2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《第10章三角形的有关证明》期末综合复习训练题（含解析）

2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《第10章三角形的有关证明》
期末综合复习训练题（附答案）
一、单选题
1．若等腰三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．12或15
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．周长相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等 D．周长相等的两个等边三角形全等
3．用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角
4．如图，中，，的垂直平分线分别交、于D、E，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或 C．2或 D．1或2
7．如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．

10．如图，已知，，，以、两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接与相交于点D，则的周长为_________．

11．如图，在中，，，和分别是它的高和角平分线，则________．

12．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．
13．如图所示的是的正方形网格，点，，都在网格点上，则________．

14．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为__________．

15．如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为_____．
16．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为_____．

三、解答题
17．已知：如图，、分别是的外角平分线，于点，于点，．求的度数．
18．如图，在中，，
(1)求边的长的取值范围？
(2)若是的中线，求取值范围？
19．如图，，，相交于点，，分别交于点根据以上信息：

(1)请写出图中所有的全等三角形；
(2)证明：
20．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接．
(1)若的周长为8cm，的周长为20cm．
①求线段的长；
②求线段的长．
(2)若，求的度数．
21．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F．
(1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明；
(2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？
(3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？
22．【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______．
【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗 请说明理由．
参考答案
1．解：等腰三角形的两边长分别为3和6，
当腰为3，底为6时，，不能构成三角形；
当腰为6，底为3时，能构成三角形，周长为，
故选：C．
2．解：周长相等的两个直角三角形不一定全等，故A选项不符合题意；
周长相等的两个钝角三角形不一定全等，故B选项不符合题意；
周长相等的两个等腰三角形不一定全等，故C选项不符合题意；
周长相等的两个等边三角形，三边对应相等，根据SSS可证这两个等边三角形全等，故D选项符合题意，
故选：D；
3．解：用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，
第一步应假设三角形中至少有两个直角或钝角，
故选：B．
4．解：∵的垂直平分线分别交、于D、E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
5．解： ，，，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．解：由题意知，，，，
与全等，分两种情况求解：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得，，即，解得；
综上所述，的值是1或，
故选：B．
7．解：连接并延长至D，如图，
∵点O是、的垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
8．解：，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
即和都是等腰三角形；
故①正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
与不一定相等，故②错误．
在中，和的平分线相交于点，
，
，
；故③正确；
的周长为：；
故④正确；
故选：C．
9．解：∵，，
∴若用“”判断，可补充的条件是或；
故答案为：或．
10．解：由题意得是的垂直平分线，
，
，
的周长．
故答案为：11．
11．解：∵，，
∴，
∵是三角形的角平分线，
∴，
∵是三角形的高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．解：如图，
，，
．
，
．

如图，，，
．
，
，
．
综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或．
故答案为：或
13．解：延长至，连接，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
∴，
故答案为：．

14．解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当时，即，
解得：．
当时，，
∴．
∴．
∴．
∵，点C在射线上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．
如图1所示，

当时，；
如图2所示，

当时，．
综上所述，的长为2或．
故答案为：2或．
15．解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
如图所示，连接，交于点，
，
，
周长，
当三点共线时，的周长最小，为的长，
为边的中点，，，
，，
，
，
周长，
周长的最小值为7，
故答案为：7．
16．解：如图作于E，于F．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误．
故答案为：（1）（2）（3）
17．解：作于点D，如图所示，
∵是的外角平分线，，，
∴，
同理，
∴，又，，
∴平分，
∵，
∴．
18．（1）解：由三角形的三边关系可知：，
∵，
∴；
（2）解：延长至E，使，连接，
在中，∵，
∴，
∴，
由三角形的三边关系：，
∴，
∴．
19．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴．
20．解：（1）①∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴；
②∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
（2），
，
，
，
．
21．（1）解：答案不唯一，如平分，
证明如下：
∵平分，
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴
∴垂直于，即；
（2） ，理由如下：
∵平分，
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴
∴垂直于，即；
（3） ，理由如下：
∵平分，
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴
∴垂直于，即．
22．解：新知应用：
∵，
∴，
若，则；
若，则，
∴；
故答案是；
尝试探究：
证明：如图，延长到点，使得，连接，
∵，
又∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
拓展应用：
证明：连接，延长到，使，连接，
∵，，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即平分；