2023年7月浙江省金华市高二数学学考模拟卷解析
考试范围：必修第一册、第二册考试，时间：80分钟
一、单选题
1．已知集合，集合，那（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由于，所以.故选：A
2．设，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对复数化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】因为，所以，
所以的虚部为，故选：C
3．下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为；
对于B选项，函数的定义域为；
对于C选项，函数的定义域为；
对于D选项，函数的定义域为.故选：B.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】解：当时，，
而当时，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A
5．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】列举出所有可能的结果，利用古典概型计算概率即可.
【详解】根据题意，闭合两个开关所有的可能为，
其中能形成闭合电路的为，
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
6．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）.
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果
【详解】因为向量，，所以，
因为()∥，，所以，解得，故选：B
7．已知球O的体积为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.
【详解】设球的体积为，则由题可得，解得，
则该球的表面积为.故选：D.
8．已知，则的最大值是（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】C
【分析】由利用均值不等式可得答案.
【详解】由有
当且仅当时，取等号.
所以，即,所以所以故选：C
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，考查指数的运算，属于基础题.
9．函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.
【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
10．若：；：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】由不能推出，例如，
但必有，
所以：是：的必要不充分条件.
故选：B.
11．如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】分析：根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案．
详解：∵D为AB的中点，∴
∵∴∴O是CD的中点，∴S△AOC=S△AOD=S△AOB=S△ABC，
故选B．
点睛：本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
12．如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，锐二面角的大小为.当增大时，（ ）
A．增大 B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积求解.
【详解】由题意，三棱锥 是正四面体，以 的重心为原点，BC边的中线PG为x轴，
OA为z轴，过O点平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图：
设三棱锥P-ABC的棱长为 ，则有： ，
， ，
，
设 是平面ABD的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，解得 ，
显然 是平面PBC的一个法向量，
；
显然当时（x的取值范围是 ）， 最大，
当 或 时， 都变大，即 变小；故选：B.
二、多选题
13．图象经过第三象限的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.
【详解】由幂函数的图象可知，
A中，过第一、二象限；
B中，过第一、三象限；
C中，且定义域为R，过第一、二象限；
D中，过第一、三象限.故选：BD
14．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
【答案】ACD
【分析】垂直于同一平面的两条直线平行，A正确；当时结论未必成立，B错误；证明CD正确，得到答案.
【详解】对选项A：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；
对选项B：当时结论未必成立，错误；
对选项C：，故，又，故，正确；
对选项D：，，则或，排除，则，正确.
故选：ACD.
15．在锐角中，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦定理可判断AB；根据的范围和两角和的正弦展开式可判断C；取特殊值可判断D.
【详解】对于A，根据正弦定理，因为可得，故A正确；
对于B，因为可得，再由正弦定理可得，故B正确；
对于C，因为中，所以，所以，故C正确；
对于D，当，故D错误
故选：ABC.
16．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由奇偶性定义可知为偶函数，分别在、和三种情况下得到大致图象，由此确定选项.
【详解】，为偶函数，
当时，，此时图象与相符；
当时，若，则，此时单调递增，
由偶函数性质可知：在上单调递减，图象与相符；
当时，若，则（当且仅当，即时取等号），
即在上存在最小值，又当时，，
由偶函数性质可得的图象，知图象与相符.
故选：.
三、双空题
17．若，，则________；_______.
【答案】 2 1
【分析】利用换底公式得，，，从而有，再利用对数的加法运算求值.
【详解】由换底公式得，，.
所以，.故答案为：2；1.
四、填空题
18．棱长都是厘米的三棱锥的体积是_________.
【答案】/
【分析】求出棱锥的高后由体积公式计算结论．
【详解】如图正四面体中棱长为4，是棱锥的高，是底面的中心，是中点，
，，
（）．
故答案为：．
19．已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】先变形：，再根据基本不等式求最值.
【详解】
当且仅当时取等号
即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．已知向量，向量满足，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据平行四边形性质可得，再结合基本不等式即可求出的最小值.
【详解】由平行四边形性质可得：，
由基本不等式可得：，当仅当时等号成立，
所以，即，
所以，所以的最小值为.故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.
五、解答题
21．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；
（3）根据题意确定抽样比，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
（2）解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，
这次测试成绩的平均数为 （分）.
（3）解：测试成绩位于的频率，
位于的频率，
因为，所以确定的5人中成绩在内的有3人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，
从5人中随机抽取2人的样本空间：共有10个样本点，
其中，即，
所以概率为.
22．已知函数．
（1）求的值；
（2）若角是锐角的一个内角，且，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先根据两角和的三角公式、二倍角公式化简函数的解析式，再求的值；（2）先根据得到，再得到，最后将化成，根据两角差的余弦公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意知
，
．
（2），
，
．
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、特殊角的三角函数值等知识，考查考生的运算求解能力．在求解本题第（2）问时要注意条件“锐角”的运用，若注意不到这点，则会得到，从而多解．
23．已知函数， 其中为常数，且.
(1)若是奇函数， 求a的值；
(2)证明：在上有唯一的零点；
(3)设在上的零点为，证明：.
【答案】(1)
【分析】（1）是奇函数，由恒成立，求a的值；
（2）在上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；
（3）把零点代入函数解析式，有，由零点所在区间得，化简变形可得结论.
【详解】（1）由题意， ， 恒成立，
即，化简得 ， 解得.
（2）由题意， ，
∵， ∴和在上都是连续增函数，
∴在上是连续增函数，
又， ，
所以，由零点存在定理可知在上有唯一的零点.
（3）由可知 ， 即，
由（2）可知 ，∴，
，即，所以.
【点睛】思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.2023年7月浙江省金华市高二数学学考模拟卷
考试范围：必修第一册、第二册考试，时间：80分钟
一、单选题
1．已知集合，集合，那（ ）
A． B． C． D．
2．设，则z的共轭复数的虚部为（ ）A． B． C． D．
3．下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）.
A． B． C．1 D．2
7．已知球O的体积为，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．
8．已知，则的最大值是（ ）A． B．6 C．2 D．
9．函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．若：；：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，锐二面角的大小为.当增大时，（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
二、多选题
13．图象经过第三象限的函数是（ ）
A． B． C． D．
14．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，，则
15．在锐角中，有（ ）
A． B．
C． D．
16．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
三、双空题
17．若，，则________；_______.
四、填空题
18．棱长都是厘米的三棱锥的体积是_________.
19．已知，，且，则的最小值为______.
20．已知向量，向量满足，则的最小值为______.
附：答题纸
一、单选题：（12*3=36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、多选题： ( 4*4=16分)
题号 13 14 15 16
答案
三、双空题：(3*2=6分) 17.________ ________
四、填空题：(3*3=9分) 18.________ 19.________ 20.________
五、解答题
21．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.
22．已知函数．
（1）求的值；
（2）若角是锐角的一个内角，且，求的值．
23．已知函数， 其中为常数，且.
(1)若是奇函数， 求a的值；
(2)证明：在上有唯一的零点；
(3)设在上的零点为，证明：.
