浙江省杭州市第十三中学2021-2022学年八年级下学期开学数学试卷
一、单选题
1．（2022八下·杭州开学考）下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·杭州开学考）有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．2.5，6.5，10
C．3，4，5 D．5，12，17
3．（2021八上·萧山期末）点 在第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·杭州开学考）下列各式中，是二次根式有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2022八下·杭州开学考）若x>y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣2>y﹣2 B．x+2>y+2 C．﹣2x>﹣2y D．
6．（2022八下·杭州开学考）一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·南沙期末）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022八下·杭州开学考）已知点A的坐标为 ，点A关于x轴的对称点 落在一次函数 的图象上，则a的值可以是（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
9．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
10．（2022八下·杭州开学考）如图为甲、乙两人训川练跑步中路程s关于时间t的函数图象，下列信息：甲跑800m用了150s；乙跑400m用了90s；③甲的平均速度是乙的 倍；④乙的平均速度是甲的 倍，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、填空题
11．（2022八下·杭州开学考）如果y＝
+2，那么xy的值是 .
12．（2018八上·北仑期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 。
13．（2022八下·杭州开学考）若不等式组 的解集为x≤﹣m，则m n.
14．（2022八下·杭州开学考）在 中， ，点P在AB上且P到另两边的距离相等，则 的长为 .
15．（2022八下·杭州开学考）如图，直线 与直线 交于点 ，则不等式 的解集为 .
16．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为
三、解答题
17．（2022八下·杭州开学考）计算：
（1） ；
（2） .
18．（2022八下·杭州开学考）解方程或不等式（组）
（1） ；
（2） +2＝ .
19．（2022八下·杭州开学考）小聪去购买笔记本和钢笔共30件，每本笔记本2元，每支钢笔5元，若购买的钢笔数量不少于笔记本的数量.
（1）小聪至多能买几本笔记本？
（2）若小聪只带了130元钱，此时他至少要买几本笔记本？
20．（2022八下·杭州开学考）已知一次函数y=kx+b的图象过（1，6）和（-1，2）.
（1）求一次函数y=kx+b的关系式：
（2）求一次函数y=kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
21．（2022八下·杭州开学考）如图，在 中， ，D为 延长线上一点，且 交 于点F.
（1）求证： 是等腰三角形，
（2）若 ，F为AB中点，求DF的长.
22．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD=AB.
（1）设∠C＝α，∠ABD＝β.
①当α＝50°时，求β.
②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围.
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长.
23．（2022八下·杭州开学考）设函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P.
（1）求点P的横坐标.
（2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大.
①当x＝2时，y2﹣y1＝2，求a的取值范围.
②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y1﹣y2＜
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得，
A、
，不能够组成三角形，不符合题意；
B、
，不能够组成三角形，不符合题意；
C、
，能够组成三角形，符合题意；
D、
，不能组成三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在第一象限，
∴ .
故答案为：A.
【分析】利用第一象限符号（+，+）得不等式求解。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：① 是二次根式，
② 没有意义，不是二次根式，
③ 是三次根式，不是二次根式，
④ 没有意义，不是二次根式，
⑤ 是二次根式，
⑥ 是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故答案为：B.
【分析】形如
（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x＞y，∴x-2＞y-2，故答案为：正确，不符合题意；
∵x＞y，∴x+2＞y+2，故答案为：正确，不符合题意；
∵x＞y，∴-2x＜-2y，故答案为：错误，符合题意；
∵x＞y，∴ ，故答案为：正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数的解析式为y=kx-2k
即函数图象与x轴的交点为（2，0），
分析可得，B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】求出直线y=kx-2k与x轴的交点为（2，0），然后逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816．
故答案为：D．
【分析】根据题意可得挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，再利用矩形的面积公式可得（60+2x）（40+2x）=2816．
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点 和点 关于 轴对称，
点
的坐标为
.
