仁寿第一中学校2022-2023学年高二下学期期末理科数学模拟试卷二
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 从4个男生 3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4. 某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.076 3.841 5.024 6.635
则下列说法中正确的是：（ ）
A. 有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
B. 有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
5. 执行下面的程序框图，输出的（ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
6. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，且，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 随机变量，若，则
8. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
9.已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值 为
A． B． C． D．
10. 甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 最高处的树枝一定是 B. 这九根树枝从高到低不同的顺序共有24种
C. 最低处的树枝一定是 D. 这九根树枝从高到低不同的顺序共有21种
11. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
12.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置.
13. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 26 34 38
由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．
14. 已知曲线在点处的切线方程为，则
15、已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是
16. 颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在(n≥3，n)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中含的项．
18. (本题满分12分）受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由于室外滑雪场需要特殊的气候环境，为了满足日益增长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某投资商抓住商机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑雪场的季利润数据如下：
第个季度 1 2 3 4 5 6
季利润（万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5
根据上面的数据得到的一些统计量如下：
4.3 0.5 101.4 14.1 1.8
表中，.
(1)若用方程拟合该室内滑雪场的季利润与季度的关系，试根据所给数据求出该方程；
(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；
附：线性回归方程中，，.参考数据：
19. (本题满分12分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
20. (本题满分12分）某商场举行优惠促销,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种:方案一:每满200元减50元；方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
(1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得优惠的概率；
(2)若某顾客选择方案二,请分别计算该顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠的概率；
(3)若小明的购物金额为320元,你觉得小明应该选取哪个方案,为什么？
21. (本题满分12分）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，且对任意恒成立，求的最大值．
22、(本题满分12分）已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）证明：且）.仁寿第一中学校2022-2023学年高二下学期期末理科数学模拟试卷二答案解析
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由已知可得，
所以复数的共轭复数，
所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限.
故选：A.
2. 从4个男生 3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3.展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4. 某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.076 3.841 5.024 6.635
则下列说法中正确的是：（ ）
A. 有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
B. 有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
【答案】C
【解析】由题意可知，，
所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”. 故选：C.
5. 执行下面的程序框图，输出的（ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
【答案】B
【解析】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
故选：B.
6. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，
随机选取两个不同的数，基本事件总数，
其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，
所以.故选：B
7. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，且，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 随机变量，若，则
【答案】B
【解析】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数绝对值越接近于，故A正确；
由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称，
所以，则，故B错误；
根据线性回归直线的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确；
随机变量，若，
则，故D正确；
故选：B.
8. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选：B.
9.已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值 为
A． B． C． D．
【答案】D
10. 甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 最高处的树枝一定是 B. 这九根树枝从高到低不同的顺序共有24种
C. 最低处的树枝一定是 D. 这九根树枝从高到低不同的顺序共有21种
【答案】D
【解析】题意，可判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，最高可能为G或I，最低为F或H，故选项A错误，C选项错误；
先看树枝，有3种可能，则有2种可能，若在，之间，则有4种可能，
若在，之间，则有3种可能，此时树枝的高低顺序有（种）可能，故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故B选项错误，D选项正确.
故选：D
11. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
故单调递减，故，
由，
设函数，则，
当时，，递减，当时，，递增，
故，即，当时取等号，
由于 ，故，即，故，
故选：A.
12.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数,且，
（1）当时，恒成立，函数单调递增，满足的不唯一，不符合题意.
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，
函数有一的极大值.要保证函数，存在唯一的整数，使得需保证，从而，解得，
①当，则，, 不符合题意，
②当，此时，，
画出函数大致图象：如图
当，满足函数，存在唯一的整数，使得
可得 ，即：
无解，舍去
当，，，满足函数，存在唯一的整数，使得,可得： ，即：，
(与大小比较，参考与比较大小方法)解得：
.故选：A.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置.
13. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 26 34 38
由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．
【答案】
【解析】根据表格数据可得，，，根据回归直线性质，经过样本点中心，即，故，得，故回归直线为，当，.
故答案为：
14. 已知曲线在点处的切线方程为，则
【答案】－3
【解析】由题意可得，
根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；
所以切点为，代入切线方程可得，解得.
15、已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是
【答案】96
16. ．颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________．
【答案】
【解析】连接，交于点H，由题意得，
设cm，则cm，cm
因为所以，
六棱锥的高cm．
正六边形的面积cm2，
则六棱锥的体积 cm3．
令函数，
则，
当时，，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以 cm3．
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在(n≥3，n)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中含的项．
【解析】（Ⅰ）. 展开式中第2，3，4项的二项式系数依次为，，
…………………………………………………………………………..3分
化简整理得，即………………………………………4分
n≥3，n
……………………………………………………………………………………….5分
（Ⅱ）.当时，展开式项为
,其中且…………..7分
令，得…………………………………………………………………….8分
展开式中含的项……………………………………………………………….10分
18. (本题满分12分）受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由于室外滑雪场需要特殊的气候环境，为了满足日益增长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某投资商抓住商机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑雪场的季利润数据如下：
第个季度 1 2 3 4 5 6
季利润（万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5
根据上面的数据得到的一些统计量如下：
4.3 0.5 101.4 14.1 1.8
表中，.
(1)若用方程拟合该室内滑雪场的季利润与季度的关系，试根据所给数据求出该方程；
(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；
附：线性回归方程中，，.参考数据：
【解析】（1）由，先求y关于u的线性回归方程，由已知数据得，
故，所以y关于u的回归方程为，故y关于x的回归方程为；
（2）令，得，所以，故从第12个季度开始季利润超过6.5万元；
19. (本题满分12分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）3月3日
【解析】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，
甲乙微信记步数都不低于10000，故.
（2）由（1）知：，
，，，
的分布列为：
（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，
（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，
人，人，人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数15000到20000万之间，
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.
20. (本题满分12分）某商场举行优惠促销,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种:方案一:每满200元减50元；方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
(1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得优惠的概率；
(2)若某顾客选择方案二,请分别计算该顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠的概率；
(3)若小明的购物金额为320元,你觉得小明应该选取哪个方案,为什么？
【答案】（1）（2），，（3）第二种方案比较划算，理由见详解.
【详解】（1）记某顾客获得优惠为事件A，则，
两个顾客至少一个人获得优惠的概率：
（2）记某顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠分别为事件B,C,D,
,,
若选择方案一，则付款金额为元；
若选择方案二，记付款金额为元，则可取.
；；；，则，
第二种方案比较划算.
21. (本题满分12分）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，且对任意恒成立，求的最大值．
【答案】（1）由题意得：定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由得：，则当时，恒成立；
令，则；
①当时，恒成立，在上单调递增，，
则，解得：，，又，或；
②当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增，，，令，则，
当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；
又，，，可能的取值为；
综上所述：的最大值为.
22、(本题满分12分）已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）证明：且）.
【解析】（1），
，，
令，
令，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减.
，
故存在使，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，
，所以在区间，，
所以在区间上递增，最小值为.
（2）由（1）可知在区间上恒成立（），所以，
对于函数，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，即，
所以，
即在区间上恒成立，
所以
试卷第1页，共3页
