湖北省施恩州巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期6月第四次月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北省施恩州巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期6月第四次月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 771.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-22 10:58:09 | ||
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文档简介
巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期6月第四次月考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
4.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲、乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有（ ）
A.960种 B.480种 C.288种 D.144种
5.下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
6.已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7.在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ）
A.450种 B.180种 C.720种 D.360种
8.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知数列的前项和为，则（ ）
A.若为等比数列，则为等差数列 B.若为等差数列，则为等比数列
C.若，则为等差数列 D.若，则为等比数列
11.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A.
B.的展开式中有理项有5项
C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D.除以9余8
12.已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A.若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B.若用方案乙，化验次数为3次的概率为
C.若用方案甲，平均化验次数为4 D.若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若随机变量，且，则______.
14.已知，，，若，则______.
15.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为8cm的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是______.
16.已知圆上的任意一点到两个定点，的距离之比为，则圆的方程是______；在直线上存在点满足：过作圆的切线，切点分别为，，且四边形的面积为，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
设等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求证.
18.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，，求；
（2）若角，求角.
19.（本小题满分12分）
为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名.
（1）求选出的4名同学中有男生的概率；
（2）记选出的4名同学中女同学的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是上任意一点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上一点且在第四象限，，过点作倾斜角互补的两条不同直线分别与椭圆交于点，（，与不重合），试判断直线的斜率是否为定值，并证明你的结论.
22.（本小题满分12分）
已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求的单调区间；
（2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值.
巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期6月第四次月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 由题意，得.故选C.
2.C 由随机变量服从两点分布，得，又，所以.故选C.
3.D 由是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，得在上单调递增，由，得，解得，所以不等式的解集为.故选D.
4.B 先将不含甲、乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲、乙，有种，所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有（种）.故选B.
5.D 由，，得，，所以在，，上不单调递增，在上单调递增.故选D.
6.B 由，得，，所以，，解得.故选B.
7.A 方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同的安排方案.故选A.
8.D 设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即.设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即.综上所述，.故选D.
9.ACD 由复数对应的点为，得，所以，故A正确；
，故B错误；，故C正确；
，故D正确.故选ACD.
10.ABD 设等比数列的公比为，则，所以（定值），所以为等差数列，故A正确；设等差数列的公差为，则，所以（定值），所以为等比数列，故B正确；当时，，当时，，所以，所以不是等差数列，故C错误；当时，，当时，，所以，（定值），所以为等比数列，故D正确.故选ABD.
11.ABD 对于A，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知，故A正确；对于B，在的展开式中，令，得，所以，所以的二项式通项为.由为整数，得，2，4，6，8，所以展开式中有理项有5项，故B正确；对于C，展开式中偶数项的二项式系数和为，故C错误；对于D，，所以除以9余8，故D正确.故选ABD.
12.AD 若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，所以，，A正确；若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况：①头4只均为阴性，则；②头4只有阳性，则，所以化验次数为3次的概率为，B错误；若用方案甲，则，，所以，C错误；若用方案乙，可取2，3，4，，，，
所以，因为，所以方案乙比方案甲好，D正确.故选AD.
13.0.82 由正态分布的对称性知.
14. 由，得，又，所以，又，所以，，所以.
15. 当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，所以，，所以，所以正四面体的表面积为，根据等体积法，得，即，解得，所以，即肉丸的体积的最大值为.
16.（2分） （3分） 设是圆上的任意一点，则，化简得圆的方程为.圆心的坐标为，半径为，由题意知，，所以，，解得.又点在直线上，所以不小于到直线的距离，即，解得，即实数的取值范围是.
17.（1）解：设等差数列的公差为，因为，，所以……2分解得，，……4分
所以.……5分
（2）证明：
.……8分
又，所以，所以，即.…10分
18.解：（1）由余弦定理，得，即，……3分
又，，所以，解得.……6分
（2）因为，所以由正弦定理，得，……8分
由，得，，，
所以，即，……10分
所以或（舍去），又，所以.……12分
19.解：（1）设“选出的4名同学中有男生”为事件，则.……4分
（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4，……6分
所以，，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
……10分
.……12分
20.（1）证明：因为，点是的中点，所以，……1分
又平面平面，平面平面，平面，所以平面.……4分
又平面，所以平面平面.……6分
（2）解：取的中点，连结，则四边形为正方形，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，，.……8分
设平面的法向量，则有即
令，则，，所以平面的一个法向量，……10分
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.……12分
21.解：（1）由离心率为，得，即，……1分
由的周长为，得，所以，，.……3分
所以椭圆的方程为.……4分
（2）直线的斜率是定值，证明如下：
因为是椭圆上一点且在第四象限，，所以设，代入椭圆的方程，得，即.
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，
所以，即.……6分
因为，的倾斜角互补，所以直线的方程为，同理得.……8分
因为，，
所以，
因此直线的斜率为定值.……12分
22.解：（1）由，得，又切线与直线垂直，所以，即.……2分所以，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.……5分
（2）对任意实数，恒成立，即对任意实数，恒成立.
设，即.……6分
，令，所以恒成立，所以在上单调递增.
