2022-2023学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，，则直线不经过第象限( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 已知，，，若三向量共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
3. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知空间直线、和平面满足：，，若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 直线的倾斜角为______．
6. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______ ．
7. 直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______ ．
8. 双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为______ ．
9. 某产品经过次革新后，成本由原来的元下降到元如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是______ 结果精确到．
10. 若表示圆，则实数的值为______ ．
11. 已知实数，，成等差数列，则直线必过定点______ ．
12. 三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于______ ．
13. 已知数列的通项公式是，其前项的和为设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是______ ．
14. 如图，记棱长为的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，，以此类推得到一系列的多面体，设的棱长为，则 ______ ．
15. 已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______ ．
16. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点有下列结论：
四边形是平行四边形；若轴，垂足为，则直线的斜率为；
若，则四边形的面积为；
若为正三角形，则双曲线的离心率为．
其中正确命题的序号是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知直线：，：．
若，求实数的值；
若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值．
18. 本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线：，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为．
过点且斜率为的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
求曲线上的点到直线的最短距离．
19. 本小题分
已知、分别是正方体的棱、的中点，求：
与所成角的大小；
二面角的大小；
点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由．
20. 本小题分
在数列中，在等差数列中，前项和为，，．
求数列和的通项公式；
设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
已知椭圆：的焦距为，且过点．
求椭圆的标准方程；
、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，与轴交于点．
若点是线段的中点，求点的轨迹方程；
设直线与直线交于点，求证：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若，，则直线即，
故直线的斜率，直线在轴上的截距，
故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：．
由题意，把直线的方程化为斜截式，根据直线的斜率以及它在轴上的截距，确定它的位置．
本题主要考查确定直线位置关系的几何要素，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
三向量共面，
可设，即，
，解得，，．
实数等于．
故选：．
利用向量共面定理，设，即，列出方程组，能求出实数．
本题考查实数值的求法，考查向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得：为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，
当直线与圆相切时，有，
解得：舍去或，
把代入，得，
的取值范围是
故选：．
根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．
本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：由于点到直线、的距离相等，而圆锥曲线中只有抛物线上的点到准线和焦点的距离相等，
不妨设为准线，为过焦点且垂直于抛物线所在平面的直线，显然且点到直线、的距离相等，
故选：．
结合圆锥曲线的性质进行分析，只有抛物线上的点到准线和焦点的距离相等，或直线相当于过焦点并垂直于抛物线所在平面的一条直线．
本题主要考查圆锥曲线的性质，结合抛物线的性质进行假设是解决本题的关键，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：直线垂直于轴，
直线的倾斜角为．
故答案为：．
利用直线的性质求解．
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．
6.【答案】
【解析】解：根据关于平面的对称点性质得：
在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为．
故答案为：．
在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为．
本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设直线上的任意一点，
直线过点，且与向量垂直，
则，即，
故直线的方程为．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线的垂直，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，，
所以两条渐近线的夹角的余弦值为．
故答案为：．
求解双曲线的渐近线方程，然后求解夹角即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线夹角的求法，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：设每次降价的百分率为．
则，
解得．
故答案为：．
设每次降价的百分率为，为四次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为方程表示圆，
