河北省唐县2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河北省唐县2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 964.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-22 14:44:08 | ||
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文档简介
唐县2022-2023学年高一下学期5月联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章、第九章第一节。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．光明社区老年合唱队中，60~70岁的有30人，71~75岁的有15人，76岁及以上的有10人．若用分层抽样的方法抽取n位老人参加某项活动，已知从71~75岁的老人中抽取了3人，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．某公司用随机数法从公司的500名员工中抽取了20人了解其对烧烤的喜欢程度．先将这500名员工按001，002，…，500进行编号，然后从随机数第3行第3列的数开始向右读，则选出的第7个编号是（注：下面为随机数的第3行和第4行）（ ）
第3行：7816 6572 0802 6319 8702 4369 9728 0198
第4行：3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．492 B．320 C．198 D．280
6．已知向量，，若a与b反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，与底面ABCD垂直，M，N分别在BD和上，且，，，，则异面直线MN与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正和正组合而成，且，，，和的中心均为O，BC与EF的交点为G，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．
B．z的虚部为
C．为纯虚数
D．z是方程的一个复数根
10．下列说法错误的是（ ）
A．过球心的截面是半径等于球的半径的圆面
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
C．正四棱锥的侧面都是正三角形
D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
11．若向量a，b满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
12．在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为，则（ ）
A．
B．二面角为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥的内切球的半径为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．某7位小伙伴1分钟的跳绳个数（单位：个）分别为180，182，173，175，a，178，176，已知这7位小伙伴1分钟跳绳个数的平均数为178，则________．
14．某“星舰”可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，若米，米，底面圆的直径为9米，则该“星舰”的表面积是________平方米．
15．长度为的线段两个端点到平面的距离分别为和，且这两个端点都在平面的同一侧，则这条线段所在直线与平面所成角的正弦值为________．
16．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑PABC中，，，，，D，E分别为棱PC，PB上一点，则的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量a，b的夹角为，且，，．
（1）求；
（2）当时，求的值．
18．（12分）
如图，在底面ABCD是矩形的四棱锥中，平面平面ABCD，，且，M，N分别是PA，BD的中点．
（1）证明：平面PBC．
（2）证明：平面PAD．
19．（12分）
如图，梯形是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知'，，．
（1）在下面给定的表格中画出四边形OABC（不需写作图过程）；
（2）若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．
20．（12分）
已知正方体．
（1）证明：平面平面．
（2）若正方体的棱长为4，平面，当平面经过BC的中点时，求平面截正方体所得截面的周长．
21．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若D为AB边上一点，，且，求面积的最小值．
22．（12分）
如图，在斜三棱柱中，E为的中点，M为AB上靠近A的三等分点，N为上靠近的三等分点．
（1）证明：平面平面BEN．
（2）若平面，，与平面的距离为x，，，三棱锥的体积为y，试写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，当x为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．
