重庆市2022-2023学年高二下学期期末模拟最后冲刺数学试题（含解析）

重庆市2022-2023学年高二下学期期末模拟最后冲刺数学试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2、已知函数的导函数为，且，则( )
A. B.1 C.2 D.4
3、已知随机变量，且，则的最小值为( )
A.9 B.8 C. D.6
4、将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A.15 B.20 C.30 D.42
5、下列判断错误的是( )
A.若随机变量服从正态分布，，则
B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变
C.若随机变量服从二项分布，则
D.若方差，则
6、盒子里有1个红球与n个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次.若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则( )
A.3 B.4 C.6 D.8
7、已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
8、已知，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题（每小题分，共20分）
9、已知，则( )
A.展后式中的第4项为 B.展开式中的常数项为60
C.展出式中的各项系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大
10、已知（，且），其中，，则( )
A. B.
C. D.
11、已知函数，，是其导函数，恒有，则 ( )
A． B．
C． D．
12、已知，，记，则( )
A．M的最小值为 B．当M最小时，
C．M的最小值为 D．当M最小时，
三、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为__________.
14、设验血诊 某种疾病的误诊率为5%，即若用A表示验血为阳性，B表示受验者患病，则，若已知受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为___________.
15、计算，可以采用以下方法：
构造等式：，两边对x求导，
得，
在上式中令，得．
类比上述计算方法，计算____________．
16、已知函数的图象关于y轴对称，且满足，当时，.若关于x的不等式在上的整数解的个数为80，则实数a的取值范围是_____________.
四、解答题（第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）
17、已知.
（1）求的单调增区间；
（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围
18、某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对、、、、这5个样品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
（1）若样品、、选择甲方案，、样品选择乙方案.求5个样品全部测试合格的概率；
（2）若5个样品全选择甲方案，其样品测试合格个数记为X，求X的分布列及其期望：
（3）若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数，
19、已知函数，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
20、近年来，南宁大力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力发展实体经济，工业取得突飞猛进的发展.逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制糖、铝深加工等为主的4大支柱产业.广西洋浦南华糖业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示，已知.
试销单价x（元） 4 5 6 7 8 9
产品销量y（件） q 84 83 80 75 68
（1）求出q的值；
（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程；
（3）用表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的数学期望.
21、“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人” 称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们的运动情况，选取了老师们在某日的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人 参与者 合计
男教师 60 20 80
女教师 40 20 60
合计 100 40 140
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关 （2）从具有“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，求抽取的2人都为女教师的概率.
参考公式：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
22、已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：.
参考答案
1、答案：D
解析：该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为.
2、答案：A
解析：，故选：A.
3、答案：B
解析：由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B.
4、答案：C
解析：四个篮球分成三组有种分法，三组篮球进行全排列有种排法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有种分法，所以有种分法，故选C.
5、答案：D
解析：A选项：由题意，，又随机变量服从正态分布，，故A选项正确；
B选项：每一组数据均减去一个数字，不影响整体的稳定程度，故方差不变，B选项正确.
C选项：因为随机变量服从二项分布，，，故C选项正确；
D选项：因为方差，，故D选项错误.
故选：D.
6、答案：B
解析：设事件A为至少有一次取到红球，事件B为两次都取到红球，由每次取后放回知
，
两次都取到白球的概率为，
故，
，故.
故选：B.
7、答案：D
解析：设切点为 切线斜率为,
∴ 切线方程为, 将 代入得方程, 即,
由题设该方程有 3 个不等实根.
令,
由三次函数图象知, 故选 D.
8、答案：C
解析：函数，不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，即的解集中恰有两个不同的正整数解，即恰有两个不同的正整数解，令，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，，，，画出函数和的图象如图所示，要使恰有两个不同的正整数解，即1和2，则需满足，即， 解得，即.
9、答案：BCD
解析：的展开式的通项，
对于A，展开式中的第4项为，所以A不正确；
对于B，令，解得，所以展开式中的常数项为，所以B正确；
对于C，令，得展开式中各项系数之和为，所以C正确；
对于D，由可知展开式共有7项，所以展开式中第4项的二项式系数最大，所以D正确.故选BCD.
