广东省深圳市盐田区2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市盐田区2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-22 09:46:28 | ||
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文档简介
深圳市盐田区2022-2023学年高二下学期5月月考
数学试题
注意事项：
1 答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试时间为120分钟，满分150分
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直线，若，则实数的值为（ ）
A.0 B.1 C.0或1 D.或1
2.广东省新高考采用的是“”模式：“3”为全国统考科目语文 数学 外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理 历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治 地理 化学 生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A.4种 B.6种 C.8种 D.12种
3.有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）.观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
5.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.椭圆的左 右顶点分别为，点在椭圆上（不与重合），且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列是递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.
10.一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的是（ ）
A.数据的中位数为11
B.一组数据的第70百分位数为16
C.随机变量服从正态分布，则标准差为2
D.设随机事件和，已知，则
12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为4
C.勒洛四面体的体积是
D.勒洛四面体内切球的半径是
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则__________.
14.已知为圆上的动点，则的最大值为__________.
15.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，则__________.
16.关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________.
四 解答题（共6小题，第17题10分，其余题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（10分）在中，的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
18.（12分）已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前100项和.
19.（12分）一年或多年连续种植同一种农作物，会对生产造成不利影响，某校生物科技小组，在同一块试验田内交替种植三种农作物（该试验界每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.
（1）在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；
（2）在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及数学期望.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
22.（12分）已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
深圳市盐田区2022-2023学年高二下学期5月月考
数学参考答案及评分意见
1.C 【解析】，即，解得或.故选C.
2.B 【解析】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，则须在思想政治 地理 生物中再选出1个科日，选法有3种；②小明在物理 历史科目中选出1个，选法有2种.由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）.故选B.
3.C 【解析】设第一次抽到次品为事件，第二次抽到次品为事件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.故选C.
4.A 【解析】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如下图，
则设抛物线的方程为，由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为1.故选.
5.B 【解析】设等比数列的公比为，又成等差数列，所以，则，即，解得（负值舍去），所以.故选B.
6.A 【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则.设异面直线与所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为.故选A.
7.B 【解析】设点坐标为，则，
于是，故.故选B.
8.B 【解析】注意到，则.令，其中.则，得在上单调递增，在上单调递减，则，又函数在上单调递增，则，即.故.故选.
9.AC 【解析】A选项，令，则，是递增数列；B选项，令，则不合题意；选项，令，则，符合题意；D选项，令，则，不合题意.故选AC.
10.BC 【解析】点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即，因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即，解得或，则反射直线的方程为或.故选.
11.BCD 【解析】对于，选项中的数据按从小到大顺序排列为，故中位数为10，故错误；对于，选项中的数据共有10个数，，即第7个数与第8个数的平均数为16，则这组数据的第70百分位数是16，故B正确；对于C，因为服从正态分布可知：方差为4，故标准差为2，故C正确；对于D，由全概率公式.，故D正确.故选BCD.
12.BD 【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故不正确；根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B正确；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.如图3，在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，连接，由正四面体的性质可知在上.因为，所以，则.因为，即，解得，则正四面体外接球的体积是.因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，则错误；因为，所以，则D正确.故选BD.
13. 【解析】若，则有，即，解得.故答案为.
14.72 【解析】设，由在圆上，可得，又，则，可得当时，取到最大值.故答案为72.
15. 【解析】第行的第个数为，即.故答案为.
16. 【解析】由，得，令，解得：，令解得：；令解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为.
17.解：（1）在中，的对边分别为，
由正弦定理得.
因为，所以，，
.
，
.
（2）由题意，
则，
则，
由，得，
则，
故的取值范围为.
18.解：（1），
当时，则，
当时，，
所以，所以.
又因为，
对任意正整数都有，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）知，等差数列的通项公式，
于是，
所以
.
19.解：（1）设表示第次种植作物的事件，其中.
在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为：
（2）由已知条件，在第1次种植的前提下：，
.
因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，
，
，
所以的分布列为：
1 2
20.（1）证明：平面平面.
Rt，所以，
又，
所以..
又平面平面.
（2）解：平面平面平面，
为矩形，，
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则
令，则.
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）解：由题意知
解得双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组消去，得
则，
直线方程为，
令，则，
同理，
由，可得，
，
，
，
，
，
，即，
当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不合题意；
，此时直线方程为，恒过定点.
22.解：（1）由得，
因为有两个极值点，所以有两个解，令，
则有两个不同的正根，即
解得，所以
（2）由（1），根据书达定理得，
所以
所以
.