又
点
在直线
上，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称点坐标特征求出 的坐标为 ，将点A'坐标代入 中，求出a值即可.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B.∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C.∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D.根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故答案为：B.
【分析】A、根据余角的性质可得∠CAP=∠C，利用等角对等边可得AP=PC，只有当∠B=30°时AC=PC，据此即可判断；
B、易求∠C+∠CAP=∠BAP+∠CAP=90°，根据三角形内角和求出∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，据此即可判断；
C、易求AP垂直平分BC，无法判断∠BAC＝90° ；
D、根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象可得，
甲跑800m用了150s，故①正确；
乙跑400m用了150-90=60（s），故②错误；
甲的平均速度是800÷150=
（m/s），乙的平均速度是400÷60=
（m/s），
则甲的平均速度是乙的：
倍，故③错误；
乙的平均速度是甲的
倍，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由图象可知：甲跑800m用了150s，乙跑400m用了150-90=60（s），根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙的平均速度，据此逐一判断各选项.
11．【答案】25
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得
，
解得：x=5，
∴y=
，
∴原式=52=25，
故答案为：25.
【分析】由被开方数为非负数，可求出x=5，继而求出y值，再代入计算即可.
12．【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
13．【答案】≥
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组
的解集为x≤-m，
∴-m≤-n，
则m≥n，
故答案为：≥.
【分析】利用不等式组的解集及根据同小取小可得-m≤-n，再利用不等式的解集求解即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作PQ⊥BC于Q，连接CP，
当
时，P到AC，BC距离相等，
∵ ，
∴ ，
在
中，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在
中，
，
即
，
解得：
，
故答案为：
.
【分析】作PQ⊥BC于Q，连接CP，当
时，P到AC，BC距离相等，利用勾股定理求出AC、CP、CQ，继而求出BQ，在
中，由
即
，求出AP即可.
15．【答案】x＞-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：
直线
与直线
交于点
，
的解集为：x＞-1.
故答案为：x＞-1.
【分析】由图象可知当x＞-1时，直线l1在直线l2图象的上方，据此即得结论.
16．【答案】92°
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°=32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°.
故答案为：92°.
【分析】证明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠B=∠ACE，由平行线的性质∠B+∠ACB+∠ACE=180°，再求△ABC、△ADE是等边三角形，可得∠ADE=60°，从而求出∠OAD=∠ADE- ∠BAD =32°，利用∠DOC=∠OAD+∠ADE即可求解.
17．【答案】（1）解：原式=
=
= ；
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法则计算即可；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
18．【答案】（1）解： ，
由①得：x≤ ，
由②得：x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤ ；
（2）解：去分母得：1+2（x-2）=x-1，
解得：x=2，
检验：把x=2代入得：x-2=0，
∴x=2是增根，分式方程无解.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集；
（2）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
19．【答案】（1）解：设小聪购买的笔记本数量为x本，则购买 支钢笔，
由题意得： ，
解得 ，
∴小聪最多能购买15本笔记本；
（2）解：设小聪购买的笔记本数量为y本，则购买 支钢笔，
由题意得： ，
解得 ，
∴他至少要买7本笔记本.
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1） 设小聪购买的笔记本数量为x本，则购买 支钢笔 ， 根据购买的钢笔数量不少于笔记本的数量及x≥0，列出不等式组求出其最大值即可；
（2）设小聪购买的笔记本数量为y本，则购买 支钢笔， 根据购买笔记本和钢笔的总费用不超过130元，结合（1）列出不等式组，求出其最小值即可.
20．【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
所以一次函数解析式为y=2x+4；
（2）解：当x=0时，y=2x+4=4，则一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），
当y=0时，2x+4=0，解得x=-2，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（-2，0），
∴一次函数y=kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积= ×2×4=4.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1） 将（1，6）和（-1，2）代入y=kx+b 中，求出k、b值即可；
（2）求出y=2x+4与x轴、y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：
∴∠B=∠C
又
∴∠B+∠BFE=90°
∠C+∠D=90°
∴∠BFE=∠D
∠BFE=∠AFD
∴∠D=∠AFD
∴ 是等腰三角形
（2）解：过A作AG⊥DE，交DE于点G.
