2022学年
宁波市九校联考高二数学试题
第二学期
一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 z 满足 z i =1+ i ，则 z 对应的点位于（ ▲ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
x
2．设集合M = (x, y) y = 2 1 ， N = (x, y) y = cos x, 4 x 4 ，则M N
2
中元素的个数为（ ▲ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知随机变量 X ~ N ( 2 ， 2 ，它们的分布密度曲线如下图所示，1, 1 ) Y ~ N ( 2, 2 )
则下列说法中正确的是（ ▲ ）
A． 1
2
2， 1
2
2
． ， 2 2B 1 2 1 2
C． 1 2 ，
2
1
2
2
2 2
D． 1 2 ， 1 2
4．已知平面向量a,b满足 a+b = a b ，则b a在 a 上的投影向量为（ ▲ ）
A． a B． a C． b D．b
1
5．若sin + = ， (0, )，则cos 2 =（ ▲ ）
4 3
7 4 2 4 2 4 2
A． B． C． D．
9 9 9 9
6．在△ABC中，点O满足CO = 2OB ，过点O的直线分别交射线 AB, AC 于点M , N ，
且 AM = mAB, AN = nAC，则m+ 2n 的最小值为（ ▲ ）
8 10
A． B． C．3 D．4
3 3
7．已知 f (x)是定义在R 上的奇函数，且 f (2) = 2，若对任意的 x1, x2 (0,+ )，均有
f (x1) f (x2 ) 1成立，则不等式 f (x 1)+1 x 的解集为（ ▲ ）
x1 x2
A． ( 2,0) (2,+ ) B． ( , 2) (0,2)
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C． ( , 1) (1,3) D． ( 1,1) (3,+ )
8．三面角是立体几何的重要概念之一．三面角P ABC 是指由有公共端点P 且不共面的
三条射线PA, PB, PC 以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形．三面角余弦
定理告诉我们，若 APC = ， BPC = ， APB = ，平面 APC 与平面BPC
cos cos cos
所成夹角为 ，则cos = ．现已知三棱锥P ABC ，PA= 3 2 ，
sin sin
APC = 45° BPC = 60°BC = 3， ， ， APB = 90
°
，则当三棱锥P ABC 的体积
最大时，它的外接球的表面积为（ ▲ ）
87 117
A．18 B．36 C． D．
2 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列等式成立的是（ ▲ ）
．0!= 0 ．Am = nAm 1A B n n 1
m m+1
C． (n+1)Cn = (m+1)Cn+1 D．C
m
n +C
m 1 =Cm+1n n+1
10．以下四个正方体中，满足 AB⊥平面CDE 的有（ ▲ ）
A ． B． C． D．
11．已知函数 f (x)的定义域为R ， f (2x+1)是偶函数， f (x 1)的图象关于点 (3,3)中
心对称，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A． f (x) = f (x+2) B． f (20) = 3
4k 1
C． f (x+2) = f (4k x),k Z D． f (i) =12k 3,k Z
i=1
12．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每
次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就
停止摸球．设 Ai =“第 i次摸到红球”，Bi =“第 i次摸到黄球”，Ci =“第 i 次摸到
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蓝球”，D =“摸完第 i次球后就停止摸球”，则（ ▲ ） i
2 2
A．P (D3 ) = B．P(D4 | A1) =
9 27
2n 1 2 2n 3
C．P(D ) = ，n 3 D．n P D | B ，n 3 n 1 ( n n 1Cn 2 ) =3 3n 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
a b 1 1 1
13．已知实数a,b满足2 = 5 = m且 + = ，则m= ▲ ．
a b 2
1
14．现有一枚质地不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为 ，则随机抛掷
2
它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为 ▲ ；若随机抛掷它 10 次得到正面朝
上的次数为 ，则E ( ) = ▲ ．（第一空 2 分，第二空 3 分）
ln( x) e a, x 0,
15．已知函数 f (x) = 若 f (x)有 4 个零点，则实数 a 的取值范
2
x + 2ax+3a 4, x 0,
围是 ▲ ．
16．已知平面向量a,b,ci (i =1,2)满足 a = 2 b = 2a b = 2， ci a =1，则 c1 2 b
+2 c2 b ( R)的最小值为 ▲ ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）在△ABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且_______．
请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选
择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：
B +C 3
① csin = asinC ；② S△ABC = (b2 + c2 a2 )．
2 4
（1）求 A；
（2）若D为边BC 上一点，且2CD = AD = BD ，试判断△ABC是锐角三角形、直
角三角形还是钝角三角形，并说明理由．
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18．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = sin x+cos x ( 0)的图象关于直线 x =
8
对称，且 f (x)在 0, 上没有最小值．
6
（1）求 f (x)的单调增区间；
x （2）已知函数 g (x) = loga (2a 4a+2) (a 0 且a 1)，对任意 x1 , ，总
4 2
存在 x2 1,2 ，使得 f (x1) g (x2 )，求实数 a 的取值范围．
19．（本小题满分 12 分）航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际
出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率．人们常用航班
正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量．现随机抽取 10 家航空公司，对
其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：
航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率 x /i % 82 77 77 76 74 73 71 70 91 69
顾客投诉次数 y /i 次 21 58 79 68 74 93 72 122 18 125
10 10 10 10
整理数据得： xi yi 53620， x
2
i 58150， y
2
i 64810， xi =760，
i=1 i=1 i=1 i=1
10
yi =730， 13 384 70．
i=1
n
xi yi nxy
（1）（i）证明：样本相关系数 r = i=1 ；
n n
2 2 2 xi nx y
2
i ny
i=1 i=1
（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留 2 位小数），并由此推断顾客投
诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若0.8 r 1，则认为线性相关程度
很强；若0.3 r 0.8，则认为线性相关程度一般；若 r 0.3，则认为线性相
关程度很弱）．
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（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班
正点率的经验回归方程为 y = 5x+a．现有一家航空公司拟通过加强内部管理来减
少由于公司自身原因引起的航班延误次数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过 73
次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？
n
(xi x)( yi y)
