9.2.3总体集中趋势的估计 教学设计

总体集中趋势的估计教学设计
教材分析
本节知识选自高中数学人教A版必修二第九章第二节的第三课时，本节内容是在根据样本的数据特征来估计总体的分布情况，本节内容主要根据平均数、中位数、众数来估计总体的集中趋势。重点介绍了由样本频率分布表或频率分布直方图估计总体分布的众数、中位数和平均数的方法，其意义在于当原始样本数据丢失时，通过频率分布直方图仍可以估计总体特征。
二、教学目标
1．知识与技能目标
①能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数.
②能用样本的众数、中位数和平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并对实际问题作出合理判断。
2．情感与价值观目标
①通过对有关数据的搜集、整理、分析和判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。
②体会和领悟“用数据说话”的统计思想方法，体会统计对决策的作用，提高学习统计知识的兴趣，辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
③激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生勇于探索的意志品质。
三、学情分析
1. 教学可行性分析：
①上一节课学生已经学习了用图、表来表现样本数据，掌握了如何通过图、表所提供的信息，自己动手，手绘或借助电脑，制作频率分布直方图等。
②学生们能熟悉频率分布直方图中频数、频率及样本容量之间的相互转化，因此，在此基础上，进一步学习如何在频率分布直方图中估计样本的众数、中位数和平均数，从而估计总体，就是水到渠成的效果。
2.学生概况分析：授课班级学生对数学的学习热情较高，但自主学习能力较差，喜欢表现自我，能在教师的动员下自主学习，乐于学习，课程围绕着教学目标及学生实际情况而设置。
四、重点难点
1教学重点
①能利用频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数，从而估计总体的众数、中位数、平均数等。
②体会如何用数据说话，体会数学的实用性。
2.教学难点
①理解和掌握频率分布直方图中众数、中位数和平均数的求解
②能形成对数据处理的过程进行初步评价的意识
五、教学过程
1．知识回顾
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值。
直观来说，一组数的第p位百分位数指的是讲这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p％位置的数．
计算一组n个数据的第p百分位数步骤。
第一步，按从小到大排列原始数据；
第二步，计算;
第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
众数、中位数、平均数的概念及计算
众数:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
平均数:反映所有数据的平均水平
2.知识精讲
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：（单位：年）
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13 ；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
问题：三个厂家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
甲工厂说的是众数，乙工厂说的是平均数，丙工厂说的是中位数。
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画"中心位置"的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势．
【例4】利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数．
【解析】根据 9.2.1节中100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数
的定义，可得即100户居民的月均用水量的平均数为 8. 79 t．
将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得
100户居民的月均用水量的中位数是6.8 t．因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t，其中位数约为6.8 t．
思考：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数．但在录入数据时不小心把一个数据7.7录成了77．请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较．哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？
通过简单计算可以发现，平均数由原来的 8.79 t变为 9.483 t，中位数没有变化，还是6.8 t，这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感．
探究一：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？
一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，
如果直方图的形状是对称的(如图（1）)，那么平均数和中位数大体上差不多；
如果直方图在右边“拖尾”(如图（2）)，那么平均数大于中位数；
如果直方图在左边“拖尾”(如图（3）)，那么平均数小于中位数,
也就是说，平均数总是在“长尾巴”那边．
【例5】某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性．
为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据．可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适．由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理．
众数只利用了出现次数最多的那个值的信息，众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感．
一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．
探究二：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据．例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图．这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？
在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设它们在组内均匀分布．这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数．
因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
根据中位数的意义，在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
频率分布直方图的众数估计值为最高矩形底边的中点．
思考：平均数、众数、中位数估计总体情况有什么优缺点？
优点 缺点
中位数 不受少数几个极端数据的影响 只能表达样本数据中的少量信息
平均数 代表了样本数据更多的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，受极端数据的影响较大
众数 体现了样本数据的最大集中点 只能表达样本数据中的少量信息
3.巩固练习
1、已知将一组100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如下图）
求实数a的值；(2)估算这100名个数据的众数、中位数、平均数.
（0.025+a+0.175+0.125+0.125）*2=1 a=0.05
中位数126，平均数126.1，众数125
2、小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17
乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57
甲群市民年龄的平均数、中位数和众数是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？
乙群市民中年龄的平均数、中位数和众数是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？
解：(1)甲群市民年龄的平均数为15岁，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
（2）乙群市民年龄的平均数为15岁，中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民的大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
4.归纳小结
样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
样本中位数：把每个矩形的面积从左加起，加到接近0.5时（没超过）用0.5减去之前加得的面积，再用减得的数值除以下一组的面积，再乘以组距，再加上在与上一组之间的数就得到了中位数.
样本众数：频率分布直方图的众数估计值为最高矩形底边的中点.
5.课后作业
练习册p107-p109
教学评价：
本节课任教班级是物化政班级，学生成绩较低，能力素质一般，课堂教导学生能简勿繁的实用主义理念；从常见广告引入，突出统计分析的重要现实意义，并从实际生产生活中的例子让学生亲身体会样本数字特征的意义，学生的参与热情高，课堂活跃。学生们的学习热情能被调动起来，参与到课堂学习中来，与课堂教学设计同步，取得理想的教学效果。

学生评价：
这节课我们再次体会了生活与数学的密不可分，老师通过生活实例引入到我们的课程，把原本枯燥无味的统计知识转化为有趣的生活知识。这节课明确了特征数是最简洁的样本估计总体的方法，显示了特征数的重要意义以及用直方图估计特征数的必要性。使得我们知道为什么要学这一节，学会了如何在频率分布直方图中估计众数、中位数和平均数。堂上老师的讲解很清晰，很亲切，老师常常跟同学们说：“我们一起玩数学。”同学们都喜欢上数学课，喜欢上我们老师的数学课。