青岛版数学九年级上册 4.2 用配方法解一元二次方程 教案

《4.2用配方法解一元二次方程》教学设计
内容和内容解析
内容
用配方法解一元二次方程．
内容解析
方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型，一元二次方程是方程模型中的重要一类．一元二次方程可以看作是对一元一次方程在“次”上的推广，通过“降次”将其转化为一次方程求解．
配方法是解一元二次方程的通法之一．本节课是在学生结合具体方程学习用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的基础上，从三个维度上进行的生长：①基于例2，以“黄金分割比”为问题背景的二次项系数是1的一元二次方程的应用，复习巩固旧知，凸显一元二次方程的模型价值；②基于例3，学习数字系数的二次项系数不是1的一元二次方程的解法；③基于问题思考，通过配方法解关于x的一般的二次项系数是1的一元二次方程，得到二次项系数是1的一元二次方程的求根公式。
三个维度的设计，为学生学习一元二次方程解法，构建连贯的研究过程提供了必要的支持，为后续的公式法中一元二次方程求根公式的推导和后续的二次函数等知识的学习奠定重要基础，积累必要经验。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：会用配方法解一元二次方程．
目标和目标解析
目标
（1）会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，掌握配方的基本步骤，体会化归思想．
（2）通过配方法解一般的二次项系数是1的一元二次方程，并直接应用结论解具体的二次项系数是1的一元二次方程，体会一般性推导的必要性和一般性结论的普适性．
目标解析
达成目标（1）的标志是：会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，知道用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的基本步骤：
①二次项系数化为1——方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数不是1的一元二次方程转化为二次项系数是1的一元二次方程；
②移项——将二次项和一次项移到等号左边，将常数项移到等号右边；
③配方——将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程一边化为含有完全平方的式子，即的形式；
④由平方根的意义，开平方降次——将一元二次方程转化为一元一次方程；
⑤解一元一次方程，得到一元二次方程的解．
达成目标（2）的标志是：当p与q都是常数，且p2≥4q时，能用配方法解关于x的一般的二次项系数是1的一元二次方程，得到此方程的解为．通过再解方程，对比用配方法解方程和直接将p和q对应的具体数值代入公式求解的过程，体会一般性推导的必要性和一般性结论的普适性．
教学问题诊断分析
学生原有的知识基础中主要有两部分内容为本课的教学奠定重要的认知基础：
（1）学生会用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，具有一定的化归思想；
（2）学生会对简单的含有字母系数的方程进行恒等变形及分式运算．
本节课通过复习巩固用配方法解二次项系数是1的一元二次方程和研学掌握解二次项系数不是1的一元二次方程，让学生充分经历用配方法解数字系数的一元二次方程的过程．
基于此，在学生研究用配方法解字母系数的二次项系数是1的一元二次方程的过程中，学生思维可能遇到一定的挑战，困难在于字母符号多和分式运算复杂以及代数式符号的确定．此外，学生往往关注怎样通过计算推导结论，而对一般性推导的必要性和推导所得结论的普适性有所忽视，学生对一般性和特殊性之间的关系理解不够深刻．
基于以上分析，本节课的教学难点是：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程．
教学过程设计
1．情境激趣，复习旧知
活动1：播放微视频，激发学生兴趣，教师提示学生留意其中的比例关系．学生观看视频．
图1 图2 图3 图4
活动2：复习旧知，学生用配方法解一元二次方程，得到“黄金分割比”．
图5
设计意图：基于学生的“最近发展区”，设计充满科技感的微视频，激发学生学习兴趣，通过解决前面所列方程，得到“黄金分割比”．一方面，引导学生关注一元二次方程模型的重要作用，引导学生用数学的眼光观察世界；另一方面，复习巩固用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，为本课的教学奠定重要的认知基础，让学生以自信、轻松、安全的心理状态投入本课的学习活动．