参考公式：样本相关系数 r = i=1 ．
n 2 n 2
(xi x) ( yi y)
i=1 i=1
20．（本小题满分 12 分）2023 年 4 月 23 日是第 28 个“世界读书日”．为了倡导学生享受
阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛．初赛中
每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级．现有甲、乙两队
3
参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为 ，乙队通过第一轮和第二轮的概
4
3 2
率分别为 , ，且各队各轮比赛互不影响．
5 3
（1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军．决赛共有两道抢答题．第
一题中，某支队伍若抢到并答对则加 10 分，若抢到但答错则对方加 10 分．第二题中，
某支队伍若抢到并答对则加 20 分，若抢到但答错则对方加 20 分．最终得分高的队伍
1
获胜．假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为 ，且每一题答对的概率分别
2
与初赛中通过对应轮次的概率相等．各队各题作答互不影响．已知甲队获得了冠军，
计算第二题是由甲队抢到答题权的概率．
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21．（本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD中，平面 ABC ⊥平面 BCD，AB ⊥ AC ，
AB = AC = 2 ，CD =1． A
（1）若 AD⊥ AB，证明：CD ⊥平面 ABC ；
（2）设过直线 AD且与直线 BC 平行的平面为 ，当
B C
AD与平面 ABC 所成的角最大时，求平面 与平面
BCD的夹角．
D
2 a,a b,
22．（本小题满分 12 分）已知 f (x) = x+1，g (x) = x +2．定义min a,b =
b,b a,
设m(x) = min f ( x t ) , g ( x 2t ) ， t R ．
（1）若 t =1，（i）画出函数m(x)的图象；
（ii）直接写出函数m(x)的单调区间；
（2）定义区间 A= ( p,q)的长度 L(A) = q p．若B = A1 A2 An (n N *)，
n
Ai Aj = (1 i j n)，则 L(B) = L(A xi )．设关于 的不等式m(x) t 的解
i=1
集为D．是否存在 t ，使得L(D) = 6？若存在，求
出 t 的值；若不存在，请说明理由．
命题：余姚中学 丁莉静
审题：象山中学 许爱民
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{#{QQABbYwQggCAABJAAQACEwUgCACQkhGACAgGwFAYsEAByQFABAA=}#}宁波市九校联考高二数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B A C A D B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
BC BD BCD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 14 15 16
100 ；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：
（1）若选①：．
．--------------------------------------------------------------------------------------1分
．------------------------------------------------------------------------------3分
． ．
又，故，故，解得．------------------------------------------5分
若选②：．----------------------------------------------2分
． ．---------------------------------------------4分
，故．-------------------------------------------------------------------------------5分
（2）． 且．
．
，即．①------------------------------------------7分
又由余弦定理得．②
联立①②可得，．---------------------------------------------------------------------9分
从而，故是直角三角形．------------------------------------------------------10分
18．解：
（1）．
的图象关于直线对称．
，解得．
当时，．
在上没有最小值．
，解得．
又，所以，所以．-------------------------------------------4分
令，
解得．
所以的单调增区间为．-----------------------------------------6分
（2）任意，均存在，使得．
．----------------------------------------------------------------------------------7分
． ． ．
又（且）在定义域上是增函数．
．----------------------------------------------------------9分
或
或．------------------------------------------------------------------------------------12分
19．解：
（1）（i）证明：
，
在上式中分别用替代，得，
同理，也有，
故样本相关系数．-------------------------------------------------4分
（ii）可知，．
，
，
，
故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强．--------------------------------------8分
（2）．------------------------------------------------------------------------10分
令，得．
即该公司的航班正点率应达到78.6%．-------------------------------------------------------------12分
20．解：
（1）（甲队晋级），（乙队晋级）．
的可能取值为．
．
．
．
的分布列为
X 0 1 2
P
-----------------------------------------------4分
．--------------------------------------------------------------6分
（2）记事件 “甲队获得冠军”， “该题由甲队抢到答题权”．
．-----------------------------------9分
故．--------------------------------------------12分
(
E
)21．解：
（1）过点作，垂足为．
平面平面，
平面平面，
，平面．
平面． ．
，，．
平面． ．
又，故平面．--------------------------------------------------------------4分
(
E
F
G
)（2）过点作，垂足为．
平面平面，
平面平面，
，平面．
平面．
是与平面所成的角．
在中，，
即．
当即时，最大，
故最大，此时．-----------------------------------------------------------------7分
记平面．过点作，垂足为，连结．
，平面，平面．
．故平面就是平面．----------------------------------------------------------------9分
平面． ．
，．
平面． ．
是平面与平面的夹角．
．
．------------------------12分
22．解：
（1）若，则，
．
．
令，
得，．
故函数的图象如右图所示．----------2分
(
图①
)的单调减区间为，，
单调增区间为，．------------4分
（2），．
．
不等式有解的必要条件是．
①当时，如图①所示，
令，即，
得．
，不符合题意．
------------------------------------------------------------6分
当时，令，得．
(
图②
)解得，．
令，得．
②当时，如图②所示，
的解集为，
的解集为，
此时．
令，解得．----------------9分
③当时，如图③所示，
(
图③
)
令，得．
．
令，解得或，均舍去．
综上所述，．-----------------------------------------------------------------------------------12分
6