因为，所以，令，设，
则，
因为，所以，所以，所以在上单调递减，
，所以的最大值为.
数学试题
注意事项：
1 答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试时间为120分钟，满分150分
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直线，若，则实数的值为（ ）
A.0 B.1 C.0或1 D.或1
2.广东省新高考采用的是“”模式：“3”为全国统考科目语文 数学 外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理 历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治 地理 化学 生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A.4种 B.6种 C.8种 D.12种
3.有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）.观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
5.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.椭圆的左 右顶点分别为，点在椭圆上（不与重合），且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列是递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.
10.一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法正确的是（ ）
A.数据的中位数为11
B.一组数据的第70百分位数为16
C.随机变量服从正态分布，则标准差为2
D.设随机事件和，已知，则
12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为4
C.勒洛四面体的体积是
D.勒洛四面体内切球的半径是
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则__________.
14.已知为圆上的动点，则的最大值为__________.
15.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，则__________.
16.关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________.
四 解答题（共6小题，第17题10分，其余题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（10分）在中，的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
18.（12分）已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前100项和.
19.（12分）一年或多年连续种植同一种农作物，会对生产造成不利影响，某校生物科技小组，在同一块试验田内交替种植三种农作物（该试验界每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.
（1）在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；
（2）在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及数学期望.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
22.（12分）已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
深圳市盐田区2022-2023学年高二下学期5月月考
数学参考答案及评分意见
1.C 【解析】，即，解得或.故选C.
2.B 【解析】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，则须在思想政治 地理 生物中再选出1个科日，选法有3种；②小明在物理 历史科目中选出1个，选法有2种.由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）.故选B.
3.C 【解析】设第一次抽到次品为事件，第二次抽到次品为事件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.故选C.
4.A 【解析】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如下图，
则设抛物线的方程为，由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为1.故选.
5.B 【解析】设等比数列的公比为，又成等差数列，所以，则，即，解得（负值舍去），所以.故选B.
6.A 【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则.设异面直线与所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为.故选A.
7.B 【解析】设点坐标为，则，
于是，故.故选B.
8.B 【解析】注意到，则.令，其中.则，得在上单调递增，在上单调递减，则，又函数在上单调递增，则，即.故.故选.
9.AC 【解析】A选项，令，则，是递增数列；B选项，令，则不合题意；选项，令，则，符合题意；D选项，令，则，不合题意.故选AC.
10.BC 【解析】点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即，因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离，即，解得或，则反射直线的方程为或.故选.
11.BCD 【解析】对于，选项中的数据按从小到大顺序排列为，故中位数为10，故错误；对于，选项中的数据共有10个数，，即第7个数与第8个数的平均数为16，则这组数据的第70百分位数是16，故B正确；对于C，因为服从正态分布可知：方差为4，故标准差为2，故C正确；对于D，由全概率公式.，故D正确.故选BCD.
12.BD 【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故不正确；根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B正确；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.如图3，在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，连接，由正四面体的性质可知在上.因为，所以，则.因为，即，解得，则正四面体外接球的体积是.因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，则错误；因为，所以，则D正确.故选BD.
13. 【解析】若，则有，即，解得.故答案为.
14.72 【解析】设，由在圆上，可得，又，则，可得当时，取到最大值.故答案为72.
15. 【解析】第行的第个数为，即.故答案为.
16. 【解析】由，得，令，解得：，令解得：；令解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为.
17.解：（1）在中，的对边分别为，
由正弦定理得.
因为，所以，，
.
，
.
（2）由题意，
则，
则，
由，得，
则，
故的取值范围为.
18.解：（1），
当时，则，
当时，，
所以，所以.
又因为，
对任意正整数都有，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）知，等差数列的通项公式，
于是，
所以
.
19.解：（1）设表示第次种植作物的事件，其中.
在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为：
（2）由已知条件，在第1次种植的前提下：，
.
因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，
，
，
所以的分布列为：
1 2
20.（1）证明：平面平面.
Rt，所以，
又，
所以..
又平面平面.
（2）解：平面平面平面，
为矩形，，
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则
令，则.
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）解：由题意知
解得双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组消去，得
则，
直线方程为，
令，则，
同理，
由，可得，
，
，
，
，
，
，即，
当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不合题意；
，此时直线方程为，恒过定点.
22.解：（1）由得，
因为有两个极值点，所以有两个解，令，
则有两个不同的正根，即
解得，所以
（2）由（1），根据书达定理得，
所以
所以
.
因为，所以，令，设，
则，
因为，所以，所以，所以在上单调递减，
，所以的最大值为.
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