冀教版数学九年级上册 28.4 垂径定理 教案

28.4垂径定理
教材分析
垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据.通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育.
教学目标：
1、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；
2、能利用垂径定理进行相关的计算和证明；
3、通过观察、比较、推理、归纳等活动，培养推理能力及概括问题的能力;
4、培养学生积极探索数学问题态度及方法。使学生体验知识和发展探索和解决问题的过程，让学生品尝成功的喜悦，从而激发求知的热情．
教学重点： 垂径定理的证明与简单应用
教学难点； 垂径定理的证明与简单应用，有关的添加辅助线的方法
教学手段： 希沃授课助手辅助教学
教 具： 多媒体
学 具： 透明的纸片制作的圆
教学过程
一、复习旧知，引入新课
思考：在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间有怎样的关系？
师生活动：教师提出问题，学生回答.
设计意图：通过复习巩固这个性质，既为后面证明垂经定理作铺垫，又顺势引出新课.
探究垂经定理
一体探究：如图，在⊙0中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB,垂足为E.如果将⊙0沿CD所在的直线对折.哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能得到什么结论？
师生活动：教师先让学生拿出课前准备的用透明纸制作的圆，将⊙0沿CD所在的直线对折，给学生充足的时间进行反复操作，仔细观察.之后叫个别学生展示结果，重合的线段容易发现，但重合的弧学生可能找不全，教师可让其他学生补充完成.最后让学生用文字语言归纳所得到的结论，这个问题有难度，教师先让学生独立思考，再让同桌交流，最后全班展示，教师引导归纳出结论，即垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
提问：这个命题是我们通过折纸活动，猜想得到的，它是真命题吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考，学生容易想到，这个命题是不是真命题，需要给出严谨的演绎推理才能验证.
追问1：如何证明这个命题呢？
师生活动：教师引导学生证明这个命题，首先让学生结合图形说出命题的已知和求证，求证比较简单，已知学生可能说不完整，教师让其他学生补充完整.之后教师让学生独立书写证明过程，教师巡视，指导学困生并收集不同的证明方法.最后展示证明方法，教师先让某位学生讲解自己的方法，其他学生认真倾听，之后教师让其他学生点评并讲解不同的方法，估计学生主要用了两种方法，一是全等，二是三线合一.最后教师进行归纳，通过证明说明这个命题是真命题，那它就是定理，我们把它称之为垂经定理，教师顺势板书课题------28.4 垂经定理.
追问2：请同学们说出垂经定理的几何语言？
师生活动：教师提出问题，学生口述，教师板书几何语言.
设计意图：利用这个探究活动，引导学生探究得到了垂经定理，在探究过程中，再次加深了学生对几何学习中，由活动、猜想、验证这个常用方法的理解，培养了学生推理能力和概括问题的能力.
大家谈谈:
如图，在⊙0中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.
(1)若AM=BM,能判断CD⊥AB吗？弧AD与弧BD（或弧AC与弧BC） 相等吗？说出你的理由.
(2) 若弧AD与弧BD（或弧AC与弧BC）相等，能判断CD⊥AB吗？AM与BM相等吗？
说出你的理由.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再让学生进行讲解，这两个问题学生比较容易回答，用到的方法可能是三线合一和垂经定理，若学生使用了垂经定理，教师需注意条件是否完整，要及时点评.
提问：通过刚才的说理，说明这两个结论是成立的.请同学们对比垂经定理和这两个结论，找出他们的相同点和不同点，由此你能得到怎样的结论？
师生活动：教师先让学生独立思考，学生回答这个问题比较困难，教师需引导学生归纳出结论.
设计意图：利用这个问题，加深学生对垂经定理的理解，培养用垂经定理的方法.而且通过论证培养学生思维逻辑能力，体验探究知识的过程，提高语言归纳能力.
跟踪练习
1.如图所示,AB是⊙0的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是(　 　)
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.=
2.如图所示,已知CD为⊙0的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.
(1)若ED=2,OA=5,则AB= ;
(2)若AB=8,OA=5,则ED= .
3.已知：如图,在⊙0中，CD为⊙0的直径，AB为⊙0弦,CD⊥AB,垂足为E.求证：AC=BC.
师生活动：教师先让学生独立思考，教师巡视，指导学困生并收集不同的方法和典型错例.之后让学生进行讲解，练习1和练习2比较简单，学生容易解决，练习3稍有难度，学生可能用到的方法有三线合一和垂经定理，可让其他学生补充不同的方法，学生容易出现的错误是使用垂经定理时缺少直径这个条件，教师展示错例，让其他学生点评.
设计意图：多方练习，分层评价，设计了包括练习3有梯度的循序渐进的与相关的变式题紧跟练习，夯实知识.
例题
已知：如图所示,CD为⊙0的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.
师生活动：教师先让学生独立思考，教师巡视，指导学困生并收集不同的方法.之后让学生进行讲解，例题有难度，学生可能用到的方法有2种，一种是设半径的长，一种是设弦心距的长，可让其他学生补充不同的方法.
设计意图：通过例题训练，再次提高学生对垂经定理的理解，还加深了学生对方程思想方法的认识.
提问：如何计算半径、弦长、弦心距？
师生活动：教师提出问题，先让学生独立思考，学生通过前面练习的训练，学生就能够回答出方法，可能回答不够具体，教师需引导规范.
设计意图：通过这个问题，要让学生意识到不能为了做题而做题，要学会及时提炼方法，为后续的练习提供直接可用的思路，培养自己举一反三能力.
反思小结
请同学们说一说本节课的收获？
师生活动：教师抛出问题，学生畅所欲言，最后教师归纳小结.
设计意图：通过小结梳理本节课的知识.
布置作业
必做题：课本第165页 练习2，课本第165页 A组 第1题；
选作题：课本第165页 A组 第3题.
板书设计
教学反思
教学中，要把尊重学生、关注学生的发展动态始终放在第一位.注重学生间的合作交流，给学生多次展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励和表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的信心.在知识发生发展与应用过程中，注重数学思想方法的渗透（如方程的数学思想），教给学生解决问题的办法，使学生学会学习.在今后的学习中,我会更加努力,努力钻研教材，不断提高自己的教学水平.
第3题
第2题
第1题
28.4 垂经定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦
所对的两条弧
几何语言：
AB是直径，
,
AD=BD,AC=BC.