2．问题思考，研学新知
活动3：问题思考，引导学生探寻用配方法解决二次项系数不是1的一元二次方程的办法．通过有效转化，解决问题．
预设问题：一元二次方程的二次项系数不是1，我们该怎样消除它二次项系数上的差异呢？
学生回答：方程两边同时除以2．
预设问题：方程两边同时除以2的目的是什么呢？
学生回答：二次项系数化为1，将方程转化为二次项系数是1的一元二次方程．
图6
设计意图：结合具体的探寻用配方法解一元二次方程的过程，一方面，通过问题设计引导学生观察方程代数结构，通过“二次项系数化为1”这一关键过程，将二次项系数不是1的一元二次方程转化为二次项系数是1的一元二次方程，让学生体会蕴含其中的化归思想，另一方面，巩固“配方”这一核心过程，让学生独立完成，发展学生数学运算能力．
3．当堂演练，巩固新知
活动4：学生独立思考，动笔演算，用配方法解决练习1中的2道方程，借助希沃授课助手，学生代表讲解展示解题思路和过程，及时小结，积累解题经验．
活动5：学生独立思考，动笔演算，用配方法解决练习2中的2道方程，借助希沃授课助手，学生代表讲解展示解题思路和过程，及时小结，积累解题经验．
图7 图8 图9
图10 图11 图12
设计意图：习题设计具有一定的难度梯度，让学生思维和能力得以逐步提升．通过两组用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的练习题，有效的巩固新知，强化技能，发展学生“数学运算”这一核心素养．课堂的组织“动”“静”结合，为学生的学习提供合适必要的支持。依托学案，让学生独立思考，规范计算；依托WiFi网络，借助希沃授课助手APP，实现学生计算过程的便捷传输，为学生的思维成果展示提供高效的信息技术支持，有效的实现信息技术与数学教学的深度融合，充分的落实学生的主体地位．
4．拓展探究，挑战自我
活动6：探究思考问题“如果p与q都是常数，且p2≥4q，你会用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0吗？试一试.”，先独立思考，再小组合作，后小组汇报．
图13 图14
问题预设：已知条件“p与q都是常数，且p2≥4q”具有怎样的作用？
学生回答：确保配方后方程右边的代数式≥0．
活动7：利用结论，确定p与q的具体值，将其代入结论公式，再解方程．
问题预设：大家计算的结果和刚才计算的结果一致吗？哪种方法更简洁？
学生回答：结果一致，直接代入更简洁．
设计意图：让学生通过解一个字母系数的二次项系数是1的一元二次方程，并利用计算结论再解方程，让学生充分体会一般性推导的必要性和一般性结论的普适性，为后续的公式法中一元二次方程求根公式的推导和后续的二次函数等知识的学习奠定重要基础，积累必要经验．教学过程中，为学生的独立思考和小组合作、展示汇报提供充分的时空保证，教师深入小组，成为学生学习的伙伴，借助WiFi网络下的手机APP希沃授课助手，为学生小组合作成果的展示和汇报提供必要的技术支持，让学生的“学”真正的成为课堂的主旋律．
5．总结反思，盘点收获
活动8：回顾本节课学习用配方法解一元二次方程的全过程，请学生从“数学知识与学习内容”、“探索过程、策略方法与学习经验”、“数学思想与学习感悟”、“小组合作与学习感受”等四个主要方面进行总结与反思，与老师和同学们分享学习的收获．与此同时，教师也与学生分享自己的感悟．
图15 图16
预设问题：怎样用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程？一般步骤是什么？
预设问题：你还有哪些想要探究的问题吗？
教师分享：方程是刻画现实世界中等量关系的有效模型，它存在于我们平凡而又美好的生活之中，人生亦如方程，我们只有用勤劳的汗水去解，用勇敢的探索去解，用转化的智慧去解，那么我们人生方程的解,才是成功和卓越，才是快乐和幸福！
设计意图：通过本环节，充分发挥数学学科的育人价值，使学生逐步养成总结反思，发现问题，提出问题的学习习惯，使课堂逐步形成体验交流和智慧分享的文化氛围．
6．拓展延伸，开放时空
活动9：教师提出思考问题，学生带着“问题”走进课堂，带着“思考”走出课堂．
预设问题：同学们，我们探索的脚步并没有停止，一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是否也能通过配方法推导出一个公式呢？
设计意图：引导学生的思考逐步走向深入，以问题思考结束课堂教学，让学生带着问题走进课堂，带着思考走出课堂，让课堂的学习延续到课后．这样的
图17 设计有效的开放教学时空，实现知识学习探索的拓展与延伸，为下一课时公式法的教学奠定知识和思维基础．