2022-2023学年高一（下)期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.己知复数z满足z1-i则2妒()
A.-1B.1C.V2D.2
2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()
A,圆锥B,圆柱C,球D.棱柱
3,欧拉公式ei=cos+isin0(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧
拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2在复平
面内对应点所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D,第四象限
4.在△ABC中，BC=-1,AB=3,C5,则A=（)
A.或5元
B.
66
6
c.或号
D.I
3
5,己知圆锥0的高为V5,它的侧面展开图是圆心角为240°的扇形，则该圆锥的表
面积是()
A.10元
B.6x
C.4√5π
D.4V5
3
6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a.b,c,sin(B+C)sin(B-C)=sin2A,
则△ABC的形状为()
A.正三角形B.等腰直角三角形
C,直角三角形D,等腰三角形
7.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形AB'CD',己知A'O=OB=2,
BC'=2,则四边形ABCD的周长为()
y/
D'
C
A
B
A.20
B.12
C.8+4√3
D.8+4√2
8.已知△ABC中，3Ad=A店+A元，(AB+AC)·B元=0，则向量A正在向量Ad上
的投影向量为()
A.2A0
B.3A0
3
2
C.2A0
D.8AO
3
二、多顶选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.如图长方体ABCD-AB1CD1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC,
则()
D
F
A
D
A.几何体ABCD-AEFD1是一个六面体
B,几何体ABCD-AEFD1是一个四棱台
C,几何体AAEB-DDFC是一个四棱柱
D.几何体BBE-CCF是一个三棱柱
2=-50i
10.已知复数3十4i,则下列说法正确的是()
A.复数z在复平面内对应的点在第四象限B.复数z的虚部为-6
C.复数z的共轭复数z=-8+6iD.复数z的模z=10
11,设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有()
A,若AD=(AB+A乙)，则点D是边BC的中点
2
B.若A市-（店十A己，则直线AD经过△ABC的垂心
3 AB|cosB ACIcosC
C.若AD=2AB-AC,则点D在边BC的延长线上
D.若A-=xA+yA己，且x+y号则△BCD是△ABC面积的-半
12.设复数z=a+bi(a.b∈R)(i为虚数单位)，则下列说法正确的是()参考答案
1-8:CDBB ACAB
9-12:ACD;BCD;ABD;ABD;
1、2,14、415、2:16、s
17、
解：(1)根据题意，à=(3,3√3)=3(1，√3)，
若3/a,则设6的坐标为（，√3c）,
又由161=2，则11=√2+3e2=21x=2,
解可得：x=1或x=-1,
则7=(-1，-√3)或6=(1，√3)；
(2)a=(3,3√3)，则1a1=√9+27=6，
设121=t,
若(a-c)1(a-3c),则(a-c)·(a-3)=a2-4a.c+32=0,
即36-12√3t+3t2=0,
解可得：t=2√3，即11=2√3.
18、
解：(1)由题意知，AB=60,BC=30√3-30，
∠ABC=(180°-75°)+15°=120°，
在△ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·coS∠ABC=
602+(30V3-30)2-260(30V5-30).(-号)=5400，
所以AC=√5400=30√6，
故小岛A到小岛C的距离为30√6海里.
(2)由余弦定理知，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·coS∠ACB,
所以602=(30√6)2+(30√3-30)2-230√6(30√3-30)·cos∠ACB,
所以cos∠ACB=V2
2
因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB=45°，
所以∠BAC=180°.（∠ABC+∠ACB)=180°.(120°+45°）=15°，
由75°-15=60°，知游船航行的方向是北偏东60°.
19、
解：(1)x=(3i)2=13-3;=-1-8:
22
44222
是一元二次方程mx2+nx+1=0的一个根，
上=(1+3(-}5)=1，则m=1.
m
2222
(号+9+（分0=得n1:
22
m
(2)x1=(a-2i)x=(a-2i)(-1-31)
22
=(-0-V3)+(1-。)提纯虚数，
2
合-=0
则
11-5a≠0
,即a=-2√3
2
∴.|a+2i川=|-2V3+2i训=√12+4=4.
20、
(1)在梯形ABCD中，因为AB∥CD,AB=2CD,
所以A0=20C,
..AM.BD=(A0+OM).BD=AO.BD+OM.BD=AO.BD
=2A己.B3
3
=2(AD+D元)(AD-AB)=2(AD2-D元.AB)
号4-2x)=骨
(2)令A=A店，A1.B币=入AB.BD=λAB.(A市-A)=-入A2=-16入=-8
3
A.M=A.(A-A)=A2-A市.A=A2-|A1X1Ad1Xc0s45°=
A2-×1A1X1A1Xc0545°=1A,2-Y21A1
R
3
令1a1=t,则0≤t≤2√2，A.=2-E=t-2-1
3
618
所以当1a1=时，A:不有最小值8
6