所以，
解得，或，
当，此时圆的方程为，
则，不符合题意．
当，此时圆的方程为，
则，符合题意．
故答案为：．
利用圆的一般方程表示圆的充要条件，二次项系数相等且求解即可．
本题考查二元二次方程表示圆的充要条件，考查知识的应用能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，成等差数列，
，，
直线必过点．
故答案为：．
由，，成等差数列，可得，即，故直线可得．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
三棱柱，、分别为，的中点
，
．
．
故答案为：．
作出三棱柱，根据向量加减法的运算法，寻找包含的封闭图形即可．
本题考查了向量在几何中的应用，寻找包含的封闭图形利用向量的加减法的定义是关键，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，
得．
，
数列是严格增数列，
在时恒成立，
可得在时恒成立，则，即的取值范围为．
故答案为：．
利用裂项相消法求，代入，结合数列是严格增数列，可得在时恒成立，由此可求实数的取值范围．
本题考查数列的函数特性，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，
它的中截面垂直平分相对顶点连线的界面是正方形，
该正方形对角线长等于正方体的棱长，
所以它的棱长；
以各个面的中心为顶点的正方体为图形是正方体，
正方体面对角线长等于棱长的 ，正三角形中心到对边的距离等于高的 ，
因此对角线为 ，所以，
以上方式类推，得，，，
各项依次为：，，，，，
奇数项是首项为：，公比为的等比数列，偶数项是首项为：，公比为的等比数列，
则
故答案为：
根据条件先求出，根据条件依次求出，，，然后利用归纳推理得到：奇数项与偶数项都是等比数列，然后求和即可．
本题主要考查等比数列得通项公式，以及归纳推理的应用，无穷等比数列各项和的求法，考查分析问题解决问题的能力．
15.【答案】
【解析】解：是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是．
故答案为：．
利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
本题考查坐标法，空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于中，根据双曲线的对称性，可得为的中点，且也是的中点，
所以与互相平分，四边形为平行四边形，所以正确；
对于中，设，则，不妨设，
联立方程组，可得，
则，，
可得，即，，
所以直线的斜率为，所以正确；
对于中，不妨设点位于第一象限，
因为，所以，，三点共圆，所以，
可得，
又由椭圆的定义得，所以，
可得，
所以的面积为，
所以的面积为，所以错误；
对于中，因为，所以，，三点共圆，所以，
所以，
所以，解得，所以正确．
故答案为：．
根据双曲线的对称性，得到为的中点，也是的中点，可判定正确；设，则，不妨设，联立方程组，求得，的坐标，结合斜率公式，可判定正确；由，得到，结合勾股定理和双曲线的定义，得到，求得，可判定错误；求得，可求双曲线的离心率，判断．
本题考查双曲线的性质以及直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：直线：，：．
则，解得或，
当时，直线，重合，
当时，直线，不重合，符合题意，
故；
当，即时，：，满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
综上所述，或．
【解析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；
根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
18.【答案】解：已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线：为准线的抛物线，
其标准方程为，
因为过点且斜率为的直线与曲线交于两个不同的点、，
不妨设直线的方程为：，
联立，消去并整理得，
设点，，
由韦达定理得，
此时；
不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
【解析】由题意，根据抛物线的定义得到曲线的轨迹方程，设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理和抛物线定义进行求解即可；
设抛物线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
本题考查抛物线的定义及性质以及点到直线的距离公式，考查了逻辑推理以及分析问题解决问题的能力．
19.【答案】解：设正方体棱长为，以分别为，，轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，，，，
，，，
，，
设与所成角为，，
所以与所成角的大小是；
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，由，
则有，得，令，则，
设的夹角为，，
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角大小为；
设，，则，
平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
，，
所以当时，与平面所成角的正弦值为．
【解析】将，向量分别表示出来即可；分别找到两个平面的法向量即可；找到平面的法向量和代入公式计算即可．
本题考查利用空间向量求线面所成的角，二面角，异面直线所成的角，属于中档题．
20.【答案】解：由题意知，当，，即，
所以是以为公比的等比数列，，
所以，，
由等差数列性质可知，，所以，
所以的公差为，；
，
，显然是递增数列，
，，而，所以，所以不存在正整数，使得．
【解析】得出数列后一项与前一项的关系即可得出数列的通项公式，进而对数列进行求和．
本题主要考查递推求数列通项公式，以及等差、等比数列性质，属中档题．
21.【答案】解：由题意可知，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
由知，，
直线的斜率不存在时，不符合题意，
设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，，
设中点，，，
当时，两式相除得，代入上式，化简得，
当时，，，中点，符合题意，
所以点的轨迹方程为，除去点．
证明：由直线的方程可得，
当异于点、时，设，
因为，，三点共线，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
两式相除得
，
解得，
所以，为定值，
当点与点重合时，，，，满足，
当点与点重合时，，，，满足，
所以为定值．
【解析】由题意可知，解得，，，即可得出答案．
由知，，设直线的方程为，，，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，设中点，，，
当时，两式相除得，代入上式，化简得，当时，，，中点，符合题意，即可得出答案．
由直线的方程可得，分三种情况：当异于点、时，当点与点重合时，当点与点重合时，讨论，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
第1页，共1页