得（其中舍去）
故增长率为10%，
故选C．
【变式4-1】在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，求该村投入建设资金的年平均增长率．设该村投入建设资金的年平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用前年投入建设资金今年投入建设资金列方程即可．
【详解】解：设该村投入建设资金的年平均增长率为，
根据题意，得，
故选：B．
【变式4-2】随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据平均增长率的意义列式求和计算即可．
【详解】设平均每天票房的增长率为，则根据题意，得
．
故选D．
【变式4-3】某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元列出方程，求出的值即可
【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为．
（2）根据题意得，
整理得，
解得，，或（舍去）
故的值为
题型五、面积问题
【例5-1】如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程．
【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为，
6个矩形小块的面积和为，
．
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽．
【例5-2】要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为．
(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
(2)若给定墙长为，则墙长a对题目的解是否有影响？
【答案】(1)养鸡场的长为或，宽为或；
(2)当时，题目无解；当时，题目只有一个解；当时，题目有两个解．
【分析】（1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∴或．
答：养鸡场的长为或，宽为或；
（2）解：当时，题目无解；
当时，题目只有一个解；
当时，题目有两个解．
【变式5-1】如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设的长为x米，则米，根据花圃的面积刚好为40平方米列出方程即可．
【详解】解：设的长为x米，则米，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
【变式5-2】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________
【答案】
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，
设小路宽为x米，
根据题意得：，
故答案为：．
【变式5-3】如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)15米
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【详解】（1）解：设边的长为米，则米，
根据题意可得，
解得，，
∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意，
∴米．
答：边的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 ，
整理，得 ，
∵，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
题型六、利润问题
【例6-1】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【答案】A
【分析】根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值．
【详解】解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
，
．
故选：A．
【例6-2】疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）．
(1)请用含x的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为________元；
②每天能售出该工艺品的件数为________．
(2)为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价．
【答案】(1)①；②
(2)30元/件
【分析】（1）①根据利润等于售价减成本价，即可含x的代数式表示出销售每件工艺品的利润；
②根据每天售出该工艺品的件数降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天能售出该工艺品的件数；
（2）根据总利润等于销售每件工艺品的利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论．
【详解】（1）解：①销售每件工艺品的利润为元；
故答案为：
②每天能售出该工艺品的件数为件；
故答案为：
（2）解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵，
∴不符合题意，舍去，
答：该工艺品的售价为30元/件．
【例6-3】深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价（元/千克）与销售量（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出关于的函数关系式_____________；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为______．
【答案】 60
【分析】（1）设关于的函数关系式为，用待定系数法列方程组求解即可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销量，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）设关于的函数关系式为，
由图可知，点，在，
，
解得，
关于的函数关系式为，
故答案为；
（2）根据题意可得：
，
解得：或，
让利于顾客，
，
板栗的销售单价应定为60元，
故答案为：60．
【变式6-1】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，根据“电影院拟一日票房收入为18000元”列方程即可．
【详解】解：设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，
依题意得，
故选：B．
【变式6-2】某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个．
（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
（3）在（2）销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由
【答案】(1)4800元
(2)60元
(3)应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元
【分析】（1）根据总利润单个利润数量列出算式，计算即可求出值；
（2）设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得：元，
∴降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；
（2）解：设每个学习机应降价x元，
由题意得：，
解得：或，
由题意尽可能让利于顾客，舍去，即，
∴每个学习机应降价60元；
（3）解：设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，