∴∠AGF=∠BEF
， ，F为 中点
∴BF=AF=5
又 在Rt BEF中，BE=3，
∴EF= ＝ ＝4
在 AGF和 BEF中
∴ AGF≌ BEF
∴EF=GF
AG⊥DE，AD=AF
∴GF=DG
∴DF=2EF
∴DF=8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠C，利用余角的性质可得∠BFE=∠D，由∠BFE=∠AFD可得∠D=∠AFD，根据等腰三角形的判定即证；
（2）过A作AG⊥DE，交DE于点G.由线段的中点可得BF=AF=5，利用勾股定理求出EF=4，证明△AGF≌△BEF可得EF=GF，根据等腰三角形三线合一的性质可得GF=DG， 即得DF=2EF=8.
22．【答案】（1）解：①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=80°，
∵BD=AB，
∴∠BDA=∠A=80°，
∴β=180°-∠A-∠BDA=20°；
②∵AB=BD，α的取值范围是45°＜α＜60°；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，
设AN=x，则CN=5-x，
∵BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
∴25-x2=36-（5-x）2，
∴x= ，
∴AD=2AN= .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】(1)②∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∴β=180°-2∠A，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠A=180°-2∠C=180°-2α，
∴β=180°-2（180°-2α）
=4α-180°；
∵∠A=∠ADB，∠ADB＞∠C，
∴180°-2α＞α，
∴α＜60°，
又∵4α-180°＞0，
∴α＞45°，
∴α的取值范围是45°＜α＜60°；
【分析】（1）① 由等边对等角可得∠ABC=∠C=50°， 利用三角形的内角和求出∠A=180°-∠ABC-∠C=80°，由等边对等角可得∠BDA=∠A=80°，根据三角形的内角和即可求解；
②由等腰三角形的性质可得∠A=∠ADB，∠ABC=∠C=α， 利用三角形的内角和求出β=4α-180°，根据三角形外角的性质可得∠ADB＞∠C，结合β＞0即可求出a的范围；
（2） 过点B作BN⊥AC于点N， 设AN=x，则CN=5-x，由勾股定理可得BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
据此建立关于x方程，求解即可.
23．【答案】（1）证明：令ax+b=bx+a，解得x=1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1；
（2）解：①∵函数y2的值随x的增大而增大，
∴b＞0，
由（1）知P（1，a+b），
∵点P在第一象限，
∴a+b＞0，
当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，
∵y2-y1=2，
∴（2b+a）-（2a+b）=2，
∴b-a=2，即b=a+2，
∵b＞0，
∴a+2＞0，
∴a＞-2；
此时满足a+b＞0，
∴a的取值范围是a＞-2；
②证明：∵点P的坐标是（1，1），
∴a+b=1，
∴b=1-a，
∵a＞b，b＞0，
∴a＞1-a且1-a＞0，
∴ ＜a＜1，
当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1，
，
∵ ＜a＜1，
∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0，
∴ ，
∴ ，
∴y1-y2＜ .
【知识点】分式的加减法；一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；不等式的性质
【解析】【分析】（1） 令ax+b=bx+a，解得x=1， 即得点P的横坐标；
（2）① 由函数y2的值随x的增大而增大可得b＞0，由（1）知P（1，a+b）及点P在第一象限，可得 a+b＞0，当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，根据y2-y1=2， 可求出b=a+2＞0，求出a的范围即可；
②由点P的坐标是（1，1），可得b=1-a ， 根据a＞b，b＞0求出 ＜a＜1 ， 当x=2时，y1-y2=2a-1，由于 ， 结合 ＜a＜1 可求出 ，据此即得结论.