唐县2022-2023学年高一下学期5月联考
数学参考答案
1．D ．
2．D 由余弦定理得．得．
3．C 由，得．
4．C 若，，则或，A错误；平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，B错误；若，，则m与不一定垂直，D错误．
5．B 由随机数读法可知，选出的编号依次为166，080，263，198，436，280，320，…．所以选出的第7个编号是320．
6．D 由，解得或．当时，a与b同向；当时，a与b反向．所以，向量在向量上的投影向量为．
7．B 如图，在BD上取点E，使得，连接AE，，则，所以与所成的角即与MN所成的角．在中，，，，由余弦定理，，得，在中，，，由余弦定理得．
8．C 如图，连接AG，CE，取AB，CE的交点为H，AG，CE的交点为I，易得O在CE上，H为AB的中点，因为O为的重心，所以．由题意得，则，即，所以，得．
9．ABD 因为，所以，A正确；z的虚部为，B正确；，不是纯虚数，C错误；因为，所以z是方程的一个复数根，D正确．
10．BCD 根据球的特征，A正确；如图1，该几何体不是棱柱，B错误；正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，C错误；如图2，在正方体中，取AD，BC，，的三等分点，依次连接得到多面体，显然不是棱台，所以D错误．
11．ABD 由题意得得当时，，则，A正确．当时，得或C错误．易得，，由，得（当且仅当时，等号成立），由，得，所以，B正确．易得，由，得，D正确．
12．BCD 因为，，所以为正三角形，取BC的中点E，连接PE，AE，则．因为底面ABCD，所以，又，所以平面PAE，则，则为二面角的平面角，所以，所以．因为，，，所以由余弦定理得，则，A错误．因为，所以，可证，所以即二面角的平面角，因为，所以，B正确，设O为三棱锥外接球的球心，取的中心F，连接OF，OA，则，且，OA为三棱锥外接球的半径．因为，所以三棱锥的外接球的表面积为，C正确．设三棱锥的内切球的半径为r，则根据等体积法可得，解得，D正确．
13．182 由条件可知，解得．
14． 依题意可得，该“星舰”的表面积是平方米．
15． 设长度为的线段为AB，A，B在平面内的射影分别为D，C，延长BA与平面交于M，则是AB与平面所成的角，作交BC于N，则，如图所示，，，．
16． 因为，所以，设，，则．
设，，因为，所以，
所以，则，．
将沿着PB转动到P，A，B，C四点共面，如图所示，此时，，
过A作于H，则的最小值为．
17．解：（1）由， 4分
得． 5分
（2）由题设得， 8分
则， 9分
解得． 10分
18．证明：（1）连接AC，因为ABCD是矩形，N是BD的中点，
所以N是AC的中点． 2分
因为M是PA的中点，所以， 4分
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 6分
（2）因为，且，所以， 8分
因为平面平面ABCD，平面平面，
，所以平面， 10分
因为平面PCD，所以，
又，所以平面PAD． 12分
19．解：（1）画出四边形OABC，如下图所示：
5分
（2）该几何体是一个组合体，由两部分组成，一部分是以OA为高，O为底面圆心且OB为半径的圆锥，另一部分可看作是一个以BC为高，OB为半径的圆柱挖去一个同底等高的圆锥得到的几何体． 8分
该几何体的体积为． 12分
【注】第（1）问中，，，，只要这三条线段的长度正确，所画的四边形如图所示即可得分，未标注字母A，B，C扣1分，若绘制的图中，，则得0分．
20．（1）证明：在正方体中，平面，
因为平面，所以． 1分
在正方形中，，又，
所以平面． 3分
因为平面，所以平面平面． 4分
（2）解：因为平面，平面，
所以． 5分
在正方形中，，
又，所以平面， 6分
因为平面，所以． 7分
由（1）知平面，则．
又，所以平面BCD， 8分
因为平面，所以平面平面． 9分
分别取BC，CD，，，，的中点E，F，G，H，M，N，连接各点，则多边形EFGHMN即平面截正方体所得的截面． 10分
又，所以平面截正方体所得的截面的周长为． 12分
21．解：（1）（方法一）由余弦定理得，
得，即， 3分
则， 4分
即． 5分
（方法二）由正弦定理得，得． 3分
因为，所以，则， 4分
即． 5分
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得．
由题意得． 7分
因为，所以，得，
得，即CD为C的角平分线． 8分
由，得， 9分
得，所以 10分
当且仅当时，等号成立． 11分
故的面积为，即面积的最小值为． 12分
22．（1）证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，且M为AB上靠近A的三等分点，N为上靠近的三等分点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 1分
因为平面BEN，平面BEN，所以平面BEN． 2分
取上靠近的三等分点F，连接，FM，如图所示，
则，易得四边形为平行四边形，所以， 3分
则，又平面BEN，平面BEN，所以平面BEN． 4分
因为，，平面，所以平面平面BEN． 5分
（2）解：因为平面，所以，且，
所以，所以． 6分
因为，所以平面，
则．又因为，，所以上平面BEN，则， 7分
记与BN的交点为Q，
因为，且，，，
所以，，