10、答案：ACD
解析：由得，由得，
所以，，所以，A选项正确；
因为，，所以在中，令，可得，所以B选项不正确；
由题可得，，
所以，所以，
所以选项C正确；
因为，，所以在中，令，可得，
又，所以，所以D选项正确.
故选ACD.
11、答案：AD
解析：因为，所以，
又，所以．构造函数，，
则，所以在上为增函数，
因为，所以，
所以，即，故A正确；
因为，所以，
所以，即，故B错误；
因为，所以，
所以，即，故C错误；
因为，所以，
所以，即，故D正确，故选AD.
12、答案：BC
解析：由，得：，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由得：，
与直线平行的直线的斜率为，
则令，解得：，∴切点坐标为
∴到直线的距离，
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为，
∴的最小值为，
过与垂直的直线为，
即，
由，解得：，即当M最小时，．
13、答案：
解析：因为，
所以，
所以，
即切线的斜率为-1，倾斜角为.
故答案为：.
14、答案：
解析：由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
15、答案：
解析：构造等式：，两边同乘，得，再两边对求导，得到，
在上式中，令，得.
16、答案：
解析：因为，所以的图象关于直线对称，
所以，又函数的图象关于y轴对称，所以，所以，所以8是的周期.因为为偶函数且周期为8，在上的整数解的个数为80，所以不等式在一个周期内有4个整数解.因为的图象关于直线对称，所以在内有2个整数解.因为，所以由，可得或.当时，，则，令，解得，所以当时，，单调递增，且；当时，，单调递减.
作出在内的图象，如图所示，
由图象可得在内无整数解，所以在内有2个整数解.因为，，，所以在内的整数解为和，所以，解得.
17、
（1）答案：当，的单调增区间为
当，的单调增区间为
解析：若，则，此时的单调增区间为；
若，今，得，此时的单调增区间为.
（2）答案：
解析：由（1）可知.在R上恒成立，
时，，，
即a的取值范围为.
18、答案：（1）
（2）分布列见解析，
（3）选择甲方案测试的样品个数为3，4或者5
解析：（1）因为样品、、选择甲方案，、样品选择乙方案，由已知样品、、测试合格的概率为，样品、测试合格的概率为，
所以5个样品全部测试合格的概率为；
（2）由已知随机变量X的取值有0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
；
（3）设选择甲方案测试的样品个数为n，，1，2，3，4，5则选择乙方案测试的样品个数为，并设通过甲方案测试合格的样品个数为，通过乙方案测试合格的样品个数为，
当时，此时所有样品均选邦方案乙测试，则，
所以，不符合题意；
当时，此时所有样品均选择方案甲测试，则，
所以，符合愿意；
当，2，3，4时，，
所以，
若使，则，
由于，2，3，4，故，4时符合题意，
综上，选择甲方案测试的样品个数为3，4或者5时，测试合格的样品个数的期望不小于3.
19、
（1）答案：是的极大值点，无极小值点
解析：由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点.
（2）答案：当时，恒成立
解析：设，，
则，
令，，
则对任意恒成立，
所以在上单调递减.
又，，
所以，使得，即，则，
即.
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立.
20、答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)依题意，解得.
(2)依题意，，.所以.
(3)列表得：
x 4 5 6 7 8 9
y 90 84 83 80 75 68
90 86 82 78 74 70
0 2 1 2 1 2
所以，“好数据”有三个.于是的可能取值为.
，，，.所以数学期望为.
21、答案：（1）不能；（2）.
解析：（1）根据列联表数据得：
∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.
（2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人，
抽取的男教师记为；女教师记为.
从抽取的这五名教师中选取2名，有共10种选法，
其中2人都是女教师的选法有一种选法，记事件为“抽取的2人都为女教师”，则抽取的2人都为女教师的概率.
22、
（1）答案：的递增区间为，递减区间为
解析：函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.
（2）答案：见解析
解析：因为，故，即，故，设，，由(1)可知不妨设，.
因为时，，时，，
故.先证：，若，必成立.
若，要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，综上，成立.
设，则，结合，，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，，则，
先证明一个不等式：.设，则，
当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.