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一、单选题
1．（2022八下·杭州开学考）下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
2．（2022八下·杭州开学考）有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．2.5，6.5，10
C．3，4，5 D．5，12，17
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得，
A、
，不能够组成三角形，不符合题意；
B、
，不能够组成三角形，不符合题意；
C、
，能够组成三角形，符合题意；
D、
，不能组成三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
3．（2021八上·萧山期末）点 在第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在第一象限，
∴ .
故答案为：A.
【分析】利用第一象限符号（+，+）得不等式求解。
4．（2022八下·杭州开学考）下列各式中，是二次根式有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：① 是二次根式，
② 没有意义，不是二次根式，
③ 是三次根式，不是二次根式，
④ 没有意义，不是二次根式，
⑤ 是二次根式，
⑥ 是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故答案为：B.
【分析】形如
（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可.
5．（2022八下·杭州开学考）若x>y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣2>y﹣2 B．x+2>y+2 C．﹣2x>﹣2y D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x＞y，∴x-2＞y-2，故答案为：正确，不符合题意；
∵x＞y，∴x+2＞y+2，故答案为：正确，不符合题意；
∵x＞y，∴-2x＜-2y，故答案为：错误，符合题意；
∵x＞y，∴ ，故答案为：正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
6．（2022八下·杭州开学考）一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数的解析式为y=kx-2k
即函数图象与x轴的交点为（2，0），
分析可得，B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】求出直线y=kx-2k与x轴的交点为（2，0），然后逐一判断即可.
7．（2021九上·南沙期末）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816．
故答案为：D．
【分析】根据题意可得挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，再利用矩形的面积公式可得（60+2x）（40+2x）=2816．
8．（2022八下·杭州开学考）已知点A的坐标为 ，点A关于x轴的对称点 落在一次函数 的图象上，则a的值可以是（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点 和点 关于 轴对称，
点
的坐标为
.
又
点
在直线
上，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称点坐标特征求出 的坐标为 ，将点A'坐标代入 中，求出a值即可.
9．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B.∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C.∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D.根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故答案为：B.
【分析】A、根据余角的性质可得∠CAP=∠C，利用等角对等边可得AP=PC，只有当∠B=30°时AC=PC，据此即可判断；
B、易求∠C+∠CAP=∠BAP+∠CAP=90°，根据三角形内角和求出∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，据此即可判断；
C、易求AP垂直平分BC，无法判断∠BAC＝90° ；
D、根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°.
10．（2022八下·杭州开学考）如图为甲、乙两人训川练跑步中路程s关于时间t的函数图象，下列信息：甲跑800m用了150s；乙跑400m用了90s；③甲的平均速度是乙的 倍；④乙的平均速度是甲的 倍，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象可得，
甲跑800m用了150s，故①正确；
乙跑400m用了150-90=60（s），故②错误；
甲的平均速度是800÷150=
（m/s），乙的平均速度是400÷60=
（m/s），
则甲的平均速度是乙的：
倍，故③错误；
乙的平均速度是甲的
倍，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由图象可知：甲跑800m用了150s，乙跑400m用了150-90=60（s），根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙的平均速度，据此逐一判断各选项.
二、填空题
11．（2022八下·杭州开学考）如果y＝
+2，那么xy的值是 .
【答案】25
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得
，
解得：x=5，
∴y=
，
∴原式=52=25，
故答案为：25.
【分析】由被开方数为非负数，可求出x=5，继而求出y值，再代入计算即可.
12．（2018八上·北仑期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 。
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
13．（2022八下·杭州开学考）若不等式组 的解集为x≤﹣m，则m n.
【答案】≥
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组
的解集为x≤-m，
∴-m≤-n，
则m≥n，
故答案为：≥.
【分析】利用不等式组的解集及根据同小取小可得-m≤-n，再利用不等式的解集求解即可.
