重庆市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 重庆市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 625.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-22 05:47:41 | ||
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文档简介
重庆市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求．
1．i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
2．如图，直角三角形ABC绕直角边AC旋转360°，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
3．如图，是的直线观图，其中轴，且，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
4．已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC的距离10m，，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，且，则，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，P的线段AB上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
B．侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．在中，若，则为锐角三角形
D．长方体的长宽高分别为3、2、1，该长方体的外接球表面积为14π
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数为纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．的最大值为3
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若复数，则
B．中若，，，则有唯一解得
C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D．中，点O为外心，H为垂心，则
12．已知的内角分别为A，B，C满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A．若为直角三角形，则 B．若，则为等三角形
C．若，则的面积为 D．若，则
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知方程的一个根z在复平面上对应点的坐标为则的值为______．
14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高是______m．
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当
取最大值时，______．
16．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则面积的最大值为______，四边形ABCD的面积为______．（注：圆内接凸四边形对角互补）
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，己知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高，E为BC的中点，根据正棱锥信息知道，O为中心
（1）求正三棱锥表面积；
（2）求正三棱锥的体积．
18．（12分）已知向量，，，与夹角为90°．
（1）若，求k的值；
（2）设复数且复数满足．在最大时，求此时的值．
19．（12分）已知，，其中记且的最小正周期为π．
（1）求的单调递增区间．（注意是写成区间）
（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且求的值，
20．（12分）①，②函数的最小值为，③这三个条件任选一个，补充在下面问题中，并解答案．
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c______．
（1）求A；
（2）求，且的平分上的点D满足，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（12分）如图直线DE与的边AB，AC分别相交于点D，E．设，，，．
（1）若，F为的外心，求的值，
（2）求证：．
22．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于P，，以P为圆心，为半径的圆上有一个动点T，求的最大值．
重庆市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试参考答案
1-8：CABCD BCC
9-12：AB；ACD；BCD；BD；
13．－1；14．；15．；16．，；
17．解：（1）在直角三角形SOE中，
，则，
在中，，∴，∴，
所以正三棱锥表面积为：．
（2）在正三棱锥中，，
所以．
18．解：∵，，且与夹角为90°，
∴，∴，∴，∴，
（1）∵，，且，
∴，∴．
（2）∵，，∴
设，，∵，∴，即
又∵可看作到原点的距离，
∴圆上的点到原点的距离最大值为圆心到原点的距离加1，
即，∴的最大值为10，此时，，∴，．
19．解：（1）
，
又∵，∴，∴，
令，，∴，，
∴的单调递增区间为，．
（2）∵，∴，
∵，∴．∵，∴，∴，
由正弦定理得：，
又∵，∴，∴．
20．解：（1）选条件①，因为，
所以利用正弦定理可得，
得
结合实际，得，所以，
又，所以．
（2）在中，设，则，
由余弦定理可得，解得．
设，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
解得，，所以在中，，，
可得，又，所以．
21．（1）解：中，，F为的外心，设外接的半径为R，
所以
（2）证明：因为，所以
即．
又因为
所以
即
22．解：（Ⅰ）由正弦定理及，
得，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
（Ⅱ）以A为坐标原点．AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，∴，
∵，∴，∴，
又∵P为三角形的重心，∴，
∴圆P：，设
∴，，，
∴，
∴
，∴．
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求．
1．i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
2．如图，直角三角形ABC绕直角边AC旋转360°，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
3．如图，是的直线观图，其中轴，且，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
4．已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC的距离10m，，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，且，则，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，P的线段AB上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
B．侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．在中，若，则为锐角三角形
D．长方体的长宽高分别为3、2、1，该长方体的外接球表面积为14π
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数为纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．的最大值为3
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若复数，则
B．中若，，，则有唯一解得
C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D．中，点O为外心，H为垂心，则
12．已知的内角分别为A，B，C满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A．若为直角三角形，则 B．若，则为等三角形
C．若，则的面积为 D．若，则
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知方程的一个根z在复平面上对应点的坐标为则的值为______．
14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高是______m．
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当
取最大值时，______．
16．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则面积的最大值为______，四边形ABCD的面积为______．（注：圆内接凸四边形对角互补）
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，己知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高，E为BC的中点，根据正棱锥信息知道，O为中心
（1）求正三棱锥表面积；
（2）求正三棱锥的体积．
18．（12分）已知向量，，，与夹角为90°．
（1）若，求k的值；
（2）设复数且复数满足．在最大时，求此时的值．
19．（12分）已知，，其中记且的最小正周期为π．
（1）求的单调递增区间．（注意是写成区间）
（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且求的值，
20．（12分）①，②函数的最小值为，③这三个条件任选一个，补充在下面问题中，并解答案．
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c______．
（1）求A；
（2）求，且的平分上的点D满足，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（12分）如图直线DE与的边AB，AC分别相交于点D，E．设，，，．
（1）若，F为的外心，求的值，
（2）求证：．
22．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于P，，以P为圆心，为半径的圆上有一个动点T，求的最大值．
重庆市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试参考答案
1-8：CABCD BCC
9-12：AB；ACD；BCD；BD；
13．－1；14．；15．；16．，；
17．解：（1）在直角三角形SOE中，
，则，
在中，，∴，∴，
所以正三棱锥表面积为：．
（2）在正三棱锥中，，
所以．
18．解：∵，，且与夹角为90°，
∴，∴，∴，∴，
（1）∵，，且，
∴，∴．
（2）∵，，∴
设，，∵，∴，即
又∵可看作到原点的距离，
∴圆上的点到原点的距离最大值为圆心到原点的距离加1，
即，∴的最大值为10，此时，，∴，．
19．解：（1）
，
又∵，∴，∴，
令，，∴，，
∴的单调递增区间为，．
（2）∵，∴，
∵，∴．∵，∴，∴，
由正弦定理得：，
又∵，∴，∴．
20．解：（1）选条件①，因为，
所以利用正弦定理可得，
得
结合实际，得，所以，
又，所以．
（2）在中，设，则，
由余弦定理可得，解得．
设，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
解得，，所以在中，，，
可得，又，所以．
21．（1）解：中，，F为的外心，设外接的半径为R，
所以
（2）证明：因为，所以
即．
又因为
所以
即
22．解：（Ⅰ）由正弦定理及，
得，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
（Ⅱ）以A为坐标原点．AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，∴，
∵，∴，∴，
又∵P为三角形的重心，∴，
∴圆P：，设
∴，，，
∴，
∴
，∴．
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