又，，所以存在，使得，即，所以.……8分
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，……10分
当时，，所以，由题意知且，
所以，即整数的最大值为1.……12分
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
4.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲、乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有（ ）
A.960种 B.480种 C.288种 D.144种
5.下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
6.已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7.在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ）
A.450种 B.180种 C.720种 D.360种
8.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知数列的前项和为，则（ ）
A.若为等比数列，则为等差数列 B.若为等差数列，则为等比数列
C.若，则为等差数列 D.若，则为等比数列
11.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A.
B.的展开式中有理项有5项
C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D.除以9余8
12.已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A.若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B.若用方案乙，化验次数为3次的概率为
C.若用方案甲，平均化验次数为4 D.若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若随机变量，且，则______.
14.已知，，，若，则______.
15.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为8cm的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是______.
16.已知圆上的任意一点到两个定点，的距离之比为，则圆的方程是______；在直线上存在点满足：过作圆的切线，切点分别为，，且四边形的面积为，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
设等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求证.
18.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，，求；
（2）若角，求角.
19.（本小题满分12分）
为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名.
（1）求选出的4名同学中有男生的概率；
（2）记选出的4名同学中女同学的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点是上任意一点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上一点且在第四象限，，过点作倾斜角互补的两条不同直线分别与椭圆交于点，（，与不重合），试判断直线的斜率是否为定值，并证明你的结论.
22.（本小题满分12分）
已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求的单调区间；
（2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值.
巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期6月第四次月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 由题意，得.故选C.
2.C 由随机变量服从两点分布，得，又，所以.故选C.
3.D 由是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，得在上单调递增，由，得，解得，所以不等式的解集为.故选D.
4.B 先将不含甲、乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲、乙，有种，所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有（种）.故选B.
5.D 由，，得，，所以在，，上不单调递增，在上单调递增.故选D.
6.B 由，得，，所以，，解得.故选B.
7.A 方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同的安排方案.故选A.
8.D 设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即.设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即.综上所述，.故选D.
9.ACD 由复数对应的点为，得，所以，故A正确；
，故B错误；，故C正确；
，故D正确.故选ACD.
10.ABD 设等比数列的公比为，则，所以（定值），所以为等差数列，故A正确；设等差数列的公差为，则，所以（定值），所以为等比数列，故B正确；当时，，当时，，所以，所以不是等差数列，故C错误；当时，，当时，，所以，（定值），所以为等比数列，故D正确.故选ABD.
11.ABD 对于A，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知，故A正确；对于B，在的展开式中，令，得，所以，所以的二项式通项为.由为整数，得，2，4，6，8，所以展开式中有理项有5项，故B正确；对于C，展开式中偶数项的二项式系数和为，故C错误；对于D，，所以除以9余8，故D正确.故选ABD.
12.AD 若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，所以，，A正确；若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况：①头4只均为阴性，则；②头4只有阳性，则，所以化验次数为3次的概率为，B错误；若用方案甲，则，，所以，C错误；若用方案乙，可取2，3，4，，，，
所以，因为，所以方案乙比方案甲好，D正确.故选AD.
13.0.82 由正态分布的对称性知.
14. 由，得，又，所以，又，所以，，所以.
15. 当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，所以，，所以，所以正四面体的表面积为，根据等体积法，得，即，解得，所以，即肉丸的体积的最大值为.
16.（2分） （3分） 设是圆上的任意一点，则，化简得圆的方程为.圆心的坐标为，半径为，由题意知，，所以，，解得.又点在直线上，所以不小于到直线的距离，即，解得，即实数的取值范围是.
17.（1）解：设等差数列的公差为，因为，，所以……2分解得，，……4分
所以.……5分
（2）证明：
.……8分
又，所以，所以，即.…10分
18.解：（1）由余弦定理，得，即，……3分
又，，所以，解得.……6分
（2）因为，所以由正弦定理，得，……8分
由，得，，，
所以，即，……10分
所以或（舍去），又，所以.……12分
19.解：（1）设“选出的4名同学中有男生”为事件，则.……4分
（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4，……6分
所以，，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
……10分
.……12分
20.（1）证明：因为，点是的中点，所以，……1分
又平面平面，平面平面，平面，所以平面.……4分
又平面，所以平面平面.……6分
（2）解：取的中点，连结，则四边形为正方形，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，，.……8分
设平面的法向量，则有即
令，则，，所以平面的一个法向量，……10分
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.……12分
21.解：（1）由离心率为，得，即，……1分
由的周长为，得，所以，，.……3分
所以椭圆的方程为.……4分
（2）直线的斜率是定值，证明如下：
因为是椭圆上一点且在第四象限，，所以设，代入椭圆的方程，得，即.
设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，
所以，即.……6分
因为，的倾斜角互补，所以直线的方程为，同理得.……8分
因为，，
所以，
因此直线的斜率为定值.……12分
22.解：（1）由，得，又切线与直线垂直，所以，即.……2分所以，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.……5分
（2）对任意实数，恒成立，即对任意实数，恒成立.
设，即.……6分
，令，所以恒成立，所以在上单调递增.
又，，所以存在，使得，即，所以.……8分
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，……10分
当时，，所以，由题意知且，
所以，即整数的最大值为1.……12分
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