14．（2022八下·杭州开学考）在 中， ，点P在AB上且P到另两边的距离相等，则 的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作PQ⊥BC于Q，连接CP，
当
时，P到AC，BC距离相等，
∵ ，
∴ ，
在
中，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在
中，
，
即
，
解得：
，
故答案为：
.
【分析】作PQ⊥BC于Q，连接CP，当
时，P到AC，BC距离相等，利用勾股定理求出AC、CP、CQ，继而求出BQ，在
中，由
即
，求出AP即可.
15．（2022八下·杭州开学考）如图，直线 与直线 交于点 ，则不等式 的解集为 .
【答案】x＞-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：
直线
与直线
交于点
，
的解集为：x＞-1.
故答案为：x＞-1.
【分析】由图象可知当x＞-1时，直线l1在直线l2图象的上方，据此即得结论.
16．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为
【答案】92°
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°=32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°.
故答案为：92°.
【分析】证明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠B=∠ACE，由平行线的性质∠B+∠ACB+∠ACE=180°，再求△ABC、△ADE是等边三角形，可得∠ADE=60°，从而求出∠OAD=∠ADE- ∠BAD =32°，利用∠DOC=∠OAD+∠ADE即可求解.
三、解答题
17．（2022八下·杭州开学考）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=
=
= ；
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法则计算即可；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
18．（2022八下·杭州开学考）解方程或不等式（组）
（1） ；
（2） +2＝ .
【答案】（1）解： ，
由①得：x≤ ，
由②得：x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤ ；
（2）解：去分母得：1+2（x-2）=x-1，
解得：x=2，
检验：把x=2代入得：x-2=0，
∴x=2是增根，分式方程无解.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集；
（2）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
19．（2022八下·杭州开学考）小聪去购买笔记本和钢笔共30件，每本笔记本2元，每支钢笔5元，若购买的钢笔数量不少于笔记本的数量.
（1）小聪至多能买几本笔记本？
（2）若小聪只带了130元钱，此时他至少要买几本笔记本？
【答案】（1）解：设小聪购买的笔记本数量为x本，则购买 支钢笔，
由题意得： ，
解得 ，
∴小聪最多能购买15本笔记本；
（2）解：设小聪购买的笔记本数量为y本，则购买 支钢笔，
由题意得： ，
解得 ，
∴他至少要买7本笔记本.
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1） 设小聪购买的笔记本数量为x本，则购买 支钢笔 ， 根据购买的钢笔数量不少于笔记本的数量及x≥0，列出不等式组求出其最大值即可；
（2）设小聪购买的笔记本数量为y本，则购买 支钢笔， 根据购买笔记本和钢笔的总费用不超过130元，结合（1）列出不等式组，求出其最小值即可.
20．（2022八下·杭州开学考）已知一次函数y=kx+b的图象过（1，6）和（-1，2）.
（1）求一次函数y=kx+b的关系式：
（2）求一次函数y=kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
所以一次函数解析式为y=2x+4；
（2）解：当x=0时，y=2x+4=4，则一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），
当y=0时，2x+4=0，解得x=-2，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（-2，0），
∴一次函数y=kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积= ×2×4=4.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1） 将（1，6）和（-1，2）代入y=kx+b 中，求出k、b值即可；
（2）求出y=2x+4与x轴、y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可.
21．（2022八下·杭州开学考）如图，在 中， ，D为 延长线上一点，且 交 于点F.
（1）求证： 是等腰三角形，
（2）若 ，F为AB中点，求DF的长.
【答案】（1）证明：
∴∠B=∠C
又
∴∠B+∠BFE=90°
∠C+∠D=90°
∴∠BFE=∠D
∠BFE=∠AFD
∴∠D=∠AFD
∴ 是等腰三角形
（2）解：过A作AG⊥DE，交DE于点G.