则， 9分
所以，
即． 10分
（3）解：由（2）得，令，
当，即时，，此时， 11分
故当时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值为16． 12分
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章、第九章第一节。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．光明社区老年合唱队中，60~70岁的有30人，71~75岁的有15人，76岁及以上的有10人．若用分层抽样的方法抽取n位老人参加某项活动，已知从71~75岁的老人中抽取了3人，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．某公司用随机数法从公司的500名员工中抽取了20人了解其对烧烤的喜欢程度．先将这500名员工按001，002，…，500进行编号，然后从随机数第3行第3列的数开始向右读，则选出的第7个编号是（注：下面为随机数的第3行和第4行）（ ）
第3行：7816 6572 0802 6319 8702 4369 9728 0198
第4行：3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．492 B．320 C．198 D．280
6．已知向量，，若a与b反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，与底面ABCD垂直，M，N分别在BD和上，且，，，，则异面直线MN与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正和正组合而成，且，，，和的中心均为O，BC与EF的交点为G，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．
B．z的虚部为
C．为纯虚数
D．z是方程的一个复数根
10．下列说法错误的是（ ）
A．过球心的截面是半径等于球的半径的圆面
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
C．正四棱锥的侧面都是正三角形
D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
11．若向量a，b满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
12．在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为，则（ ）
A．
B．二面角为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥的内切球的半径为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．某7位小伙伴1分钟的跳绳个数（单位：个）分别为180，182，173，175，a，178，176，已知这7位小伙伴1分钟跳绳个数的平均数为178，则________．
14．某“星舰”可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，若米，米，底面圆的直径为9米，则该“星舰”的表面积是________平方米．
15．长度为的线段两个端点到平面的距离分别为和，且这两个端点都在平面的同一侧，则这条线段所在直线与平面所成角的正弦值为________．
16．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑PABC中，，，，，D，E分别为棱PC，PB上一点，则的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量a，b的夹角为，且，，．
（1）求；
（2）当时，求的值．
18．（12分）
如图，在底面ABCD是矩形的四棱锥中，平面平面ABCD，，且，M，N分别是PA，BD的中点．
（1）证明：平面PBC．
（2）证明：平面PAD．
19．（12分）
如图，梯形是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知'，，．
（1）在下面给定的表格中画出四边形OABC（不需写作图过程）；
（2）若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．
20．（12分）
已知正方体．
（1）证明：平面平面．
（2）若正方体的棱长为4，平面，当平面经过BC的中点时，求平面截正方体所得截面的周长．
21．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若D为AB边上一点，，且，求面积的最小值．
22．（12分）
如图，在斜三棱柱中，E为的中点，M为AB上靠近A的三等分点，N为上靠近的三等分点．
（1）证明：平面平面BEN．
（2）若平面，，与平面的距离为x，，，三棱锥的体积为y，试写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，当x为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．
唐县2022-2023学年高一下学期5月联考
数学参考答案
1．D ．
2．D 由余弦定理得．得．
3．C 由，得．