根据题意得：，
方程整理得：，
解得：，
∴应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．
【变式6-3】某水果店进口一种高档水果，卖出每斤水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000斤，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每斤售价涨0.5元，每天销量将减少40斤．
（1）若以每斤盈利9元的价钱出售，则每天能盈利 元．
（2）若水果店想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每斤水果涨价后的定价为多少元？
①解：方法一：设每斤水果应涨价x元，由题意，得方程：________________；
方法二：设每斤水果涨价后的定价为x元，由题意，得方程：________________．
②请你选择一种方法完成解答．
【答案】（1）6120；（2）①（x+5）（1000-x）=6000；x[1000-]=6000；②见解析
【分析】（1）由每斤售价涨0.5元则每天销量将减少40斤，根据“总利润=每斤利润×销售数量”列式求出每斤盈利9元时每天的销售量即可；
（2）①设每斤水果应涨价x元，则每天可卖出（1000-x）斤水果，再根据“总利润=每斤利润×销售数量”列出关于x的一元二次方程；设每斤水果涨价后的盈利为x元，则每天减少销售量为元，然后根据“总利润=每斤利润×销售数量”即可列出方程；②两种方法任选其一解答即可．
【详解】解：（1）由题意可得：1000-×40=680（斤），9×680=6120（元）；
故答案为：6120；
（2）①方法一：设每斤水果应涨价x元，则每天可卖出（1000-x）斤水，
根据题意可得：（x+5）（1000-x）=6000；
方法二：设每斤水果应涨价x元，则每天可卖出（1000-x）斤水果，
由题意得：x[1000-]=6000
故答案为：（x+5）（1000-x）=6000；x [1000-]=6000；
②选择方法一解答：
设每斤水果涨价后的盈利为x元，则每天可卖出（1000-x）斤水果，
由题意得：（x+5）（1000-x）=6000；，解得：x1=2.5，x2=5；
因为要使顾客觉得价不太贵，则x=2.5．
答：每斤水果应涨价2.5元．
【变式6-4】某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】(1)
(2)2240元
(3)12元
【分析】(1)运用待定系数法求解即可．
(2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可．
(3)列方程求解，且取较大值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）（元）．
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元．
（3）依题意，得，
整理，得，
解得，．
∵要让顾客获得更大实惠，∴．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．
1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可．
【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：；
故选D．
2．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染x个人．则由题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设平均一个人传染x个人，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解∶设平均一个人传染x个人，根据题意得：
，
即．
故选：A
3．九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，该题为二次方程解决实际问题中的“互赠贺卡”问题，设全班有名同学，其中每一名同学除了自己以外需要赠送给剩余名同学每人一张贺卡，从而由全班共互赠了5112张得出方程，从而得到答案．
【详解】解：设全班有名同学，则由题意知，每一名同学要送出贺卡张；
∵全班共互赠了5112张，
∴，
故选：B．
4．太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为_____米．
【答案】2
【分析】设长廊的宽为x米，可得出剩余的部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据剩余部分的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵长廊的宽为x米，
∴剩余的部分可合成长为米，宽为米的矩形．
依题意得：，
解得：，（舍去）．
故答案为：2．
5．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．
【答案】84
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），
∴x﹣4＝4，
∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
故答案为：84
6．某商场在销售中发现：某名牌衬衣平均每天可售出件，每件衬衣盈利元．为了迎接元旦节，扩大销售量，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衣降价元，商场平均每天可多售出件．要想平均每天盈利元，每件衬衣应降价多少元？
【答案】20元
【分析】设每件衬衣应降价x元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设每件衬衣应降价x元，根据题意得：
整理得：，
解得：，
∵扩大销售量，减少库存，
∴符合题意，
答：每件衬衣应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
7．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋．
(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价元，原售价为每袋元）
【答案】(1)八、九这两个月的月平均增长率为
(2)当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元
【分析】（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用七月销量九月的销量进而求出答案；
（2）首先设当农产品每袋降价m元时，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设八、九这两个月的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：八、九这两个月的月平均增长率为．
（2）解：设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，
根据题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元．
8．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
（1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)矩形的面积不能为，理由见详解
【分析】（1）根据题中条件即可求出的长；
（2）先根据题意列出方程，再根据一元二次方程的判别式，即可得出答案．
【详解】（1）解：修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），
米，
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴矩形的面积不能为．