∴∠AGF=∠BEF
， ，F为 中点
∴BF=AF=5
又 在Rt BEF中，BE=3，
∴EF= ＝ ＝4
在 AGF和 BEF中
∴ AGF≌ BEF
∴EF=GF
AG⊥DE，AD=AF
∴GF=DG
∴DF=2EF
∴DF=8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠C，利用余角的性质可得∠BFE=∠D，由∠BFE=∠AFD可得∠D=∠AFD，根据等腰三角形的判定即证；
（2）过A作AG⊥DE，交DE于点G.由线段的中点可得BF=AF=5，利用勾股定理求出EF=4，证明△AGF≌△BEF可得EF=GF，根据等腰三角形三线合一的性质可得GF=DG， 即得DF=2EF=8.
22．（2022八下·杭州开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD=AB.
（1）设∠C＝α，∠ABD＝β.
①当α＝50°时，求β.
②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围.
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长.
【答案】（1）解：①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=80°，
∵BD=AB，
∴∠BDA=∠A=80°，
∴β=180°-∠A-∠BDA=20°；
②∵AB=BD，α的取值范围是45°＜α＜60°；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，
设AN=x，则CN=5-x，
∵BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
∴25-x2=36-（5-x）2，
∴x= ，
∴AD=2AN= .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】(1)②∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∴β=180°-2∠A，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠A=180°-2∠C=180°-2α，
∴β=180°-2（180°-2α）
=4α-180°；
∵∠A=∠ADB，∠ADB＞∠C，
∴180°-2α＞α，
∴α＜60°，
又∵4α-180°＞0，
∴α＞45°，
∴α的取值范围是45°＜α＜60°；
【分析】（1）① 由等边对等角可得∠ABC=∠C=50°， 利用三角形的内角和求出∠A=180°-∠ABC-∠C=80°，由等边对等角可得∠BDA=∠A=80°，根据三角形的内角和即可求解；
②由等腰三角形的性质可得∠A=∠ADB，∠ABC=∠C=α， 利用三角形的内角和求出β=4α-180°，根据三角形外角的性质可得∠ADB＞∠C，结合β＞0即可求出a的范围；
（2） 过点B作BN⊥AC于点N， 设AN=x，则CN=5-x，由勾股定理可得BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
据此建立关于x方程，求解即可.
23．（2022八下·杭州开学考）设函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P.
（1）求点P的横坐标.
（2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大.
①当x＝2时，y2﹣y1＝2，求a的取值范围.
②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y1﹣y2＜
【答案】（1）证明：令ax+b=bx+a，解得x=1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1；
（2）解：①∵函数y2的值随x的增大而增大，
∴b＞0，
由（1）知P（1，a+b），
∵点P在第一象限，
∴a+b＞0，
当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，
∵y2-y1=2，
∴（2b+a）-（2a+b）=2，
∴b-a=2，即b=a+2，
∵b＞0，
∴a+2＞0，
∴a＞-2；
此时满足a+b＞0，
∴a的取值范围是a＞-2；
②证明：∵点P的坐标是（1，1），
∴a+b=1，
∴b=1-a，
∵a＞b，b＞0，
∴a＞1-a且1-a＞0，
∴ ＜a＜1，
当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1，
，
∵ ＜a＜1，
∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0，
∴ ，
∴ ，
∴y1-y2＜ .
【知识点】分式的加减法；一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；不等式的性质
【解析】【分析】（1） 令ax+b=bx+a，解得x=1， 即得点P的横坐标；
（2）① 由函数y2的值随x的增大而增大可得b＞0，由（1）知P（1，a+b）及点P在第一象限，可得 a+b＞0，当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，根据y2-y1=2， 可求出b=a+2＞0，求出a的范围即可；
②由点P的坐标是（1，1），可得b=1-a ， 根据a＞b，b＞0求出 ＜a＜1 ， 当x=2时，y1-y2=2a-1，由于 ， 结合 ＜a＜1 可求出 ，据此即得结论.
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