4．C 若，，则或，A错误；平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，B错误；若，，则m与不一定垂直，D错误．
5．B 由随机数读法可知，选出的编号依次为166，080，263，198，436，280，320，…．所以选出的第7个编号是320．
6．D 由，解得或．当时，a与b同向；当时，a与b反向．所以，向量在向量上的投影向量为．
7．B 如图，在BD上取点E，使得，连接AE，，则，所以与所成的角即与MN所成的角．在中，，，，由余弦定理，，得，在中，，，由余弦定理得．
8．C 如图，连接AG，CE，取AB，CE的交点为H，AG，CE的交点为I，易得O在CE上，H为AB的中点，因为O为的重心，所以．由题意得，则，即，所以，得．
9．ABD 因为，所以，A正确；z的虚部为，B正确；，不是纯虚数，C错误；因为，所以z是方程的一个复数根，D正确．
10．BCD 根据球的特征，A正确；如图1，该几何体不是棱柱，B错误；正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，C错误；如图2，在正方体中，取AD，BC，，的三等分点，依次连接得到多面体，显然不是棱台，所以D错误．
11．ABD 由题意得得当时，，则，A正确．当时，得或C错误．易得，，由，得（当且仅当时，等号成立），由，得，所以，B正确．易得，由，得，D正确．
12．BCD 因为，，所以为正三角形，取BC的中点E，连接PE，AE，则．因为底面ABCD，所以，又，所以平面PAE，则，则为二面角的平面角，所以，所以．因为，，，所以由余弦定理得，则，A错误．因为，所以，可证，所以即二面角的平面角，因为，所以，B正确，设O为三棱锥外接球的球心，取的中心F，连接OF，OA，则，且，OA为三棱锥外接球的半径．因为，所以三棱锥的外接球的表面积为，C正确．设三棱锥的内切球的半径为r，则根据等体积法可得，解得，D正确．
13．182 由条件可知，解得．
14． 依题意可得，该“星舰”的表面积是平方米．
15． 设长度为的线段为AB，A，B在平面内的射影分别为D，C，延长BA与平面交于M，则是AB与平面所成的角，作交BC于N，则，如图所示，，，．
16． 因为，所以，设，，则．
设，，因为，所以，
所以，则，．
将沿着PB转动到P，A，B，C四点共面，如图所示，此时，，
过A作于H，则的最小值为．
17．解：（1）由， 4分
得． 5分
（2）由题设得， 8分
则， 9分
解得． 10分
18．证明：（1）连接AC，因为ABCD是矩形，N是BD的中点，
所以N是AC的中点． 2分
因为M是PA的中点，所以， 4分
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 6分
（2）因为，且，所以， 8分
因为平面平面ABCD，平面平面，
，所以平面， 10分
因为平面PCD，所以，
又，所以平面PAD． 12分
19．解：（1）画出四边形OABC，如下图所示：
5分
（2）该几何体是一个组合体，由两部分组成，一部分是以OA为高，O为底面圆心且OB为半径的圆锥，另一部分可看作是一个以BC为高，OB为半径的圆柱挖去一个同底等高的圆锥得到的几何体． 8分
该几何体的体积为． 12分
【注】第（1）问中，，，，只要这三条线段的长度正确，所画的四边形如图所示即可得分，未标注字母A，B，C扣1分，若绘制的图中，，则得0分．
20．（1）证明：在正方体中，平面，
因为平面，所以． 1分
在正方形中，，又，
所以平面． 3分
因为平面，所以平面平面． 4分
（2）解：因为平面，平面，
所以． 5分
在正方形中，，
又，所以平面， 6分
因为平面，所以． 7分
由（1）知平面，则．
又，所以平面BCD， 8分
因为平面，所以平面平面． 9分
分别取BC，CD，，，，的中点E，F，G，H，M，N，连接各点，则多边形EFGHMN即平面截正方体所得的截面． 10分
又，所以平面截正方体所得的截面的周长为． 12分
21．解：（1）（方法一）由余弦定理得，
得，即， 3分
则， 4分
即． 5分
（方法二）由正弦定理得，得． 3分
因为，所以，则， 4分
即． 5分
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得．
由题意得． 7分
因为，所以，得，
得，即CD为C的角平分线． 8分
由，得， 9分
得，所以 10分
当且仅当时，等号成立． 11分
故的面积为，即面积的最小值为． 12分
22．（1）证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，且M为AB上靠近A的三等分点，N为上靠近的三等分点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 1分
因为平面BEN，平面BEN，所以平面BEN． 2分
取上靠近的三等分点F，连接，FM，如图所示，
则，易得四边形为平行四边形，所以， 3分
则，又平面BEN，平面BEN，所以平面BEN． 4分
因为，，平面，所以平面平面BEN． 5分
（2）解：因为平面，所以，且，
所以，所以． 6分
因为，所以平面，
则．又因为，，所以上平面BEN，则， 7分
记与BN的交点为Q，
因为，且，，，
所以，，
则， 9分
所以，
即． 10分
（3）解：由（2）得，令，
当，即时，，此时， 11分
故当时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值为16． 12分
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